Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

1.9.Вопросы и темы для самоконтроля к разделу 1

1.Какое уравнение называется дифференциальным? Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных.

2.Что называют порядком дифференциального уравнения?

3.В чём заключается задача интегрирования дифференциального уравнения? Что такое решение дифференциального уравнения? Что такое интегральная кривая?

4.Как получить дифференциальное уравнение на основании заданного семейства кривых?

5.В чём состоит задача Коши?

6.Определить уравнение, разрешённое относительно производной. Что такое изоклины? Что такое поле направлений, определяемое уравнением?

7.В чём состоит задача Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной? При каких условиях эта задача имеет единственное решение?

8.Какое решение называется частным? Какое решение называется общим? Что такое общее решение в форме Коши? Что такое общий интеграл?

9.Какая точка называется особой? Какое решение называется особым?

10.Как интегрируются уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными?

11.Приведите примеры задач, в которых дифференциальное уравнение выступает в качестве математической модели, описывающей развитие объекта реального мира или его свойств по определённому закону.

12.Какое уравнение называется однородным, обобщённым однородным? Какие подстановки в указанных уравнениях позволяют их проинтегрировать?

121

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

13.Какое уравнение называется линейным? В чём заключается метод Лагранжа и метод Эйлера интегрирования неоднородного линейного уравнения?

14.Какой вид имеет уравнение Бернулли? Как оно интегриру-

ется?

15.Какой вид имеет уравнение Риккати? Что такое квадратура? Интегрируется ли уравнение Риккати в общем случае в квадратурах? Как находится общее решение уравнения Риккати?

16.Какое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах? При каком условии левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал?

17.Что такое интегрирующий множитель? Как его можно находить? Выписать интегрирующие множители: а) для уравнения

сразделяющимися переменными; б) для линейного уравнения; в) для однородного уравнения.

18.Какой вид имеет уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной? Что называют общим интегралом уравнения, не разрешённого относительно производной?

19.Определить методы интегрирования уравнения, не разрешённого относительно производной. В чём заключается метод интегрирования дифференциального уравнения при помощи дифференцирования?

20.Какой вид имеют уравнения Лагранжа и Клеро? Что в них общего и в чём отличие?

21.Что такое огибающая семейства интегральных кривых?

22.Как следует понимать единственность решения уравнения, не разрешённого относительно производной, удовлетворяющего заданному начальному условию? Какие точки образуют особое множество?

23.Какое решение называется особым? Какие методы нахождения особого решения уравнения, не разрешённого относительно производной, известны? Что такое р-дискриминантная кривая и С-дискриминантная кривая?

122

2.Дифференциальныеуравнения высших порядков

2.Дифференциальные уравнения

высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

где F есть непрерывная функция всех своих аргументов [5, 6].

Уравнение (2.1) можно разрешить относительно y n и представить в виде

Для уравнения (2.11) справедлива следующая теорема существования и единственности.

Теорема. Существует единственное решение дифференциального уравнения n-го порядка

функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по аргументам y, y ,..., y n 1 .

Задача нахождения решения y y x , удовлетворяющего начальным условиям

123

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Если в процессе интегрирования уравнения (2.1) получено соотношение вида

x, y, y ,..., y n k ,C1,...,Ck 0 ,

связывающее x, y, y ,..., y n k и k произвольных постоянных, то

такое соотношение называется промежуточным интегралом k-го порядка и представляет собой дифференциальное уравнение порядка n k .

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений.

Общее решение уравнения (2.11) имеет вид

yx, y0 , y0 ,..., y0 n 1

иназывается общим решением в форме Коши.

Замечая, что начальные значения y0 , y0 ,..., y0 n 1 являются па-

раметрами, т.е. произвольными постоянными, приходим к следующему выводу.

Если соотношение, связывающее x , y и n произвольных постоянных, дано в виде

x, y,C1,C2 ,...,Cn 0 ,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравне-

ния (2.1) или (2.11).

