Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

Впоследнем уравнении разделяем переменные и интегрируем

25C1 C , запишем общее решение рассматриваемого уравнения в виде

10y 4ln 5y 15x 2 5x C

или

5y 15x 2 4 Ce10 y 5x .

3) Уравнение

M x, y dx N x, y dy 0

называется обобщённым однородным, если удаётся найти такое число m , что в результате замены

y zm

есть обобщённое однородное, и проинтегрировать его.

Решение. а) Уравнениеоднороднымнеявляется. Попытаемся свести данное уравнение к однородному при помощи замены y zm , dy mzm 1dz . Послезамены уравнение(1.10) принимаетвид

41

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2x 2 z2m dx mzm 1dz 0 .

Последнее уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его слагаемых равны между собой, т.е. число m должно удовлетворять условию

2 2m m 1.

Такое число m существует: m 1. Следовательно, уравнение

(1.10) является обобщённым однородным.

Подставляя в последнее уравнение z tx , dz tdx xdt и группируя слагаемые при dx и dt , находим

x2 2t2 t 1 dx x3dt .

Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем

Проинтегрировав дробно-рациональную функцию в левой части недифференциального уравнения методом разложения на простейшие дроби, приходим к общему интегралу

Возвращаясь к исходным переменным x и y , выполнив в последнем уравнении подстановку

42

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

t zx xy1

и осуществляя необходимые преобразования, приходим к общему решению уравнения (1.10) в явном виде

в) При разделении переменных могли быть потеряны решения, которые являются корнями уравнения 2t 1 t 1 x 0 . Из последнего уравнения находим

t 12 , t 1, x 0

или, возвращаясь к исходным переменным x и y , получаем соответственно

y 2x , y 1x , x 0 .

При подстановке в уравнение (1.10) находим, что y 2x – ре-

шение, которое не содержится в (1.11) ни при одном значении С, следовательно, y 2x необходимо присоединить к найденному множеству (1.11).

Непосредственной подстановкой функции y 1x в (1.10) обна-

решение рассматриваемого уравнения (1.10).

Объединяя результаты пунктов «б» и «в», запишем ответ:

43

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

1.5.1. Задачи для самостоятельной работы

11.Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

12.При каких и уравнение y ax by приводится к

однородному с помощью замены y zm ?

44

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

10.y2 x x C, x y2 .

11.y C x2 y2 .

12.При выполнении условия 1 1 1.

1.6.Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати

1) Линейным уравнением первого порядка называется уравне-

ние, линейное относительно искомой функции и её производной. Линейное уравнение имеет вид

45

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1.12). Уравнение (1.12) называется линейным однородным, если

f x 0 ; уравнение (1.12) – неоднородным.

Линейное однородное уравнение легко интегрируется разделением переменных

dydx p x y 0 , тогда dyy p x dx ,

и, интегрируя, получаем

При делении на y потеряно решение y 0 ; оно может быть

включено в найденное семейство решений (1.13), если считать, что C может принимать и значение C 0 .

Для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения (1.12) может быть применён метод вариации постоянной – метод Лагранжа (Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик, президент Берлинской академии наук).

Сначала интегрируется соответствующее однородное уравнение

dydx p x y 0 ,

общее решение которого имеет вид

y Ce p x dx .

При постоянном C функция Ce p x dx является решением однородного уравнения.

Далее будем пытаться удовлетворить неоднородному уравнению (1.12) решением того же вида (1.13), считая C не постоянной

46

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

величиной, а неизвестной функцией от x , т.е. совершая замену переменных:

где C x – новая неизвестная функция от x . Вычисляя производную

dydx C x e p x dx C x p x e p x dx

и подставляя в исходное неоднородное уравнение (1.12), получаем

C x e p x dx C x p x e p x dx p x C x e p x dx f x

или

dCdx f x e p x dx .

Из последнего уравнения неизвестная функция C x находится квадратурой

C x f x e p x dx dx C1 ,

где C1 – произвольная постоянная.

Подставляя найденную функцию C x в (1.14), получаем общее решение линейного неоднородного уравнения (1.12)

Итак, общее решение линейного уравнения первого порядка находится двумя квадратурами и представляет собой сумму об-

щего решения соответствующего однородного уравнения

C1e p x dx

и частного решения неоднородного уравнения

e p x dx f x e p x dxdx ,

которое получается из (1.15), если положить C1 0 .

47

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Пример 1. Показать, что если известно одно частное решение линейного неоднородного уравнения, то его общее решение находится одной квадратурой.

Решение. Пусть y1 – известноечастноерешениеуравнения(1.12)

dydx p x y f x .

В уравнении выполним замену y y1 z , устанавливающую связь y с новой искомой функцией z от x . Подставляя в (1.12), находим

dydx1 dxdz p x y1 p x z f x .

В силу тождества

dydx1 p x y1 f x

последнее уравнение принимает вид

dxdz p x z 0 ,

интегрируя которое, находим

z Ce p x dx .

Тогда общее решение уравнения (1.12) имеет вид

y y1 Ce p x dx .

Нетрудно показать, что если известно одно частное решение y1 линейного однородного уравнения, то Cy1 , где C – произвольная

постоянная, также будет решением.

Действительно, поскольку

dydx1 p x y1 0 ,

48

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Выражение Cy1 содержит произвольную постоянную C , следовательно, Cy1 – общее решение; в данном случае общее решение

находится без квадратур.

Пример 2. Показать, что если известны два частных решения y1 и y2 линейного неоднородного уравнения, то его общее решение находится без квадратур.

Решение. Пусть y1 и y2 – два частныхрешения уравнения (1.12)

dydx p x y f x .

Тогда справедливы тождества

Вычитая почленно, находим

d y1 y2 p x y1 y2 0 . dx

Из полученного тождества следует, что функция y1 y2 является

частным решением линейного однородного уравнения. Тогда, в силу сказанного выше, общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

y y1 C y1 y2 ,

где C – произвольная постоянная. Пример 3. Решить уравнение

49

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Решение. Согласно методу вариации постоянной, сначала решаем соответствующее однородное уравнение

dydx 1 xx2 y 0 .

Разделяем переменные и интегрируем

Находим общий интеграл

ln y 12 ln 1 x2 ln C1 ,

из которого вследствие потенцирования запишем общее решение однородного уравнения в виде

Интегрируя уравнение относительно C x , получаем

50