Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Заметим, что в качестве решения выбирается такая «тройка» a , b , c , при которой удовлетворяются все уравнения системы.

Отметим, что если система алгебраических уравнений относительно коэффициентов имеет не единственное решение, то любое частное решение может быть рассмотрено для интегрирования уравнения Риккати.

Решением выписанной системы является набор коэффициентов a 1 , b 0 , c 0 . Тогда частное решение имеет вид

y1 x2 ,

и, выполнив в исходном уравнении подстановку

		y x2 z ,	(1.20)
приходим к уравнению Бернулли, где n 2 :
	dz	x3z xz2 .
	dx	x3z xz2 .
	dx

Разделив обе части последнего уравнения на z2 , z 0 , и затем выполняя замену

t 1z , dxdt z12 dzdx ,

получаем линейное уравнение первого порядка dxdt x3t x ,

интегрируя которое методом вариации постоянной, находим

	x4		x4
t e	4		4	dx
t e		C xe		dx	.

Тогда

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

C xe

и, подставляя найденную функцию z

в (1.20), запишем общее ре-

шение уравнения Риккати

y x2

C xe

4 dx

При подстановке z 0 в (1.20) находим решение

y x2 , кото-

рое не содержится ни при одном значении произвольной постоянной C в представленном общем решении уравнения Риккати.

Следовательно, y x2 необходимо присоединить к полученному

множеству решений.

Заметим, что общее решение содержит неберущийся в элемен-

тарных функциях интеграл xe 4 dx . Тем не менее задача инте-

грирования заданного дифференциального уравнения считается выполненной в том смысле, что она сведена к вычислению квадратуры [2].

1.6.1. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения. Там, где это требуется, сделать замену переменных или произвести дифференцирование.

x x2 1 y x2 y 2 .

xcos ln

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

3. 2 2 x 1 . x y y x e x

4.3 y2 x2 y 2 y3 6x x 1 y 3ex 0 .

5.y sin y cos x cos y sin x x2 .

6. xydx x2 y .

7.2x2 y3 x2 y2 2x y 2y 1 .

8.xy y 2 y ln x 1 0 .

9.x2 1 y y y x 0 .

10.y cos x y4 y sin x 0 .

11.y cos y xsin y cos2 y sin3 y 0 .

12.y y2 sin x 2 cossin2xx .

13.y y2 xy 1 f x 0 .

14.y y2 y sin 2x cos 2x 0 .

15.y y2 xy x 1 0 .

			f		2		g	f , g .
16.	y	g		y		f ,

17.	Найти то решение уравнения

y sin 2x 2 y cos x ,

которое остаётся ограниченным при x 2 .

18. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть

величина постоянная, равная 3a2 .

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

19. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала коорди-

нат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2 .

20. Доказать, что дифференциальное уравнение семейства кривых

y C 1 x 2 x

C 1 x 2 x

есть уравнение Риккати.

21.Апостериорная вероятность w 1 t состояния S1 процесса

t для MAP-потока событий, описанного в задаче 4 параграфа

1.4, удовлетворяет уравнению Риккати


		dw 1	t		2	2 2 P0 1							t



		dt		1					2 w 1
		dt								2


1	2 1P0		2	1 2 P0			1	2 w			1	t 2 P0		1	2 ,
1	2 1P0		2	1 2 P0			1	2 w			1	t 2 P0		1	2 ,

w 1 t w 2 t 1.

Решить задачу Коши, считая, что апостериорная вероятность

w 1	t	в момент времени t tk наступления события MAP-
w 1	t	в момент времени t tk наступления события MAP-
потока принимает значение w 1					t tk w 1	tk , k 1,2,... .
потока принимает значение w 1					t tk w 1	tk , k 1,2,... .
Ответы
1.	y	x2 1 2ln1	x	2 1 C .
			x

2.y Cx xsin ln ln x

	1	C ex .
3.	y e x	C ex .
4.	y3 3x2 y e2x e3x

C .

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

5.	cos y	C x3		.
5.	cos y	3cos x		.
		3cos x
6.	y 4 x2 2		a4 4a2 8 e				x2 a2
6.	y 4 x2 2		a4 4a2 8 e				2		.
7.	2y2 2y ln		2y 1		C	8				.
						8
						x 2y		1
						x 2y		1

8.1y 2 1 ln x Cx .

9. y 1 x C

x2 1

10.y 3 C cos3 x 2sin3 x 3sin x .

11.ctg2 y ex2 C 2 e x2 dx .

12.

3cos2 x

;

cos x

C cos3 x

xfdx

13.

;

cos2 x

14.

y tg x

; y tg x .

cos2

1 .

15.

y 1 e

;

16.

;

f 2

17.y tg x sec x .

18.xy Cx2 2a2 .

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

	19. xy a2					Cy2 .
																								a w2 w1 t tk
																								a w2 w1 t tk
	21. w 1				t		w1	w2 w 1				tk w2			w1 w 1					tk e								,


																					a w2 w1 t tk
																					a w2 w1 t tk
								w2 w 1				tk		w1	w 1				tk e
								w2 w 1				tk		w1	w 1				tk e
		1						w 2			t 1 w 1							t ,
								w 2			t 1 w 1							t ,
w			2 P													2	4 P						P						,

																									2
1			1	2				2 0 1	2				1	2			1 2 0 1					2 0			2	1
		2a
w		1	2 P													2	4 P						P						,
		1
															2										2
2			1	2				2 0 1		2			1		2		1 2 0 1						2 0		2		1
		2a

a1 2 1P0 2 1 2 P0 1 2 0 ; k 1,2,... .

1.7.Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

1)Рассмотрим случай, когда левая часть уравнения

M x, y dx N x, y dy 0

(1.21)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции

U x, y :

M x, y dx N x, y dy dU x, y U x, y dx U x, y dy .

x y

В этом случае уравнение (1.21) называется уравнением в полных

(точных) дифференциалах.

Из последнего тождества следует два:

M x, y	U x, y	, N x, y	U x, y	.	(1.22)
	x
			y

Если функция y x – решение уравнения (1.21), то dU x, y x 0 ,

x y

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

откуда следует
U x, y x C ,	(1.23)
где C – постоянная; обратно, если некоторая функция	y x об-

ращает в тождество уравнение (1.23), то в результате дифференцирования (1.23) получим dU x, y x 0 . Значит, U x, y C , где

C – произвольная постоянная, является общим интегралом уравнения (1.21) в полных дифференциалах.

Если даны начальные значения y x0 y0 , то значение постоянной C определяется из (1.23): C U x0 , y0 .

Тогда

	U x,	y U x0 , y0	(1.231)
является искомым частным		интегралом. Если в точке	x0 , y0
справедливо
	U	N x0 , y0 0 ,
		N x0 , y0 0 ,
	y x x0
	y y
		0

то уравнение (1.231) определяет y как неявную функцию от x .

Выпишем признак, который указывает на то, является ли (1.21) уравнением в полных дифференциалах. Из равенств (1.22) (при существовании соответствующих производных) находим два вы-

ражения для 2U x, y :

M x, y

2U x, y

N x, y

x y

y x

приравнивая которые, получаем необходимое условие

M x, y

N x, y

(1.24)

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Впервые это условие получил математик Леонард Эйлер (1707– 1783), швейцарец по происхождению, член Петербургской академии наук.

Это условие является и достаточным. Предполагая его выполненным, найдём функцию U x, y , удовлетворяющую соотноше-

ниям (1.22). Интегрируя равенство	U x, y	M x, y		по x от x

	x			0

до x и считая y постоянным, получаем
x
U x, y M x, y dx y .				(1.25)
x0
Построенная функция U x, y при всякой		y	удовлетворяет

первому из соотношений (1.22). Дифференцируя U x, y по параметру y , находим

				U x, y		M x, y dx y .
					x
				y	x	y
					0
Используя (1.24), получаем
	U x, y		N x, y dx y N x, y N x0 , y y .
		x
	y	x		x
		0

Последнее выражение окажется равным N x, y , если положить

y N x0 , y ;

тогда одно из значений y есть

y N x0 , y dy .

Итак, U x, y найдена:

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

x	y	N x0 , y dy C .
U x, y	M x, y dx	N x0 , y dy C .	(1.26)
x0	y0

Замечание 1. Общий интеграл (1.26) получен в результате

дифференцирования (1.25) по y , замены	U x, y	известной
	y

функцией N x, y и определения квадратурой из полученного относительно y уравнения функции y .

Выполняя аналогичную последовательность действий: а) интегрирование равенства

U x, y

N x, y

по y от y0 до y , считая x постоянным,

N x, y dy x ;

U x, y

(1.27)

б) дифференцирование (1.27) по параметру x

U x, y

N x, y dy x ;

в) использование условия Эйлера (1.24)

U x, y

x, y dy x M x, y M x, y0 x ;

г) замена

U x, y

известной функцией M x, y

и интегрирова-

ние уравнения

x M x, y0 , x M x, y0 dx ,

приходим к (1.27) в виде

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

x	y	N x, y dy C .
U x, y	M x, y0 dx	N x, y dy C .	(1.28)
x0	y0

Итак, если условие Эйлера (1.24) выполнено, то общий интеграл уравнения в полных дифференциалах (1.21) можно записать в виде (1.26) или (1.28), где нижние пределы x0 и y0 можно выби-

рать произвольно, но так, чтобы точка x0 , y0 принадлежала той области, в которой функции M x, y и N x, y определены, непрерывны и имеют в ней непрерывные частные производные по y

ипо x соответственно.

Вформулах (1.26) и (1.28) интегрирование производится по одной из переменных, в то время как другая переменная является параметром, причём в одном из интегралов параметр фиксируется (полагается равным нижнему пределу другого интеграла).

Пример 1. Проверить, что левая часть уравнения

xdx ydy

ydx xdy

(1.29)

1 x2 y2

x2 y2

является полным дифференциалом, и решить уравнение.

Решение. а) Запишем уравнение в виде

dy 0 .

1 x

Здесь

M x, y	x	y	,
	1 x2 y2	x2 y2

N x, y	y	x	.
	1 x2 y2	x2 y2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]