Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

1.3.1.Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения. В тех задачах, где указаны начальные условия, выделить решения, удовлетворяющие начальным условиям.

1. y y cos x ; y 0 1.

2.x2 y cos 2 y 1; y 94 .

6.sec2 x tg y dx sec2 y tg xdy 0 .

7.2 y y y2 dx 1 x2 dy 0 .

8.1 y2 e2xdx ey dy 1 y dy 0 .

10. y2 xy2 dx x2 yx2 dy 0 .

Ответы

x3

3.y4 16 Ce 3 ; y 2 .

4.1 y2 C 1 x2 ; 2 y2 5x2 3 .

21

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

6.tg x tg y C .

8.2ey e2x 2arctg y ln 1 y2 C .

9. 4 y 2 4x 2y 1 ln 2 4x 2 y 1 1 C .

10.1x 1y ln yx C ; x 0 ; y 0 .

1.4.Дифференциальное уравнение как математическая модель геометрических задач или физических процессов

Исследование реальных физических, экономических, химических явлений и объектов, а также производственных процессов и процессов, протекающих, в частности, в современных телекоммуникационных сетях и системах связи, возможно лишь путём натурных либо промышленных экспериментов, что зачастую сопряжено с большими финансовыми, материальными, временными затратами и издержками.

Для решения подобного рода исследовательских задач в современной науке и практике применяется эффективный метод построения математической модели, в которой сведения об объекте моделирования представлены в виде математических символов и выражений.

Дифференциальное уравнение, как обыкновенное, так и в частных производных, а также систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как математическую модель, описывающую развитие объекта или изменение свойств объекта реального мира по тому или иному закону.

22

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

I.Для того чтобы решить геометрическую задачу, надо постро-

ить чертёж, искомую кривую обозначить через y y x и, ис-

пользуя геометрический смысл производной, оформить описываемое в задаче соотношение в виде дифференциального уравнения.

Задача 1. Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключённой между осями координат, делится пополам в точке касания. Выделить кривую, проходящую через точку (2,3).

Решение. а) Пусть y y x – уравнение искомой кривой

отношение превращается в дифференциальное уравнение

y xy или y xy .

Разделяем переменные и интегрируем

dyy dxx , dyy dxx ln C1 , C1 0 .

23

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Находим общий интеграл ln y ln x ln C1 , потенцируя ко-

торый, получим искомое семейство кривых в явном виде y Cx ,

где C C1 , C 0.

Отметим, что кривая y 0 , удовлетворяющая полученному

уравнению, не может быть искомой кривой.

б) Для нахождения кривой, проходящей через точку (2,3), выпишем определённые интегралы

Отметим, что случай 0 90 не отвечает условию задачи. Объединяя результаты пунктов «а», «б», запишем ответ:

y Cx ; y 6x .

Задача 2. Найти кривые, для которых сумма длины отрезка нормали, проведённой из произвольной точки кривой до оси абсцисс, и длины отрезка поднормали есть величина постоянная, равная а.

Решение.

Случай 1. Пусть угол между касательной l к искомой кри-

24

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Рис. 4. Угол междукасательной к искомой кривой и осью Ox острый

С учётом геометрического смысла производной, y x tg , запишем BC yy .

Длина отрезка нормали выпишется в виде

Тогда соотношение (1.7) принимает вид y 1 y 2 yy a .

Избавляясь от иррациональности в последнем уравнении, приходим к уравнению

2ayy a2 y2 , 2ay dydx a2 y2 .

Разделяем переменные и интегрируем

Общий интеграл выпишется в виде

Тогда искомые кривые определяются равенством y2 a2 Ce ax .

25

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Случай 2. Пусть угол между касательной l к искомой кривой y y x и положительным направлением оси Ox тупой, т.е.

90 180 (рис. 5); AC – отрезок нормали, BC – отрезок поднормали. Из треугольника DAC находим ACB 90 .

Рис. 5. Угол междукасательной к искомой кривой и осью Ox тупой

Тогда

AC y 1 y 2 .

Тогда соотношение (1.7) принимает вид y 1 y 2 yy a .

Выполнив интегрирование последнего уравнения аналогично случаю 1, приходим к искомым кривым

x

y2 a2 Cea .

Объединяя результаты, полученные для случая 1 и случая 2 расположения кривых, запишем ответ:

y2 a2 Ce ax .

