Введение в квантовые компьютеры

Рис. 27.1. Первые пять уровней энергии для четырехспиновой системы

После этого преобразуем все в десятичную систему,

|0000 → |0 , |0001 → |1 , |0010 → |2

и так далее. Затем, объединяя коэффициенты при |0000 0000| в гамильтониане (27.2), получаем матричный элемент 00 = E0, который определяется выражением (27.5). Матричный элемент 11 задается выражением (27.6), а элементы 22, 44 и 88 — вы-

Аналогичным образом можно получить другие недиагональные эле-

менты. Например, для четных n, n 14, имеем n,n+1 = 01, для всех k, 0 k 7, получим

и так далее. Так как гамильтониан является эрмитовой матрицей, то для действительных недиагональных элементов ik = ki.

Теперь мы готовы записать уравнения движения для матричных элементов матрицы плотности. Полагаем

k=0

где, как и ранее, ρ∞ = E/16 — матрица плотности, соответствующая бесконечно большой температуре. Из (16.5) получаем следующие уравнения для матричных элементов rik :

+ Ω2(r41 − r05) + Ω3(r81 − r09),

где E1 — энергия состояния |0001 .

Теперь попробуем вызвать только односпиновые переходы между состояниями |00ij . Соответствующие энергетические уровни и частоты для данного случая показаны на рис. 27.2. Если применить электромагнитные импульсы с частотами, показанными на рис. 27.2, то можно вызвать только переходы, показанные на рисунке. Это означает, что единственными матричными элементами матрицы плотности (или матрицы r), которые подвергаются значительным изменениям, являются

ω0 + J02 + J03 − J01 ω1 + J12 + J13 − J01

Рис. 27.2. Уровни энергии и частоты односпиновых переходов для состояний |00ij

Недиагональные матричные элементы r01 и r10 соответствуют изменению направления спина D, когда спин C находится в основном состоянии. Матричные элементы r02 и r20 описывают инверсию спина C, когда спин D находится в основном состоянии, и т. д. Все четыре перехода, изображенные на рис. 27.2, соответствуют основным состояниям спинов A и B.

Рассмотрим теперь уравнения (27.13). В нашем случае, пренебрегая всеми недиагональными членами, кроме (27.14), можно переписать (27.13) в следующем виде:

Подобные приближенные уравнения можно записать для всех матричных элементов (27.14). Из-за отщепления от других матричных

элементов эти уравнения не отличаются от соответствующих уравнений для двухспиновых систем.

Теперь предположим, что изначальная матрица плотности четырехспиновой системы имеет диагональные матричные элементы, соответствующие третьей строке табл. 26.1. Тогда для матричных элементов (27.14) начальные условия выглядят следующим образом:

r00(0) = 2, rik (0) = 0, (i, k = 0, 1, 2, 3), (i, k) = (0, 0). (27.16)

Приближенные уравнения для матричных элементов (27.15) в сочетании с начальными условиями (27.16) не отличаются (с точностью до постоянной) от случая, когда у нас есть «чистая» двухспиновая система при нулевой температуре, находящаяся изначально в основном состоянии. Таким образом, квантовую логику можно реализовать, используя двухспиновый подансамбль четырехспиновой системы при комнатной температуре. Для этого необходимо преобразовать начальную матрицу плотности так, чтобы матрица r имела матричные элементы rik , (k = 0, 1, 2, 3), определяемые выражением (27.16).

ГЛАВА 28

Получение заданной матрицы плотности

где суммирование ведется по индексам i, k, n и m; aiknm — числа во второй строке табл. 26.1. Если отбросить множитель β/16, то эти числа представляют собой диагональные элементы матрицы отклонения. Чтобы осуществить данное преобразование, Гершенфельд и Чуанг [29] применили следующую последовательность (она называется GC-последовательность) вентилей CN к начальной матрице плотности (26.16),

Для того чтобы проверить действие данной последовательности, сначала рассмотрим преобразование матрицы плотности под действием унитарного оператора U . Возьмем волновую функцию

Ψ = cn|n . (28.3)

После действия унитарного оператора U получаем новую волновую функцию

в которой новые коэффициенты cn выражаются через старые следующим образом:

Суммирование в (28.5) проводится по повторяющимся индексам. Матричные элементы новой матрицы плотности после унитарного преобразования U можно представить в виде

Формула (28.6) представляет собой известное квантово-механическое уравнение для преобразования матрицы плотности:

В нашем случае U = GC (28.2).

