Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

ше k 1, что и приводит к понижению порядка уравнения (2.1) на единицу.

Выполняя указанные подстановки в (2.1) и сокращая на множи-

тель e	zdx	, который в силу однородности можно вынести за знак
тель e		, который в силу однородности можно вынести за знак
функции F , приходим к уравнению порядка n 1
			n 1	0 .
		f x, z, z ,..., z		0 .

Если удастся найти его общее решение

z x,C1,...,Cn 1 ,

то, заменяя z на yy , будем иметь


	y	x,C				,...,C	n 1	.
		x,C				,...,C		.
	y				1
	y
Интегрируя ещё раз, получим
y Cne x,C1,...,Cn 1 dx –
общее решение уравнения (2.1).
Пример. Решить уравнение
	yy		y	2		yy
				2		1 x2 .
						1 x2 .

Решение. Покажем, что уравнение является однородным отно-

сительно y , y ,

y , заменив y

на ky , y

на ky ,

на ky :

kyky

ky 2

kyky

1 x2

или после сокращения на k2

1 x2 .

В уравнении сделаем подстановки

141

1 x2

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

y yz , y y z2 z ,

где z z x – новая неизвестная функция от x . Имеем

y2 z2 z y2 z2	y2 z	;
	1 x2

сокращая на y2 , получим

1 x2 .

Интегрируя уравнение, находим первый интеграл

ln x

1 x2 ln

или z C1x C1

1 x2 .

Заменим z на

C x C

1 x2 .

Интегрируем ещё раз

C1xdx C1

1 x2 dx C2 ,

1 x2 dx C2 .

(2.9)

В (2.9) обозначим I 1 x2 dx

и вычислим интеграл по частям,

считая u 1 x2 , dv dx ,

v x ,

xdx

142

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

I x 1 x2

x2dx

x 1 x2 1 x2 dx

1 x2

I x 1 x2 I ln x 1 x2 .

Из последнего уравнения находим

1 x 1 x2 1 ln x 1 x2

и, подставляя в (2.9), получаем общий интеграл

x 1 x2 ln x 1 x2 C2

или

C1 x2 x 1 x2

ln x 1 x2 C2

2.4.1. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1.yy y 2 0 .

2.xyy xy 2 yy 0 .

3.x2 yy x2 y 2 5xyy 4 y2 0 .

4.yy y 2 6xy2 .

5.	xyy	xy	2	yy	xy 2		0 .
					1 x2
6.	x2 yy		y 2 xyy y			x2 y 2 y2 .

7.y xy y xy 2 1 x .

8.x2 y 2 2 yy y2 .

143

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Ответы

1.y C2eC1x .

2.	y C	2	x2 C .
		2	1
3.	y C	2	x C x2	; y x .
		2	1

4.y C2ex3 C1x .

5.	ln	y	1 x2 C ln	C 1 x2	C	2	.
5.	ln	y	1 x2 C ln	C 1 x2	C		.
			1	1

x C1

6. y C2e2C1 2x .

7.y C2 x xC1 C1 ;

8.y C2 x lnC1x 2 ;

y Ce x ; y C .

y Cx .

2.5. Обобщённые однородные уравнения

Уравнение (2.1)

F x, y, y ,..., y n 0

называется обобщённым однородным, если существует такое число m, при котором левая часть уравнения становится однородной функцией некоторой степени p относительно всех своих аргумен-

тов в предположении, что x, y, y ,..., y n являются величинами 1-го, m -го, m 1 -го, …, m n -го измерений соответственно, так что при любом k справедливо тождество

F kx, km y,k m 1 y ,...,k m n y n k p F x, y, y ,..., y n .

Подстановка

144

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

x et , y zemt ,	(2.10)
где t – новая независимая переменная, z t	– новая неизвестная

функция, позволяет преобразовать (2.1) в уравнение, в котором не

содержится независимой переменной t

. Все производные

d k y

dxk

1 k n , необходимо выразить через производные от z по t .

По правилу дифференцирования сложной функции находим

dy dt

zemt

emt mzemt e t

dt dx

dx dt

mz e m 1 t ,

d 2 y

d 2 z

m 1 t

dx2

dt2

m 1

e m 1 t

e t

2m 1

m m 1 z e m 2 t ,

dt2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,...,

e m n t .

Выполняя в (2.1) подстановку (2.10), а также заменяя все произ-

		d k y
водные		d k y		,	k 1, n , полученными для них выражениями через
водные		dxk		,	k 1, n , полученными для них выражениями через
		dxk
	n		,	и,	в силу однородности уравнения, сокращая на e	pt	,
z, z ,..., z			,	и,	в силу однородности уравнения, сокращая на e		,

приходим к уравнению, не содержащему t .

Порядок может быть понижен на единицу подстановкой, описанной в параграфе 2.2. Возможны и другие подстановки, если

145

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

уравнение может быть отнесено к одному (или обоим) из классов уравнений, описанных в параграфах 2.3, 2.4.