26

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

II.Для того чтобы построить дифференциальное уравнение, описывающее физическое явление или процесс, необходимо опре-

делиться с заданием независимой переменной x и искомой функции y x . Затем рассматривается изменение искомой функции y x , когда независимая переменная x получит приращение x , т.е. выписывается разность y x x y x через величины, о которых идёт речь в задаче. Разделив разность y x x y x на

x и переходя к пределу при x 0 , приходим к дифференциальному уравнению, решением которого является искомая функция. Для нахождения значений постоянных, входящих в общее решение полученного дифференциального уравнения, используются условия, содержащиеся в задаче.

В отдельных физических задачах дифференциальное уравнение составляется с использованием физического смысла производной. В таком случае роль независимой переменной выполняет время t ,

тогда dydt есть скорость изменения y .

Задача 3. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подаётся вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? Считать, что втекающая жидкость вследствие перемешивания распределяется по всему объёму бака равномерно.

Решение. Пусть время t – независимая переменная, y t – ко-

личество соли в баке в момент времени t – искомая функция. Определим, насколько изменится количество соли в баке за

промежуток времени длительности t , т.е. на интервале времениt,t t . В бак втекает вода со скоростью 5 л в минуту, а из бака

вытекает смесь воды с солью с той же скоростью 5 л в минуту. Тогда за промежуток времени длительности t из бака вытекает

27

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

5 t литров смеси. В сосуде объёмом 100 л в произвольный момент времени t содержится y t кг соли, значит, в вытекающей

смеси объёмом 5 t л содержалось бы 5 100ty t кг соли, если бы за

время t содержание соли в баке не менялось (не происходило бы равномерного перемешивания). Но за время t содержание соли в баке меняется на величину, бесконечно малую при t 0 , поэто-

y t t y t 201 t y t .

Знак «–» в правой части полученного соотношения указывает на то, что с течением времени количество соли в баке уменьшается. Разделим обе части последнего равенства на t и перейдём к пределу при t 0

В левой части равенства получится производная y t , а в правой

части 201 y t , так как 0 при t 0 . Итак, имеем дифференциальное уравнение

y t y20t ,

интегрируя которое методом разделения переменных, находим

28

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Для определения значения C в (1.8) воспользуемся условием, в силу которого в момент времени t 0 в баке содержалось 10 кг

баке.

Полагая в последней формуле t 60 , найдём количество соли, которое останется в баке через один час:

60

y 60 10e 20 10e 3 0,5 кг соли.

III. Рассмотрение следующей задачи поможет ответить на ряд вопросов, возникающих у студентов, обучающихся на физикоматематических направлениях, при изучении курса «Дифференциальные уравнения». Зачем необходимо изучать дифференциальные уравнения? Каково место этой дисциплины в межпредметной области исследований? В какой мере методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений могут быть использованы в решении научных задач при подготовке студентами курсовых работ, выпускных квалификационных работ, магистерских и кандидатских диссертаций?

Рассмотрим научную задачу, связанную с изучением MAPпотока (Markovian Arrival Process) – дважды стохастического потока событий, являющегося математической моделью реальных информационных потоков запросов (сообщений) в телекоммуникационных сетях и системах связи.

Задача 4. Рассматривается поток событий, сопровождающий случайный процесс которого t является кусочно-постоянным с

29

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

пребывания процесса t в состоянии Si определяется случайной величиной с функцией распределения Fi t 1 e it , t 0 , i 1,2 . В момент окончания состояния Si процесса t возможны следующие ситуации, каждая из которых протекает мгновенно: 1) наступает событие потока, и процесс t переходит из состояния Si в состояние S j ; совместная вероятность описанной ситуа-

ции P1 j i , i, j 1,2 ; 2) не наступает событие потока, и про-

цесс t переходит из состояния Si в состояние S j ; совместная вероятность этой ситуации P0 j i , i, j 1,2 , i j . При этом

P0 j i P1 j i P1 i i 1, i, j 1,2 , i j .

Вариант возможного поведения случайного процесса t и MAP-потока событий представлен на рис. 6, где S1 и S2 – состояния процесса t ; t1,t2 ,...,tk ,... – моменты наступления событий в потоке.

Одной из характеристик случайного процесса t является априорная вероятность состояния S1 или S2 , в котором может находиться процесс t в произвольный момент времени t .

30