Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

Тогда из последнего уравнения первого порядка находится искомая функция y от x .

Пример 1. Решить уравнение

y 2yy .

Решение. В уравнении не содержится независимой переменной x , следовательно, выполним в нём подстановку y p y , тогда y p p . Подставляя выражения для y , y в исходное уравнение, имеем

pp 2yp –

уравнение первого порядка. Разделяем переменные, полагая p 0 , и интегрируем

Уравнение (2.5) является промежуточным интегралом для исходного уравнения второго порядка и имеет различные множества решений в зависимости от значений параметра С1 в (2.5). Рас-

смотрим различные возможные значения С1 .

131

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2) Пусть в (2.5) С1 0 . Тогда (2.5) можно записать в виде

dydx y2 C12 .

Интегрируя уравнение, находим решение

yC1tg C1x C2 .

3)Пусть в (2.5) С1 0 . В сделанном предположении (2.5) можно записать в виде

уравнения, которое не входит ни в одно из семейств решений, полученных в пунктах 1–3.

Объединяя результаты пунктов 1–4, запишем ответ:

132

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

Решение. Данное уравнение третьего порядка можно отнести как к уравнению, не содержащему искомой функции, так и к уравнению, не содержащему независимой переменной.

Сначала понизим порядок, как указано в параграфе 2.1, сделав замену y z x ; тогда y z , y z . В результате указанных подстановок уравнение принимает вид

2z 3z2 0

и относится к классу уравнений рассматриваемого параграфа. Не

зультате которой последнее уравнение запишется в виде

2 p p 3z2 0 , 2 pdp 3z2dz , d p2 d z3 .

Интегрируя последнее уравнение, находим его общий интеграл

Необходимо решить задачу Коши. Можно проинтегрировать последнее уравнение до конца, найти функцию y x и решить систему из трёх уравнений относительно С1,C2 ,C3 с учётом трёх начальных условий.

Будем находить значения Сi , i 1,3 , из промежуточных интегралов, что упрощает задачу дальнейшего интегрирования.

Определим С1 в (2.6) из условий

z 0 y 0 1 , z 0 y 0 1 .

Подставляя указанные значения в (2.6), получаем

1 C1 1 , тогда C1 0 и z z3 .

Интегрируем последнее уравнение и находим

133

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2.2.1. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1.2 2a y y 1 y 2 .

2.yy y 2 y2 ln y .

3.5 y 2 3y yIV 0 .

4.y ey .

134

2.Дифференциальныеуравнения высших порядков

5.y 2 yy y y 3 0 .

6.Найти интегральную кривую уравнения

yyy y 3 y 2 ,

касающуюся в начале координат прямой x y 0 .

7.Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален длине отрезка нормали. Рассмотреть случай, когда коэффициент пропорциональности k 1.

8.Найти решение уравнения

y cos y y 2 sin y y ,

удовлетворяющее заданным начальным условиям: y 1 6 , y 1 2 .

Ответы

1.x C1 sin C2 , y 2a C1 1 cos .

2.ln y C1ex C2e x .

3.y C1x C2 C3x C4 ; y C1x2 C2 x C3 .

4.ey x C 2 2 ; ey sin2 C1x C2 2C12 ; eych2 C1x C2 2C12 .

6.y 1 ex ; y 1 e x .

7.x C2 2 y2 C12 .

135

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2.3. Уравнения с левой частью в виде полной производной

Левая часть уравнения (2.1) является полной производной некоторого дифференциального выражения n 1 -го порядка, т.е.

имеет вид

F x, y, y ,..., y n dxd x, y, y ,..., y n 1 .

Тогда (2.1) можно переписать в виде

В этом случае легко находим первый интеграл – дифференциальное уравнение n 1 -го порядка, которое содержит одну произ-

вольную постоянную и является эквивалентным исходному уравнению n -го порядка. Порядок уравнения понижается на единицу.

Если y x – решение уравнения (2.8), то производная функцииx, y, y ,..., y n 1 тождественно равна нулю. Значит,

первый интеграл.

Пример 1. Решить уравнение

yy 3y y 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде yy y y 2y y 0 .

Очевидно, что левая часть уравнения есть сумма двух полных производных

dxd yy dxd y 2 0 или dxd yy y 2 0 .

136

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

Находим первый интеграл

yy y 2 C1 –

дифференциальное уравнение второго порядка, левая часть которого является полной производной дифференциального выражения первого порядка:

dxd yy C 1 .

Разделяем переменные и интегрируем

или

ydy C1x C2 dx .

Общим интегралом уравнения является

y2 C1x2 C2 x C3 .

В некоторых случаях левая часть уравнения F x, y, y ,..., y n 0 не является полной производной некоторого

дифференциального выражения n 1 -го порядка, а становится

таковой лишь в результате умножения на некоторый множитель

x, y, y ,..., y n 1 .

Замечание. При умножении на множитель x, y, y ,..., y n 1 возможно приобретение лишних решений, обращающих этот множитель в нуль. Если множитель x, y, y ,..., y n 1 является

разрывной функцией, то возможна и потеря решений. Пример 2. Решить уравнение

y y 2y 2 .

137

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Получили дифференциальное уравнение второго порядка. Умно-

e C1y C1C2 x C1C3 , C1 y ln C1C2 x C1C3 .

Выполнив переобозначение произвольных постоянных

C1 C1 , C1C2 C2 , C1C3 C3 ,

получаем общий интеграл

C1 y ln C2 x C3 .

Согласно замечанию, при умножении на 1 y1y и 2 y1 воз-

можна потеря решений, которые определяются уравнениями

138

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

y 0 и y 0 . Находим множество y C1x C2 , которое включает в себя y C .

2.3.1. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения как уравнения в полных производных или с использованием множителя :

1.y y 2 y2 y 2 y 2 2 yyx .

2.y y y 2 0 .

3.y 2yy 0 .

4.y 2 y 2 y 0 .

5.yy y 0 .

6.y y y2 0 .

xx

7.1 y 2 y 3y y 2 0 .

Ответы

1.ey2 C1x3 C2 .

2.y C2eC1x C3 .

6.y Cx2 C1 .

7.x C2 2 y C1 2 C32 ; y C1x C2 .

139

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

2.4. Уравнения, однородные относительно неизвестной функции и всех её производных

Пусть левая часть уравнения (2.1)

F x, y, y ,..., y n 0

является однородной функцией аргументов y, y ,..., y n , т.е. для

где p есть показатель однородности.

Порядок однородного уравнения может быть понижен на единицу заменой

y e zdx или y yz ,

где z z x – новая неизвестная функция от x .

По правилу дифференцирования произведения имеем y e zdx z ,

y e zdx z z2 ,

y e zdx z 3zz z3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Методом математической индукции доказывается тот факт, что

функцию, зависящую от z и всех её производных порядка не вы-

140