Введение в квантовые компьютеры

+eiπ/2|0100, 01 + eiπ/2 |0101, 01 −eiπ/2 |0110, 01 −eiπ/2 |0111, 01 +

+eiπ/4|1000, 01 + eiπ/4 |1001, 01 −eiπ/4 |1010, 01 −eiπ/4 |1011, 01 +

+e3iπ/4|1100, 01 + e3iπ/4|1101, 01 −

− e3iπ/4|1110, 01 − e3iπ/4|1111, 01 |S10 . (17.12)

Из выражений (17.11) и (17.12) видно, что конструктивная интерференция возникает при состояниях |0000, 01 и |0001, 01 , а так-

же |0000, 11 и |0001, 01 . Измеряя состояние ионов в регистре X, можно получить состояние |0000 или |0001 с равной вероятностью 1/2 (позже будет описано, как осуществить такие измерения). Повторяя несколько раз процедуру, описанную в этой главе (т. е. применяя соответствующие импульсы и выполняя измерения состояния регистра X), можно получить ситуацию, когда примерно в половине случаев первые четыре иона находятся в состоянии |0000 , а в остальных случаях — в состоянии |0001 . Инвертируя кубиты регистра X (см. главу 5), получим состояния |0000 и |1000 или, в десятичной системе счисления, |0 и |8 . Это значит, что

(см. главу 4), и, следовательно, период функции f (x) в выражении (17.2) равен T = 2. Теперь вычислим: z = yT /2 = 31 = 3. Наибольший общий делитель числа (z + 1, N ) = (4, 4) равен 1. Наибольший общий делитель чисел (z − 1, N ) = (2, 4) равен числу 2, которое и является множителем числа 4.

ГЛАВА 18

Вентиль CONTROL-NOT на ионах в ловушке

Рассмотрим, как реализовать преобразования, описанные в предыдущей главе, действуя электромагнитными импульсами на ионы в ловушке. Каждый кубит состоит из основного состояния и долгоживущего (метастабильного) возбужденного состояния иона. Чтобы реализовать логические вентили, Цирак и Цоллер [21] рассмотрели два вырожденных возбужденных состояния (состояния с одинаковыми энергиями) n-го иона, |1n и |2n , которые могут быть осуществлены при помощи по-разному поляризованных лазерных лучей, например σ+ и σ− (рис. 18.1). Состояние |2n здесь используется как вспомогательное.

Рис. 18.1. Энергетические уровни иона n. Состояния |1n и |2n могут быть созданы независимо с помощью лазерных лучей различной поляризации; ω0 — частота оптического перехода

Эволюция любой двухуровневой системы описывается уравнением Шредингера, поэтому для объяснения динамики конкретной системы удобно рассматривать соответствующую «эффективную» спиновую систему, т. к. эволюция такой системы описывается на языке прецессии среднего спина (см. главу 12). Именно этот подход будет использован в данной главе.

В первую очередь рассмотрим вентиль CN. Основная идея Цирака и Цоллера заключается в следующем. Предположим, что контролирующий кубит связан с m-м ионом, а контролируемый кубит — с n-м ионом. На n-й ион действует π/2-импульс с частотой оптического перехода ω0 и поляризацией σ+ . Пусть эффективный

спин Sn, связанный с этим переходом, в начальном состоянии направлен вдоль положительного направления оси z (см. рис. 18.2). После действия π/2-импульса спин повернется, будет находиться в плоскости x-y, и направлен, скажем, вдоль положительного направления оси x во вращающейся системе отсчета. Далее применяются три импульса с частотой ω0 − ωx, где ωx — колебательная частота: (1) π-импульс с поляризацией σ+ , который действует на m-й ион, (2) 2π-импульс с поляризацией σ−, действующий на n-й ион, и, наконец, (3) π-импульс с поляризацией σ+ , действующий на n-й ион. Эффект от этих трех импульсов заключается в следующем: если m-й ион до воздействия импульсов находился в возбужденном состоянии |1m (сплошная линия на рис. 18.2 в), то направление эф-

−

фективного спина Sn меняется от +x к x; если m-й ион находился в основном состоянии |0m (пунктирная линия на рис. 18.2 в), то на-

правление Sn не изменяется. После действия вышеописанных трех импульсов на n-й ион действуют π/2-импульсом с частотой ω0, поляризацией σ+ и фазой, которая отличается на π от фазы первого π/2-импульса. Если перед действием последнего π/2-импульса спин

Sn был направлен вдоль оси +x, то он вернется в первоначальное состояние, т. е. будет направлен вдоль оси +z (рис. 18.2 г — пунк-

−

тирная линия). Если же Sn был направлен вдоль оси x, то его направление изменится на противоположное, т. е. спин будет направлен вдоль оси −z (рис. 18.2 г —сплошная линия). Таким образом, ион n изменяет свое состояние в том случае, если m-й ион находился в возбужденном состоянии. Это и есть реализация квантового вен-

тиля CN (после действия пяти импульсов состояние m-го иона не изменяется).