Проверим действие GC-последовательности на последний член в (26.16). C точностью до множителя −β/8 мы имеем начальную матрицу M0 = |13121110 13121110|. Теперь найдем преобразование данной матрицы под действием первого оператора CN20 в (28.2):

CN20 = |0200 0200| + |0210 0210|+

Видно, что действие вентиля CN20 на матрицу |i3j2n1k0 i3j2n1k0| состоит в следующем: если j = 0, то матрица не изменяется, ес-

ли j = 1, то

Таким образом, действие вентиля CN на матрицу плотности похоже

на действие этого же вентиля на квантовое состояние. После действия вентиля CN21 получаем

После действия CN12 и CN02 матрица M2 не изменяется, т. к. в этом случае контролирующими единицами являются |01 01| и |00 00| соответственно. Таким образом, матрица |13121110 13121110| преобразуется в матрицу |13120100 13120100|, что соответствует табл. 26.1 (сравните последнюю колонку второго ряда и четвертую с конца колонку третьей строки). Подобным образом, рассматривая, например, второе слагаемое в (26.16), получим следующее преобразование под действием GC-последовательности (28.2):

0. M0 = |03020110 03020110|,

Это преобразование также соответствует табл. 26.1. Аналогичным образом можно проверить все остальные преобразования.

Таким образом, используя GC-последовательность вентилей CN, можно преобразовать начальную матрицу плотности к матрице, описывающей подансамбль спинов в состояниях |0302i1j0 , эволюция которой соответствует эволюции ансамбля двухспиновых систем, находящихся изначально в основном состоянии. Аналогично можно получить эффективную трехспиновую «чистую» квантовую систему из цепочки шести спинов и т. д [29]. Двухспиновую эффективную систему можно использовать для реализации двухкубитовых вентилей. Большие´ эффективные системы, возможно, в будущем станут пригодными для квантовых вычислений.

В настоящее время предполагают, что такие эксперименты можно проводить с многоатомными молекулами в жидкостях. Большая молекула может включать в себя ряд слабо взаимодействующих ядерных спинов (обычно протонов), которые имеют чуть различающиеся частоты в зависимости химической структуры. Взаимодействие

ГЛАВА 29

Заключение

Вэтой книге представлено наше видение современного состояния квантовых вычислений. Во введении уже говорилось, что существует два основных направления при разработке компьютеров будущего. Первое из них связано с развитием цифровых компьютеров

ибазируется на электронной проводимости. Другое направление — квантовые вычисления — связано с развитием квантовых компьютеров и, главным образом, основано на резонансном взаимодействии электромагнитных импульсов с ядерными или атомными системами. Результатом квантовых вычислений в простейшем случае является последовательность данных типа «есть напряжение» (что значит «1») и «нет напряжения» («0»). Существуют и другие идеи реализации квантовых вычислений, например идея использования спиновых состояний пары одноэлектронных квантовых точек [65]. В таких системах не используются резонансные импульсы, что представляет огромный интерес для квантовых вычислений.

Вданной книге мы не рассматривали задачу декогерентизации, которая является главным препятствием на пути к физической реализации квантового компьютера. Запутанная пара кубитов — это суперпозиция двух кубитов, которую нельзя разложить на составные части. В замкнутой системе данная пара может оставаться в таком состоянии суперпозиции бесконечно долго, но замкнутых систем не существует, и поэтому взаимодействия с окружающей средой разрушают это хрупкое состояние. Происходит потеря когерентности двухкубитового состояния. Первоначальные оценки времени декогерентизации [66] не были обнадеживающими, однако в новых системах, по всей видимости, время декогерентизации намного больше [38]. