Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Тогда общее решение исходного линейного уравнения принимает вид

нейно, а y и dy нелинейно, целесообразно поменять местами ис-

комую функцию и независимую переменную. Пример 4. Решить уравнение

2x y dy y dx 4ln y dy .

Решение. Если y рассматривать как функцию от x , то данное уравнение линейным не является, так как функция y входит нелинейно. Если же x считать искомой функцией, а y независимой

переменной, то, согласно замечанию 1, уравнение можно рассматривать как линейное: x и dx входят линейно. Это уравнение может быть записано в виде

51

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

dydx 2y x 1 4lny y .

Проинтегрируем соответствующее однородное уравнение dydx 2y x 0 , dxx 2dyy , dxx 2 dyy ln C1 , C1 0 .

Общий интеграл принимает вид

ln x 2ln y ln C1 ,

откуда следует общее решение

x Cy2 .

Варьируем произвольную постоянную C

x C y y2 , x C y y2 2C y y .

Подставляя x , x в линейное неоднородное уравнение, находим

Вычислим интеграл в правой части последнего равенства по ча-

52

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Решение. Умножим обе части уравнения на cos y : y cos y sin y x .

Полагая z sin y , z y cos y , приходим к линейному уравнению

z z x ,

которое интегрируется аналогично примерам 3, 4 данного параграфа.

2) К линейному уравнению преобразованием искомой функции приводится уравнение Бернулли, имеющее вид [4]

некоторое постоянное число.

Уравнение(1.16) предложенов 1695 г. швейцарским математиком Якобом Бернулли (1654–1705); метод решения опубликован в 1697 г. швейцарскимматематикомИоганномБернулли (1667–1748).

Разделив обе части уравнения (1.16) на yn , полагая y 0 , получим

y n dydx p x y1 n f x .

53

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Нетрудно заметить, что с точностью до постоянного коэффициента первый член равен производной от y1 n , поэтому введём новую функцию от x

z y1 n ,

тогда, дифференцируя по x , запишем

dxdz 1 n y n dydx .

Умножив обе части последнего уравнения на 1 n и выполнив в нём указанные замены для z и dxdz , получим для z линейное не-

однородное уравнение

dxdz 1 n p x z 1 n f x .

Проинтегрировав полученное линейное уравнение и подставив в его общее решение вместо z выражение y1 n , получим общий ин-

теграл уравнения Бернулли, из которого достаточно просто находится искомая функция y . Отметим, что при n 0 имеется до-

полнительное решение y 0 . Пример 6. Решить уравнение

x dydx y xy2 ln x .

Решение. Здесь n 2 . Делим обе части на xy2 , y 0

54

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Подставляя в последнее уравнение, приходим к линейному неоднородному уравнению относительно z

dxdz 1x z ln x .

Решаем соответствующее однородное уравнение

dxdz xz 0 , dzz dxx , dzz dxx ln C1 , C1 0 ,

ln z ln x ln C1 , z Cx .

Варьируем постоянную:

z C x x , z C x x C x ;

делаем замены в неоднородном уравнении

К последнему множеству присоединяем решение y 0 .

Задача. Найти кривую, в каждой точке которой поднормаль есть среднее арифметическое квадратов координат этой точки.

55

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

нормали; A x, y – точка касания с координатами x и y .

Рис. 7. Геометрическая иллюстрация постановки задачи при 0 90

Из ABC найдем отрезок поднормали BC

Итак, поднормаль BC yy . По условию задачи поднормаль есть среднее арифметическое квадратов координат точки A x, y

z y2 , z 2yy . Выполнив в уравнении указанные подстановки, приходим к линейному уравнению

dxdz z x2 ,

56

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

интегрируя которое методом вариации постоянной, находим искомые кривые

интервале a x b .

Впервые это уравнение исследовал Якопо Франческо Риккати

(1.17) заключает в себе как частные случаи уравнения, рассмотренные нами в пунктах 1 и 2 настоящего параграфа.

В общем случае уравнение Риккати не интегрируется в квадратурах, но, если известно одно частное решение y1 x этого урав-

нения, то заменой переменных оно может быть преобразовано в уравнение Бернулли.

Действительно, пусть известное частное решение уравнения (1.17) есть y y1 x , т.е. имеет место тождество

dydx1 p x y1 q x y12 f x .

Полагая

y y1 z ,

где z – новая искомая функция от x , получим

57

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

dydx1 dxdz p x y1 z q x y1 z 2 f x .

В силу указанного выше тождества будем иметь уравнение Бернулли

Пример 7. Доказать, что общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной.

Решение. Как показано выше, если y1 – известное частное решение уравнения Риккати (1.17), то замена y y1 z позволяет свести уравнение (1.17) к уравнению Бернулли (1.18) относительно функции z , где n 2 . Разделим (1.18) на z2 , z 0

z12 dxdz p x 2q x y1 1z q x .

Полагая u 1z , dudx z12 dxdz , приведём последнее уравнение к ли-

нейному относительно u

dudx p x 2q x y1 u q x .

Общее решение полученного уравнения, как следует из формулы (1.15), имеет вид

u C x x ,

где и – некоторые функции от x . Тогда формула общего решения уравнения (1.17) имеет вид

58

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Замечание 2. Частное решение уравнения Риккати (1.17) мож-

Заметим также, что (1.19) является обобщённым однородным уравнением, в котором m 1 и, следовательно, подстановкой

y tx1 всегда приводится к уравнению с разделяющимися пере-

менными относительно новой функции t x . Пример 8. Решить уравнение

dydx xy2 x3 y 2x .

Решение. Здесь f x 2x – многочлен (первой степени), по-

этому, согласно замечанию 2, будем отыскивать частное решение в виде y1 ax b , так как в этом случае в левой части заданного уравнения будут члены, подобные членам правой части.

Подставляя y1 ax b , y1 a в исходное уравнение, получаем a x a2 x2 2abx b2 x3 ax b 2x .

59

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, запишем систему алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов a и b :

ходное уравнение, запишем

2ax b x a2 x4 b2 x2 c2 2abx3 2acx2 2bcxx3 ax2 bx c 2x.

Имеем систему из пяти уравнений для определения a , b , c :

60