Пример. Решить уравнение

4x2 y3 y x2 y4 .

Решение. Определим, будет ли уравнение обобщённым однородным, т.е. существует ли число m , при котором функция

F x, y, y , y 4x2 y3 y x2 y4

становится однородной функцией всех своих аргументов. В уравнении заменим x на kx , y на km y , y на km 2 y :

4k 2 x2k3m y3k m 2 y k2 x2 k 4m y4 .

Для определения k нужно приравнять друг к другу показатели степеней, в которых k входит в каждый член уравнения:

2 3m m 2 2 4m ,

тогда m 1 .

Число m существует, следовательно,

уравнение является обоб-

щённым однородным.

Выполняя в уравнении подстановку

x et

y ze

(2.101)

находим

z e

e t

e t z

2 .

Уравнение принимает вид

146

2. Дифференциальныеуравнения высших порядков

e 2

или после необходимых преобразований и сокращения на e2t

4z3z 1.

Полученное уравнение не содержит независимой переменной t , следовательно, допускает подстановку

z	p		, z		(2.11)
				p p ,
где z становится новой независимой переменной, а					p z – новой
неизвестной функцией. Имеем уравнение
	4z	3		1.	(2.12)
			p p

Подчеркнём, что переход от исходного уравнения с переменными x и y x к уравнению (2.12) с переменными z и p z связан с

двумя подстановками: (2.101) и (2.11). В уравнении (2.12) разделяем переменные и интегрируем

2 pdp

d p2

C ,

2z3

p2 C

, 4C C12

, z 2

C 2 z2

4z2

Последнее уравнение – не разрешённое относительно производной. Интегрируем

dz	C	2 z2 1		2zdz
	1		,			dt .
dt		2z		C12 z2
					1

Находим общий интеграл

2	C 2 z2	1 t C	2
C 2	C 2 z2	1 t C
C 2	1
1

147

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

и избавляемся от иррациональности, предварительно умножив обе части уравнения на С12 :

4 C12 z2 1 C12 t C2 2 , 4C12 z2 4 C12 t C2 2 .

Возвращаясь к исходным переменным x и y по формулам

t ln x ,	z	y	,
		x

а также обозначив произвольные постоянные

Ñ12 C1, Ñ2 ln C2 ,

получаем общее решение в виде

4C1 y2 4x x C1 ln C2 x 2 .

Замечание. В случае, когда m 0 , подстановка (2.10) принимает вид

x et , y z ,

так что производится только замена независимой переменной.

2.5.1. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1.x3 y y xy 2 .

2.y2 x2 y xy y x3 .

3.x2 yy x2 y 2 3xyy 2 y2 x2 0 .

4.x2 yy x2 y 2 xyy 1.

5.x2 yy 1 1 y xy .

6. x2 yy y 2 xyy 2xy 3y x3 .

148

2.Дифференциальныеуравнения высших порядков

7.x2 2 yy y 2 1 2xyy .

8.x4 y 2 2 yy 4x3 yy 1.

Ответы

1.	y x ln	C2 x		.
1.	y x ln	C x	1	.
		1
	y C y 2x					2		C y 2x	C y
2.	1					2	ln	1	1	ln x C	2	.
2.							ln			ln x C		.
	C1x				C1	C1		x
	C1x				C1	C1		x

3.y2 x2 ln x C1 2 C2 .

4.y2 ln2 C1x C2 .

5.C1 y ln C1 ln x C2 1 C1 ln x C2 .

6.C1 y x2 C2 xC1 2 ; y Cx2 ; y 2x2 lnCx .

7.4 C1 y 1 C12 ln2 C2 x .

8.2C2 x2 y C2 x 1 2 1; xy 1.

2.6.Вопросы и темы для самоконтроля к разделу 2

1.Определитьуравнениеn-гопорядка. Какой видимеет уравнение n-гопорядка, разрешённоеотносительностаршей производной?

2.Сформулировать задачуКоши для уравнения n-гопорядка.

3.Какое решение называется общим? Какой вид имеет общее решение? Определить общее решение в форме Коши. Что такое общий интеграл уравнения n-го порядка?

4.Какое решение называется частным? Что такое промежуточ-

ный интеграл k-го порядка, промежуточный интеграл первого порядка? 3 33

149

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

5. Какой вид имеет уравнение, не содержащее искомой функции и её производных до порядка k 1 включительно? Какой заменой можно понизить порядок уравнения?

6.Определить уравнение, не содержащее независимой переменной. Какая подстановка позволяет понизить порядок уравнения?

7.Как интегрируется уравнение, левая часть которого есть полная производная?

8.Какое уравнениеназывается однородным? Какая подстановка приводит к понижению порядка уравнения?

9.Определить обобщённое однородное уравнение. Какой заменой уравнение приводится к однородному?

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]