Рис. 18.2. Вращение эффективного среднего спина, который представляет собой контролируемый кубит: (а) начальное направление спина; (б) направление спина после действия первого π/2-импульса; (в) направление спина после действия трех импульсов, которые реализуют вентиль Цира- ка–Цоллера; (г) направление спина после действия последнего π/2-импуль- са. Сплошные линии на рисунках (в) и (г) соответствуют возбужденному состоянию контролирующего кубита, пунктирные линии соответствуют основному состоянию контролирующего кубита. На рисунках (а) и (б) направление эффективного спина не зависит от состояния контролирующего кубита

Чтобы осуществить данную идею, Цирак и Цоллер ввели квантовый вентиль CZ, который действует согласно следующим правилам:

|0n0m → |0n0m ,

|0n1m → |0n1m ,

(18.1)

|1n0m → |1n0m , |1n1m → −|1n1m .

Рассмотрим, как реализовать этот вентиль. Предположим, что частота лазера равна ω = ω0 − ωx, поляризация равна σ+ , а равновесное положение иона n совпадает с узлом стоячей волны лазера. Тогда гамильтониан, описывающий взаимодействие между n-м ионом и лазерным лучом, равен [21]:

= (ηΩ/2) |1n 0n|ae−iϕ + |0n 1n|a†eiϕ . (18.2)

Здесь a† и a — операторы рождения и уничтожения колебательных фононов. Оператор a† переводит всю систему ионов из основного колебательного состояния в первое возбужденное колебательное состояние (т. е. порождает фонон). Аналогично этому оператор a переводит всю систему из возбужденного колебательного состояния в основное колебательное (поглощает фонон). Параметр η определяется следующим выражением:

где k — волновой вектор лазерного луча, m0 — масса иона, N — число ионов, Θ — угол между осью движения центра масс ионов и направлением распространения луча лазера. Фаза луча, как и ранее, обозначается буквой ϕ.

Если частота лазерного луча равна ω0 −ωx, то он может вызвать два процесса. Если n-й ион находится в основном состоянии, |0n , а вся система — ионов в возбужденном колебательном состоянии, она может совершить переход в основное колебательное состояние, выделяя энергию ωx. В этот же момент времени n-й ион поглощает энергию ωx, а также энергию фотона (ω0 − ωx) и переходит

ввозбужденное состояние |1n . Данный процесс описывается первым слагаемым в (18.2). Если же n-й атом первоначально находится

ввозбужденном состоянии, |1n , а система ионов — в основном колебательном, то n-й ион может перейти в основное состояние, порождая

фотон с частотой (ω0 −ωx) и фонон с частотой ωx. (Генерация фонона означает переход всей системы ионов из основного в возбужденное состояние.) Этот процесс описывает второе слагаемое в (18.2).

Если лазерный луч имеет поляризацию σ− и частоту ω0 −ωx, то взаимодействие между n-м ионом и лучом описывается гамильтонианом

В этом случае лазерный луч вызывает переход между состояниями |0n и |2n , сопровождающимся рождением или уничтожением фонона. Под действием лазерного луча с поляризацией σ+ воз-

действует на состояние |0m1n0 благодаря σ− поляризации лазерного луча. Третий импульс переводит m-й ион из основного в возбужденное состояние, что сопровождается аннигиляцией фонона и изменением фазы соответствующих состояний на −π/2. В результате мы возвращаемся к начальному состоянию, причем для всех состояний, за исключением |1m1n0 (здесь наблюдается фазовый сдвиг на π), фазы также равны начальным. Таким образом, при помощи трех импульсов частотой ω можно реализовать вентиль CZ.

Таблица 18.1. Вентиль CZ как результат действия трех импульсов [21]

Далее рассмотрим реализацию вентиля CN. Как уже упоминалось выше, для осуществления операции CN нужно подействовать на контролируемый кубит n двумя добавочными импульсами π/2 с резонансной частотой ω0 и поляризацией σ+ . Взаимодействие между резонансным полем и n-м ионом можно записать так:

Однокубитовый поворот под действием лазерного импульса описывается унитарным преобразованием (17.1):

где α = Ωτ — угол поворота.

После действия первого π/2-импульса с фазой −π/2 применяются три нерезонансных импульса для реализации вентиля CZ. Затем снова применяется π/2-импульс с резонансной частотой ω0, поляризацией σ+, но с фазой π/2. Результирующий оператор будет выглядеть следующим образом:

Данный оператор описывает вентиль CN. В качестве примера проверим действие оператора (18.8) на начальное состояние |1m1n0 . После действия первого импульса (оператор с правой стороны в (18.8)), согласно (18.7), получим:

После действия последнего резонансного π/2-импульса, используя (18.7), получим:

12 −|1m (|1n − |0n )|0 + |1m (|0n + |1n )|0 = |1m0n0 . (18.11)

Таким образом, под действием последовательности импульсов (18.8) начальное состояние |1m1n0 преобразуется в состояние |1m0n0 , что соответствует действию вентиля CN: если контролирующий кубит m находится в состоянии |1m , то контролируемый кубит изменяет свое состояние, при этом вся система ионов остается в основном колебательном состоянии.