Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Пример 5. Имеет ли уравнение

3y2 x dx 2 y y2 3x dy 0

интегрирующий множитель вида x y2 ? Проинтегрировать

81

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Итак, чтобы уравнение имело интегрирующий множитель заданного вида, необходимо и достаточно, чтобы функция

M Ny x

N 2 yM

была функцией, зависящей только от z x y2 . Имеем

Следовательно, интегрирующий множитель вида x y2 существует и равен (1.32). Полагая Ñ 1 , получим

уравнение в полных дифференциалах. Значит, существует функция U такая, что

82

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Найдем функцию U :

При интегрировании отдельных уравнений можно выделить полные дифференциалы, используя известные формулы:

83

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Пример 6. Решить уравнение

x y 1 xy dx x 2 y dy 0.

Решение. Раскроем скобки и запишем уравнение в виде xdx ydx x2 ydx xy2dx xdy 2 ydy 0.

Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные дифференциалы:

ydx xdy d xy , 2 ydy d y2 .

Тогда уравнение принимает вид

Получили уравнение в полных дифференциалах, интегрируя которое, находим решение

84

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

ln xy y2 1 ln C1 x22

или

x2

xy y2 1 Ce 2 .

Решение x 1y y входит в общее при C 0.

Заметим, что в результате деления уравнения (1.33) на функ-

го уравнения.

Если в уравнении (1.21) выделен полный дифференциал некоторой функции x, y , то переход от переменных x, y к пере-

менным x, z или y, z , где z x, y , позволяет упростить

уравнение.

Пример 7. Решить уравнение

y2 x2 x y y 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде

y2 x2 dy xdy ydx 0

ивыделим в нём полный дифференциал

Уравнение упростится, если перейдём к переменным y и z xy

85

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

В последнем уравнении переменные легко разделяются умноже-

dy z2dz 1 0 .

Интегрируя полученное уравнение, находим решение y arctg z C .

Возвращаясь к исходным переменным x и y , запишем интегрирующий множитель и общий интеграл уравнения

x2 1 y2 , y arctg yx C .

Решение y 0 является частным C 0 .

1.7.1. Задачи для самостоятельной работы

Проверить, что левая часть данных уравнений является полным дифференциалом, и решить эти уравнения:

86

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

5.2xy 4x3 y y2 12x2 y 0 .

6.xey ex y ey yex 0 .

7.xsin xy cos x y sin y y ysin xy cos x y cos x 0.

8.2x3 yy 3x2 y2 7 0 .

9.x2 y 1 y xy2 1 0 .

10.20 y3 3xy2 6x2 y 3x3 y y3 6xy2 9x2 y 4x3 0 .

Найти интегрирующий множитель, выделяя группы полных дифференциалов или сделав замену переменных, и решить уравнения:

13.xy y cos2 xy x 0 .

14.x2 1 y xy 1 0 .

15.x2 y2 1 dy 2xy3dx 0 .

16.2xy2 y dx y2 x y dy 0 .

Найти интегрирующие множители заданного вида и решить уравнения:

87

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

19.6xy2 x2 y y 3y2 x 0 , x2 y .

20.2 y3 y xy2 x3 0 , x2 y2 .

Ответы

1.x2 1 C . y3 y

2.sin xy cos xy x 1y C .

4.12y3 9x2 y2 6 y 2x3 C .

5.4x3 y xy2 C .

6.xey yex C .

7.cos xy sin x y cos y sin x C .

8.x3 y2 7x C .

9.x2 y2 2 x y C .

10.5 y4 xy3 3x2 y2 3x3 y x4 C .

12.y 2 y x C ; y x .

13.sin 2xy 2xy 4ln x C .

15. yx2 1y C ; y 0 .

88

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

16.x2 xy y ln y C ; y 0 .

17.x3 xy y3 C ; y x .

xy

19.3y2 x ln xy Cx ; y 0 .

20.2 y6 3x2 y4 x6 C .

1.8. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной

Уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной, имеет вид

Функция y x , имеющая непрерывную производную и об-

ращающая уравнение (1.34) в тождество, называется решением этого уравнения. Решение может быть задано в неявной форме

x, y 0 и в параметрической форме x t , y t .

График решения называется интегральной кривой. Все интегральные кривые являются гладкими кривыми.

Так же, как и уравнение (1.1), разрешённое относительно производной, уравнение (1.34) определяет поле направлений. Однако

F x0 , y0 , y 0 .

Интегральная кривая обладает тем свойством, что в каждой её точке направление касательной совпадает с одним из направлений

89

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

поля, определяемых уравнением (1.34) в этой точке. Поэтому свойство единственности решения уравнения (1.34), удовлетворя-

ющего условию y x0 y0 , обычно понимается в том смысле, что через данную точку x0 , y0 по данному направлению проходит не

более одной интегральной кривой уравнения (1.34). Решение называется частным, если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи Коши.

1.8.1. Сведение уравнений к виду y f x, y

В случае, когда уравнение (1.34)

F x, y, y 0

удаётся разрешить относительно y так, что мы получаем одно или несколько уравнений, разрешённых относительно y :

y fi x, y , i 1,2, ,

где fi x, y – вещественные функции от x и y , интегрирование

уравнения (1.34) сводится к интегрированию уравнений, разрешённых относительно производных. Совокупность общих интегралов последнихуравнений называютобщиминтегралом уравнения(1.34).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разрешая квадратное уравнение относительно y , имеем

90