Введение в квантовые компьютеры

Из этого выражения следует, что импульс π/2 переводит систему в состояние суперпозиции с равным весом основного и возбужденного состояний, т. е. если измерить состояние системы, то мы с равной вероятностью величиной 1/2 получим либо состояние |0 , либо состояние |1 . Тот же самый результат получается, когда импульс π/2 переводит систему из чисто возбужденного состояния (начальные условия (12.34а)).

В заключение рассмотрим изменение среднего значения компонент спина под действием резонансного поля. Повторяя предыдущие вычисления, получаем:

Если система находится изначально в основном состоянии и ее динамика описывается выражением (12.31), то эволюция средних значений компонентов спина будет выражаться следующим образом:

Ix = 0,

Уравнения (12.37) описывают прецессию среднего спина вокруг оси x во вращающейся системе координат. В начальный момент времени t = 0 «средний спин» направлен вдоль оси z: Iz = 1/2. После этого z-компонента среднего спина начинает уменьшаться, а y-ком- понента растет с течением времени. В любой момент времени выполняется условие Iy 2 + Iz 2 = 1/4. После действия импульса π/2

(Ωt = π/2)

т. е. средний спин направлен вдоль оси y (импульс π/2 переводит средний спин в поперечную плоскость). После действия π-импульса

т. е. средний спин теперь направлен против оси z.

ГЛАВА 13

Aj -Преобразование

В этой главе мы рассмотрим, как реализовать оператор Aj ,

необходимы для выполнения дискретного фурье-преобразования (см. главу 5). (Оператор Aj действует только на j-й кубит, а оператор Bjk — только на j-й и k-й кубиты.)

В результате действия оператора Aj на состояние |0j получается следующее состояние:

Найдем электромагнитные импульсы, реализующие физически преобразования (13.3) и (13.4). Введем исходную вращающуюся систему

отсчета и предположим, что вращающееся магнитное поле имеет фазовый сдвиг ϕ относительно данной системы:

Соответственно, второй член в гамильтониане (12.24) преобразуется в следующее выражение:

При ϕ = 0 подстановка (12.26) эквивалентна переходу к вращающейся системе координат, которая не связана с приложенным электромагнитным полем, но имеет такую же угловую скорость. (Направление вращающегося магнитного поля образует угол ϕ с направлением x во вращающейся системе координат.) Вместо (12.28) мы получим следующие уравнения:

ic˙0 = −12 Ωeiϕc1,

(13.8)

ic˙1 = −12 Ωe−iϕc0.

Опуская штрихи, получаем следующее решение:

c0(t) = c0(0) cos Ω2t + ic1(0)eiϕ sin Ω2t,

(13.9)

c1(t) = c1(0) cos Ω2t + ic0(0)e−iϕ sin Ω2t.

Если взять Ωt = π/2 (импульс π/2) и фазу ϕ = π/2, то из (13.9)

86 ГЛАВА 13

в знаках? Это можно сделать, например, путем введения третьего вспомогательного уровня |2j (см. рис. 13.1). Частота ω02 перехода |0j ↔ |2j , как предполагается, отлична от частоты ω12 перехода |1j ↔ |2j . Подействуем на систему сначала 2π-импульсом с частотой ω12. Если система изначально находится в основном состоянии, то ее состояние не изменится. Если же система находится изначально в возбужденном состоянии |1j , то преобразование такой системы можно описать уравнением (13.9), где c0 → c2. После действия импульса 2π имеем

Далее приложим к системе импульс π/2 с частотой ω02 и фазой π/2. Для основного начального состояния, подставляя c0(0) = 1, c1(0) = 0 в выражение (13.10), мы снова получим (13.11). Для возбужденного начального состояния, подставляя c0(0) = 0, c1(0) = −1 в (13.10), получим:

Таким образом, после действия двух импульсов мы получили желаемые преобразования (13.3) и (13.4).

Действие импульса 2π с частотой ω12 на спин j описывается следующим оператором:

Действие импульсов π/2 с частотой ω01 и фазовым сдвигом π/2 на тот же самый спин описывается оператором

Оператор (13.19) есть не что иное, как оператор Aj (см. (13.1)).

переводит систему из состояния |1k в состояние |2k только в том случае, когда атомы находятся в состоянии |1j 1k . Теперь применим

π-импульс с частотой ω1k и фазой ϕ1, а затем π-импульс с той же частотой, но с фазой ϕ2. Согласно (13.9), а также подставляя c0 → c2, можно записать выражения для c1 и c2 после действия π-импульса:

где ci(0) — значение ci перед действием импульса. Предположим, что атом k изначально находится в состоянии |1k (c1 = 1), а атом j — в состоянии |1j . После наложения первого π-импульса с частотой

Таким образом, действие двух π-импульсов эквивалентно выражению (13.2), если

θjk = π + ϕ1 − ϕ2.

ГЛАВА 15

Унитарные преобразования и квантовая динамика

В этой главе мы рассмотрим связь между квантовой динамикой, описываемой уравнением Шредингера, и унитарными преобразованиями, которые выполняют квантовые логические вентили. Для простоты предположим, что гамильтониан системы не зависит от времени. Тогда уравнение Шредингера

Уравнение (15.2) определяет унитарное преобразование начального состояния Ψ(0) в конечное Ψ(t):

Рассмотрим в качестве примера спин 1/2 в постоянном магнитном поле, на который действует резонансный электромагнитный импульс. Гамильтониан такой системы определяется уравнением (12.22). Не зависящий от времени гамильтониан можно получить с помощью преобразования во вращающуюся систему координат.