Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Условие Эйлера выполнено, следовательно, существует функция U x, y такая, что

1 x2 y2 arctg xy y .

Для нахождения y воспользуемся условием

U x, y N x, y .

y

Дифференцируя построенную функцию U x, y по y , считая x постоянным, находим

71

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Общий интеграл исходного уравнения принимает вид

1 x2 y2 arctg xy C.

б) Покажем, что уравнение (1.29) легко привести к виду dU x, y 0 , выделяя группы полных дифференциалов:

xdx ydy 12 d x2 12 d y2 12 d x2 y2 ,

ydx xdy y2d xy .

Тогда (1.29) принимает вид

72

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Наконец,

Следовательно,

U x, y 1 x2 y2 + arctg xy C .

2) В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.21)

M x, y dx N x, y dy 0

не является полным дифференциалом, удаётся подобрать функцию

x, y , называемую интегрирующим множителем, после умно-

жения на которую левая часть уравнения (1.21) превращается в полный дифференциал

dU Mdx Ndy .

Здесь для краткости изложения аргументы функций x, y ,

на интегрирующий множитель x, y может привести к появле-

нию лишних частных решений, обращающих этот множитель в ноль.

Нахождение интегрирующего множителя

Из определения интегрирующего множителя имеем

M N ,y x

или в развёрнутом виде

73

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Уравнение (1.30) – это уравнение в частных производных для определения неизвестной функции x, y . Задача интегрирования

уравнения (1.30) не проще, чем нахождение общего интеграла уравнения (1.21). В общем случае для нахождения интегрирующего множителя надо подобрать хотя бы одно частное решение

x, y 0 уравнения в частных производных (1.30).

Вотдельных случаях подбор частного решения уравнения (1.30) оказывается возможным (исходя из вида уравнения в частных производных), и интегрирование исходного уравнения (1.21) сводится к квадратурам.

Рассмотрим, например, случай, когда уравнение

Mdx Ndy 0

имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x , т.е.x . В этом случае уравнение (1.30) принимает вид

74

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

xy 3exy 2e xy 1 dx x2 3exy 2e xy dy 0 .

Здесь

M xy 3exy 2e xy 1, N x2 3exy 2e xy ,

Следовательно,

ln dxx ln C , Cx .

75

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Полагая C 1 , запишем интегрирующий множитель

x 1x .

Перегруппируем в исходном уравнении слагаемые

x3exy 2e xy xy y 1 0

иумножим обе части уравнения на x 1x , x 0 :

3exy 2e xy xy 1x 0

или

3exy 2e xy d xy dxx 0, d 3exy 2e xy ln x 0.

Следовательно, общее решение имеет вид

3exy 2e xy ln x C .

Отметим, что x 0 – не решение исходного уравнения.

Рассмотрим линейное уравнение

dydx p x y f x или p x y f x dx dy 0 .

Здесь M p x y f x , N 1. Тогда

M p x , N 0 ,y y

и условие существования интегрирующего множителя, зависящего только от x , принимает вид

76

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

следовательно, e p x dx .

Таким образом, имеем ещё один способ интегрирования линейного уравнения – метод Эйлера.

Замечание 2. Метод Эйлера состоит в приведении левой части уравнения (1.12)

dydx p x y f x

к виду полной производной от некоторой функции, зависящей от x , посредством умножения обеих частей уравнения на интегрирующий множитель

x e p x dx .

Пример 3. Методом Эйлера решить линейное уравнение

«Свернём» левую часть последнего уравнения в полный дифференциал некоторой функции

77

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Тогда общий интеграл линейного уравнения имеет вид

Замечание 3. Разделение переменных сводится к умножению на некоторый интегрирующий множитель.

Действительно, для разделения переменных в уравнении (1.6)

1 x 1 y dx 2 x 2 y dy 0

зультате чего левая часть уравнения становится полным дифференциалом, значит, x, y есть интегрирующий множитель.

Используя замечание 3, получим интегрирующий множитель

однородного уравнения

M x, y dx N x, y dy 0 ,

где M x, y , N x, y – однородные функции одинаковой степени. Как показано в параграфе 1.5, в результате введения новой функ-

ции z xy в однородном уравнении переменные разделяются.

78

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Действительно, имеем

M x, y M x, zx xmM 1, z ,

Nx, y N x, zx xm N 1, z

всилу однородности, где m – степень.

Выполнив в однородном уравнении все указанные замены и учитывая, что dy zdx xdz , запишем

xm M 1, z dx xm N 1, z zdx xdz 0, xm M 1, z N 1, z z dx xm 1N 1, z dz 0.

Для разделения переменных надо обе части последнего уравнения умножить на интегрирующий множитель

xm 1 M 1, z1 N 1, z z .

Возвращаясь к прежним переменным x и y , сформулируем сле-

дующее замечание.

Замечание 4. Интегрирующий множитель однородного уравнения

M x, y dx N x, y dy 0

имеет вид

1 . xM x, y yN x, y

Он не существует лишь в случае xM x, y yN x, y 0 или в

ydx xdy 0 .

Пример 4. Используя интегрирующий множитель, решить уравнение

79

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Поэтому интегрирующий множитель, согласно замечанию 4, равен

Умножая обе части уравнения на полученный множитель и группируя слагаемые в левой части уравнения, запишем

Интегрируя последнее уравнение, находим

x x2 y2 Cy2 – общий интеграл однородного уравнения.

Из уравнения (1.30) можно найти условия существования интегрирующих множителей заданного вида, например:

80