Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Интегральными кривыми уравнения Клеро является парабола и все возможные касательные к ней. Кроме того, интегральной кривой будет всякая кривая, склеенная из дуги параболы и касательной к ней.

1.8.3. Особые решения

В данном изложении остановимся на особых решениях уравнений, не разрешённых относительно производной (1.34):

F x, y, y 0 .

Сформулируем теорему существования и единственности решения для уравнения (1.34).

F x0 , y0 , y 0 , если в некоторой замкнутой окрестности точки

x0 , y0 , y0 функция F x, y, y удовлетворяет условиям:

1)F x, y, y непрерывна по всем аргументам;

2)производная Fy существует и отлична от нуля;

3) существует ограниченная по модулю производная Fy ,

F N1 .y

111

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Множество точек x, y , в которых нарушается единственность решений уравнения (1.34),

F x, y, y 0 ,

называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено хотя бы одно из условий теоремы 2.

Если условия 1 и 3 теоремы выполнены, то в точках особого множества справедлива система:

Исключая y из уравнений системы (1.60), получим уравнение

которому должны удовлетворять точки особого множества. Поскольку условия теоремы 2 являются лишь достаточными для единственности решения, но не являются необходимыми, то не в каждой точке кривой, определяемой уравнением (1.61), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1.34).

Кривая, определяемая уравнением (1.61), называется р-дискри- минантной кривой (при y p уравнения (1.60) принимают вид

быть только точки р-дискриминантной кривой.

Если какая-нибудь ветвь y x кривой x, y 0 принад-

лежит особому множеству и при этом является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция

y x называется особым решением.

112

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Или: решение y x уравнения F x, y, y 0 называется

особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную,

что и решение y x , но не совпадающее с ним в сколь угодно

малой окрестности этой точки.

а) Первый метод нахождения особого решения уравнения

F x, y, y 0 .

Для нахождения особого решения уравнения (1.34)

F x, y, y 0

надо найти р-дискриминантную кривую, определяемую уравнениями

затем путём непосредственной подстановки в уравнение (1.34) выяснить, есть ли среди ветвей р-дискриминантной кривой интегральные кривые, и если есть, то проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность. Если единственность нарушена, то такая ветвь р-дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

б) Второй метод нахождения особого решения требует знания

общего интеграла дифференциального уравнения. Пусть общий интеграл уравнения (1.34) есть

Если семейство кривых, определяемых уравнением (1.62), имеет огибающую y x , то эта огибающая:

1)является решением дифференциального уравнения;

2)является особым решением.

113

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Правило нахождения особого решения, если известен общий интеграл (1.62), совпадает с правилом нахождения огибающей.

Если функция x, y,C имеет непрерывные первые производ-

ные, то для отыскания огибающей надо исключить С из системы уравнений

и проверить, будет ли полученная С-дискриминантная кривая огибающей, т.е. касаются ли её в каждой точке другие кривые семейства.

Пример 9. Решить уравнение

степени. Проинтегрируем методом интегрирующего множителя. Запишем последнее уравнение в виде

Умножим обе части уравнения на

114

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Интегрируем

Находим общий интеграл

представляющий (после потенцирования) совокупность уравнений, определяющих семейство интегральных кривых:

Левая часть уравнения (1.63) распадается на два множителя, являющихся иррациональными функциями от y . Поэтому преобразо-

вания уравнений совокупности дадут одно семейство интегральных кривых.

Избавляясь от радикалов, получаем

Приведём второе уравнение к виду первого, разделив обе части на C2 и сделав замену постоянной:

115

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Отметим, что при умножении уравнения на две функции y x , если они являются решениями, могли быть потеряны. Подстановка в уравнение (1.63) даёт

x 1 2 2 x 1 x 2x 2x 0 ,

значит, y x – решения.

Таким образом, запишем общее решение в виде

2) Найдём р-дискриминантную кривую, которая может оказаться особой кривой, решив систему:

ветви).

а) В пункте 1 показано, что y x – решения уравнения (1.63), т.е. y x – интегральные кривые.

б) Нарушена ли в точках кривых y x единственность решения?

116

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Проверим выполнение условий касания двух кривых y1 x и

Условия касания выполнены, следовательно, ветвь р-дискри- минантной кривой y x – особая кривая, а функция y x – осо-

бое решение.

Аналогично доказывается нарушение свойства единственности в каждой точке второй ветви р-дискриминантной кривой y x , значит, y x – особая кривая, а функция y x – осо-

бое решение.

3) На рис. 15 изображены семейство парабол и особые кривые y x , причём через каждую точку с абсциссой x , расположенной на особой кривой y x y x , проходит парабола из общего семейства (1.64), а именно та парабола, для которой С xС x . Интегральные кривые существуют только в области y x , где имеются действительные и различные корни уравнения относительно y .

117

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Рис. 15. Интегральные кривые уравнения С 1; 2 и особые кривые y x

Пример 10. Дано семейство интегральных кривых y С x C 2

некоторого дифференциального уравнения. Найти особое решение того же уравнения.

Решение. Находим С-дискриминантную кривую из системы уравнений:

Исключая параметр С, находим

118

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

y 0 и 27 y 4x3 .

Можно показать аналогично примеру 9, что для обеих кривых условия касания выполнены. Значит, y 0 и 27 y 4x3 – особые решения.

1.8.4. Задачи для самостоятельной работы

Решить уравнения:

1.xyy 2 y2 x2 y xy 0 .

2.y ey y 2 .

3.xy 2 2xy y 0 .

4.x2 y 2 1 3 1.

5.yy 2 y x y x 0 .

6.y 2 1 xy y 0 .

7.y x 1 y y 2 .

8.xy 3 yy 2 2 0 .

9.e 2x y 2 y 1 2 e 2 y 0 .

10.y 2 sin y 2xy cos3 y sin y cos4 y 0 .

Решить уравнения. Найти особые решения и построить чертёж: 11. y 4 4y xy 2y 2 .

13.x2 y 2 2xyy 2xy 0 .

14.y 2 y y ex 0 .

15.y 2 2 y 1 y x 0 .

119

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Ответы

1.xy C , x2 y2 C2 .

120