124

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

Всякое решение, содержащееся в (2.2) при конкретных числовых значениях произвольных постоянных C1,C2 ,...,Cn , является

частным решением.

На особых решениях уравнения n-го порядка здесь останавливаться не будем.

В дальнейших параграфах раздела 2 остановимся на некоторых классах уравнений, которые могут быть до конца проинтегрированы в квадратурах или для которых, по крайней мере, задача интегрирования может быть сведена к интегрированию дифференциальных уравнений порядка меньшего чем n .

2.1. Уравнения, не содержащие y, y ,..., y k 1

Пусть уравнение (2.1) не содержит явно искомой функции y и

её k 1 производных 1 k n 1 , т.е. уравнение (2.1) имеет вид

F x, y k , y k 1 ,..., y n 0 .

Понизим порядок уравнения до n k , выполнив замену y k z x . В результате замены переменных уравнение принимает вид

F x, z, z ,..., z n k 0 .

Нельзя утверждать, что полученное уравнение всегда до конца интегрируется в квадратурах. Однако вместо уравнения n-го порядка получено уравнение порядка n k .

Допустим, что найден общий интеграл

x, z,C1,...,Cn k 0

или

x, y k ,C1,...,Cn k 0 .

125

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Из последнего уравнения искомая функция y всегда находится

k-кратным интегрированием. Пример. Решить уравнение

x2 y y 2 .

Решение. Уравнение не содержит искомую функцию y, следовательно, выполним в нём замену y z x , тогда y z . Имеем

x2 z z2 –

уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Уравнение (2.3) является промежуточным интегралом исходного уравнения и представляет собой дифференциальное уравнение относительно искомой функции y .

Заметим, что в (2.3) произвольную постоянную С1 можно рассматривать как параметр, принимающий различные значенияC1 . При интегрировании промежуточного интеграла (2.3) рассмотрим различные значения С1, которые приводят к различным множествам решений.

1) Пусть в (2.3) С1 0 . Имеем y x . Интегрируя уравнение, находим

y x2 C –

2

первое множество решений.

2) Пусть в (2.3) С1 0 . Имеем

126

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

В последнем уравнении разделяем переменные и интегрируем

второе множество решений.

3) При получении интеграла (2.3) производилось деление на

x2 z2 0 . При этом непосредственной подстановкой в исходное уравнение находим, что x 0 не есть решение; если z 0 , то y 0 и y С – решение исходного уравнения, не содержащееся

ни в одном из множеств, полученных в случаях 1 и 2, и образует третье множество решений исходного уравнения.

Объединяя результаты пунктов 1–3, запишем ответ:

Задача. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинусуугла междукасательной и осьюабсцисс.

Решение. Пусть y y x – искомая кривая. Радиус кривизны

траектории – это радиус окружности R , по которой в данный момент движется тело.

Воспользуемся формулой радиуса кривизны

3

R 1 y 2 2 .

y

127

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Пусть – угол между касательной к искомой кривой y и поло-

жительным направлением оси абсцисс. Тогда на основании условия задачи запишем уравнение

где k – коэффициент пропорциональности. Поскольку

1 tg2 cos12 , cos1 1 tg2 ,

то последнее дифференциальное уравнение принимает вид

Учитывая, что y tg , и сделав обозначение k k , получаем

Выполнив в последнем уравнении замену переменных y z , име-

ем kz 1 z2 .

Разделяем переменные и интегрируем

128

2.Дифференциальныеуравнения высших порядков

2.1.1.Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1.y xy y 3 0 .

2.a2 y 2x 1 y 2 2 .

3.y y 2 .

4.y 2 2xy y 0 .

5.y 2 2xy y 0 .

6.1 x2 y y 2 1 0 .

7.xy y ln yx .

Ответы 1

6.y C1x C12 1 ln C1x 1 C2 .

129

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2.2. Уравнения, не содержащие независимой переменной

Уравнение (2.1) не содержит явно x , т.е. имеет вид

F y, y , y ,..., y n 0 .

Порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой

130