Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Учебное пособие

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

тогда

Интегральные кривые полученных семейств решений (1.36) представлены на рис. 8.

Отметим, что в точках прямой y x свойство единственности решения нарушено, так как через точки данной прямой проходят интегральные кривые решений (1.36) уравнений y x и y y

по одному и тому же направлению.

Гладкими интегральными кривыми уравнения (1.35) будут также кривые, составленные (склеенные) из дуг интегральных кривых семейств решений (1.36), если в общей точке склеиваемые дуги имеют общую касательную. Как отмечено выше, свойство единственности решения нарушено в точках прямой y x .

Рис. 8. Интегральные кривые семейств решений

91

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Пусть x 1 , y 1 . Задание начальной точки, расположенной на прямой y x , выделяет из семейств решений (1.36) две интегральные кривые

На рис. 9 изображена интегральная кривая уравнения (1.35), составленная из графиков решений

y x2 1 , x 1 и y e x 1 , 1 x .

2 2

Пусть x 0 , y 0 . Задание начальной точки выделяет из семейств решений (1.36) две интегральные кривые

0 0 C , С 0 , значит, y x2 ;

2

0 Cee , С 0 , значит, y 0 .

Рис. 9. Интегральная кривая, составленная из кривых y x2 1 2 2

и y e x 1

92

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

На рис. 10 изображена интегральная кривая уравнения (1.35), составленная из графиков решений

93

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Итак, каждая парабола

y x C 2

является интегральной кривой уравнения (1.37).

Кроме того, решением уравнения будет также y 0 , которое

могло быть потеряно при разделении переменных в уравнени-

ях (1.38).

Интегральные кривые уравнений изображены на рис. 11. Уравнение (1.37) имеет также бесконечное множество решений,

составленных из дуг и отрезков указанных выше решений уравнения (1.37). При этом склеиваемые кривые в общей точке должны иметь общую касательную. Например, таким решением будет

y x 2 2 , x 2 и y 0 , x 2 ,

график которого изображён на рис. 12;

y x 1 2 , x 1 и y 0 , 1 x 1 , и y x 1 2 , x 1 ,

график которого изображён на рис. 13.

Рис. 11. Интегральные кривые семейства решений y x C 2

С 2;0 и y 0

94

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Рис. 12. Интегральная кривая, составленная из графиков решений

Рис. 13. Интегральная кривая, составленная из графиков решений y x 1 2 , y 0 , y x 1 2

Пример 3. Решить уравнение

y 3 y2 xy x2 y 2 y3 x y2 x2 yx3 y x3 y3 0 . (1.39)

Решение. Левая часть уравнения является многочленом относительно y степени 3. Разложим левую часть уравнения на мно-

95

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

жители низших степеней относительно y , группируя слагаемые и используя формулу разности кубов:

y 3 x3 y3 y2 xy x2 y 2 xy y2 xy x2 y 0 ,

Тогда

y xy , y x2 , y y2 .

Интегрируя каждое из полученных уравнений вида dydx fi x, y , i 1,3 , находим общий интеграл уравнения (1.39)

В примерах 1–3 общим является тот факт, что левая часть уравнения (1.34) представляет собой многочлен относительно y сте-

пени n . Однако имеется существенное различие. В примерах 1 и 3 левая часть каждого из уравнений разлагается на множители низших степеней относительно y , рациональные по y и однозначные

по x во всей области её определения: уравнения (1.351) и (1.391) соответственно. Поэтому уравнение (1.35) является механическим соединением уравнений, получаемых приравниванием к нулю множителей в (1.351); в примере 1 мы получаем два различных семейства интегральных кривых. Аналогично уравнение (1.39) является механическим соединением уравнений, получаемых приравниванием к нулю множителей в (1.391); в примере 3 находим три различных семейства интегральных кривых.

96

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Что касается примера 2, то левая часть уравнения (1.37) распадается на два множителя, являющихся иррациональными функциями от y . Интегральные кривые полученных семейств решений

можно рассматривать как принадлежащие к одному семейству парабол y x C 2 .

1.8.2. Общий метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро

Если уравнение (1.34) не удаётся привести к виду dydx fi x, y ,

i 1,... , либо полученные уравнения, разрешённые относительно

производной, непросто интегрируются, тогда для нахождения решений уравнения (1.34) применяется метод введения параметра.

Пусть дано уравнение, не разрешённое относительно производ-

ной (1.34):

F x, y, y 0 .

Если рассматривать x , y , dydx p как декартовы координаты в

пространстве, то уравнение (1.34) определяет некоторую поверхность. Координаты точек поверхности могут быть представлены как функции двух параметров, например, u , v . Пусть известно такое параметрическое представление поверхности (1.34):

Система равенств (1.40) эквивалента уравнению (1.34). С учётом (1.40) соотношение dy pdx принимает вид

97

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Считая u и v переменными, получили дифференциальное уравнение первого порядка. Принимая u за независимую переменную, а v за искомую функцию, перепишем уравнение в виде

Получили уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной. Если общее решение последнего уравнения найдено в виде

v u,C ,

то из первых двух уравнений системы (1.40) находим общее решение уравнения (1.34), выраженное в параметрической форме:

x u, u,C , y u, u,C ,

где u – параметр, С – произвольная постоянная. Преобразование(1.40) обычно применяется в случае, если уравне-

ние (1.34) удаётся разрешить относительно x или y ; тогда в представлении (1.40) за параметры естественновзять y и p или x и p .

98

1. Дифференциальныеуравнения первого порядка

Получено уравнение с переменными x и p , разрешённое относи-

тельно производной dpdx . Интегрируя уравнение (1.42), находим

определяет семейство интегральных кривых уравнения (1.41). Замечание 1. Уравнение (1.42) может быть получено также в

результате дифференцирования (1.41) по x и замены dydx на р. Та-

ким образом, имеем здесь новый способ интегрирования диффе-

ренциального уравнения при помощи дифференцирования.

Замечание 2. Следует помнить, что p в общем решении урав-

нения (1.42) есть вспомогательная переменная; исключив её из уравнений

x, p,C 0 , y f x, p ,

получаем общий интеграл x, y,C 0 уравнения (1.41) без

дальнейшего интегрирования.

Пример 4. Решить уравнение

yy 2 x3 y x2 y 0 .

Решение. Левая часть уравнения является многочленом второй степени относительно y . Однако интегрирование уравнения спо-

собом, описанным в 1.8.1, влечёт за собой определённые трудности, связанные с интегрированием уравнения с радикалом, что не всегда является простой задачей. Поэтому выполним интегрирование заданного уравнения посредством дифференцирования.

Разрешим уравнение относительно y

Положим y p . Тогда

99

Л.А. Нежельская. Дифференциальные уравнения первого ивысших порядков

Пользуясь соотношением dy pdx , имеем

Выполняя преобразования и группируя слагаемые с dx и dp , приходим к уравнению

p3 x2 p2 dx x3 x2 p2 dp .

Сокращая в последнем уравнении на множитель x2 p2 (потери

решений не произойдёт), получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Пользуясь замечанием 2, исключим параметр p из уравнений системы:

Находим

100