Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

общий интеграл уравнения.

При разделении переменных могли быть потеряны решения, которые находятся из уравнения x3 p3 0 :

а) непосредственной подстановкой в исходное уравнение обнаруживаем, что x 0 – не решение; б) для нахождения функции, определяемой параметром p 0 , было бы ошибочно полагать

dydx 0 и, интегрируя, найти y C ; необходимо p 0 подставить

в (1.43) и определить y 0 – решение исходного уравнения, которое содержится в общем интеграле (1.44) при C 0 .

Получили уравнение с переменными y и p , разрешённое относи-

тельно производной dpdy . Интегрируя уравнение (1.46), находим

y, p,C 0 , которое совместно с уравнением x f y, p определяет интегральные кривые исходного уравнения.

101

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Уравнение (1.46), разрешённое относительно производной, можно также получить, дифференцируя обе части уравнения (1.45)

по y и принимая во внимание, что dydx p или dydx 1p .

Пример 5. Решить уравнение

y2 y 3 2xy y 0 .

Решение. Имеем уравнение первой степени относительно x .

Продифференцируем по y обе части уравнения

2dydx 1p py2 dpdy 2 yp2 2 y2 p dpdy .

Сучётом того, что dydx 1p , запишем последнее уравнение

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

102

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

а) Интегрируя первое уравнение, находим p Cy . Присоединяя

(1.47), запишем систему уравнений:

y Cp ,

2x py y2 p2 ,

определяющих общее решение исходного уравнения в параметрической форме. Исключая параметр p из уравнений системы, по-

лучим

y2 2Cx C3 .

б) Второе из уравнений совокупности (1.48) и (1.47) дают систему уравнений:

определяющих некоторое решение исходного уравнения в параметрической форме. Исключая параметр p , получим

23 x 2y3 y 3 , 23 x 3y 3 .

103

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Наконец, возводя обе части последнего уравнения в третью степень, находим решение

32x3 27 y4 0 .

в) При переходе от исходного уравнения к (1.47) пришлось де-

включено в общее семейство решений при С 0 . Объединяя результаты пунктов «а» – «в», запишем ответ:

y2 2Cx C3 ; 32x3 27 y4 0 .

Пример 6. Решить уравнение

y 3 y2 xyy .

Решение. Разрешим уравнение относительно x

Рассмотримполный дифференциал отобеихчастей уравнения(1.49)

d py2 py2 dp .

104

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Очевидно, что нет необходимости раскрывать дифференциал в левой части уравнения, поскольку последнее уравнение является

Присоединяя к последнему уравнению соотношение (1.49), запишем общее решение исходного уравнения в параметрической форме

При переходе от исходного уравнения к (1.49) пришлось делить на yp 0 . Равенству p 0 соответствует решение y 0 исходного

уравнения(полученоподстановкой p y 0 в исходноеуравнение). Исключение p из системы (1.50) весьма затруднительно, по-

этому все решения исходного уравнения определяет система

(1.50), а также y 0 .

3) Рассмотрим уравнение, не разрешённое относительно производной, в применении к которому метод дифференцирования всегда приводит к уравнению, интегрируемому в квадратурах.

Это линейное относительно x и y уравнение y x y y ,

называемое уравнением Лагранжа.

105

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Полагая y p , запишем уравнение Лагранжа в параметрическом виде

или, рассматривая x как искомую функцию, а p как независимую переменную, получаем линейное уравнение первого порядка

Оно, как известно (параграф 1.6), интегрируется в квадратурах. Получив интеграл x, p,C 0 уравнения (1.521) и присоединяя

к нему (1.51), получим уравнения, определяющие искомые интегральные кривые в параметрической форме. Если окажется возможным исключить p из системы уравнений

x, p,С 0 и y x p p ,

то находим общий интеграл уравнения Лагранжа в форме

x, y,С 0 .

Замечание 3. Получение уравнения (1.521) невозможно, еслиp p 0 . Случай p p 0 будет рассмотрен далее в пунк-

те 4. Допустим, что уравнение p p 0 имеет действительные корни p pi . Тогда уравнение (1.52) допускает решение p pi ,

так как dpdxi 0 . Поэтому к найденным ранее решениям уравнения Лагранжа необходимо добавить

106

Интегрируя полученное линейное уравнение методом вариации

107

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

которому, в силу уравнения (1.53), соответствует решение исходного уравнения y 0 .

4) Уравнение вида

y xy y

называется уравнением Клеро. Оно является частным случаем уравнения Лагранжа, когда y y .

Как и в случае пункта 3 с уравнением Лагранжа, применим ме-

Дифференцируя по x , находим

p p x dpdx p dpdx

или

x p dpdx 0 .

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

dp 0,

dx

x p 0.

Интегрируя первое уравнение, находим p C . Присоединяя сюда (1.55), запишем систему уравнений:

p C,

y xp p ,

однопараметрическое семейство интегральных кривых.

108

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Второе уравнение совокупности совместно с (1.55) образует систему уравнений:

x p 0,

(1.57)

y xp p ,

определяющих интегральную кривую, которая является огибающей семейства интегральных кривых (1.56).

Огибающая семейства кривых на плоскости – кривая, которая в каждой точке касается одной из кривых семейства, причём касание вдоль огибающей переходит от одной кривой семейства к другой.

Огибающая некоторого семейства x, y,C 0 определяется уравнениями

x, y,C 0 и C 0 .

Тогда для семейства интегральных кривых (1.56) уравнения, определяющие огибающую, принимают вид

y Cx C и x C 0 ,

что совпадает с (1.57), если заменить С на p . Пример 8. Решить уравнение

2 y 2 x 1 y y .

Решение. Запишем уравнение в виде y xy y 2 y 2 –

109

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

или

x 1 4 p dpdx 0 .

Интегрируя dpdx 0 , находим p C , подставляя которое в (1.58), получаем однопараметрическое семейство интегральных кривых

Кроме того, интегральной кривой уравнения Клеро является огибающая семейства (1.59), определяемая уравнениями

y Cx C 2C 1 ,

x 4C 1 0.

110