Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

M max f x, y в D .

Как было отмечено в предисловии, вопросы, связанные с доказательством теорем существования и единственности решений разных типов уравнений, в данном учебном издании не рассматриваются. Поэтому здесь и далее проверка выполнения условий теорем существования и единственности решений для предложенных типов уравнений не проводится. Лишь в отдельных темах, например, при нахождении особых решений некоторых уравнений, проверке условий теорем существования и единственности будет уделено определённое внимание.

Итак, согласно теореме 1, если функция f x, y непрерывна в рассматриваемой области изменения переменных x и y и удовлетворяет условию Липшица по y , то существует единственное решение уравнения

dydx f x, y ,

удовлетворяющее условию y x0 y0 . Общее решение, т.е. мно-

жество решений, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Точки x0 , y0 , в окрестности которых решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условию y x0 y0 , не существует или

11

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

решение существует, но не единственное, называются особыми точками.

Кривая, состоящая сплошь из особых точек, называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек,

то решение называется особым.

Геометрическая интерпретация уравнения dydx f x, y

Каждой точке x, y той области, где определена функция f x, y , уравнение (1.1) ставит в соответствие определённое зна-

области уравнение (1.1) ставит в соответствие некоторое направление, определяя поле направлений. Это поле можно изобразить, поместив в соответствующих точках области стрелки, образующие

Задача интегрирования уравнения (1.1) может быть сформулирована так: необходимо найти интегральные кривые, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.

Геометрическое место точек плоскости x, y , в которых каса-

тельные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление, называется изоклиной. Уравнение изоклины имеет

вид f x, y k , k – постоянная.

12

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Подводя итог, заметим, что, не зная точного решения уравнения dydx f x, y , с помощью изоклин и поля направлений можно

приближённо провести интегральные кривые уравнения [1, 2].

Пример 1.

dydx x2 y2 .

Решение. Расставим стрелки, образующие поле направлений, предварительно построив достаточное число изоклин.

Имеем уравнение изоклины

x2 y2 k , k – постоянная.

Следовательно, изоклинами являются окружности с центром в

Чем больше проведено изоклин, тем более точным будет расположение интегральных кривых.

На рис. 1 построены изоклины для k 12 , k 1 , k 2 ; изображено поле направлений касательных к искомым интегральным

13

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

взятые произвольным образом. y

0 . 1 . 2

–1/2. x

Рис. 1. Поле направлений, изоклины и интегральные кривые

Пример 2.

dydx y x2 .

Решение. Уравнение изоклины получим, считая y x2 k , k – постоянная.

Следовательно, изоклинами являются параболы y x2 k с

осью симметрии Oy.

Дадим постоянной k некоторые определённые значения:

а) k 0 , 0 y x2 – парабола с вершиной в начале координат;

б) k 1 , y x2 1 ;

4

14

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

в) k 1, y x2 1;

4

г) k 2 , arctg 2 y x2 2 ;

д) k 2 , arctg 2 y x2 2 и т.д.

На рис. 2 построены изоклины для k 0 , k 1, k 2 ; изображено поле направлений касательных к искомым интегральным

кривым. Через точки 0,0 , 1,1 проведены интегральные кривые.

Рис. 2. Поле направлений, изоклины и интегральные кривые

1.2.1. Задачи для самостоятельной работы

Пользуясь методом изоклин, приближённо начертить интегральные кривые уравнений:

15

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

1.3.Уравнения с разделяющимися переменными

иприводящиеся к ним

1)Дифференциальное уравнение вида

в котором коэффициент при dx зависит только от x , а коэффициент при dy – только от y , называется уравнением с разделёнными

переменными.

Интегрируя уравнение (1.4), приходим к конечному уравнению

уравнению удовлетворяют все решения уравнения (1.4). Интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения

называется конечное уравнение x, y 0 , которое определяет решение y x дифференциального уравнения как неявную функ-

цию x .

Общим интегралом уравнения (1.4), т.е. конечным уравнением, определяющим все без исключения решения уравнения (1.4), является уравнение (1.5).

Если требуется из всего множества решений (1.5) выделить то решение y x , которое удовлетворяет условию y x0 y0 , то оно определится из уравнения

16

1.Дифференциальныеуравнения первого порядка

xy

x dx f2 y dy 0 .f1

Геометрически это означает, что отыскивается интегральная кривая, проходящая через точку x0 , y0 .

Пример 1. Решить уравнение

cos xdx dy 0

и найти также решение, удовлетворяющее условию y 1.

2

Решение. а) Переменные разделены, так как коэффициент при dx является функцией только x , а коэффициент при dy тожде-

ственно равен 1. Интегрируя, получим

откуда y sin x .

Отметим, что последнее решение может быть также получено

17

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

в котором коэффициенты при дифференциалах представляют собой произведения множителей, зависящих только от x и только от y , называется дифференциальным уравнением с разделяющи-

мися переменными.

Для разделения переменных достаточно обе части уравнения (1.6) разделить на произведение тех множителей, которые содержат не то переменное, на дифференциал которого они умножают-

ся, т.е. на 1 y 2 x . Разделяя переменные, приходим к уравнению с разделёнными переменными

для которого 1 y 2 x 0 .

Заметим, что при разделении переменных могли быть потеряны решения, обращающие в нуль произведения 1 y 2 x .

Пример 2. Решить уравнение

y e 4x y 3 .

Решение. Запишем уравнение в виде dy e 4x 3 ey dx .

Разделяем переменные и интегрируем

e y dy e 4x 3 dx , e y dy e 4x 3 dx C .

Общий интеграл имеет вид

e y 14 e 4x 3 C или 4e y e 4x 3 C 0 .

Пример 3. Решить уравнение

x2 1 y 2xy2 0

инайти решение, удовлетворяющее начальному условию y 0 1.

18

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Решение. а) Разделяем переменные и интегрируем

x 1 – это те функции, которые, если являются решениями исходного уравнения, могли быть потеряны при разделении переменных.

Непосредственной подстановкой в исходное уравнение обнаруживаем, что x 1 не являются решениями; y 0 – потерянное

решение, которое не содержится в общем ни при одном значении произвольной постоянной C .

Объединяя результаты пунктов «а» – «в», запишем ответ:

19

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Решение. Положим z x y 4 . Дифференцируя замену по x , находим

dydx dxdz 1, dxdz 1 tg12 z .

В последнем уравнении разделяем переменные и интегрируем

Приходим к общему интегралу

Возвращаясь к исходным переменным, запишем

2x 2 y 8 sin 2x 2 y 8 4x 4C.

Наконец, полагая C1 4C 8 , находим общий интеграл данного уравнения

2 y 2x sin 2x 2 y 8 C1 .

20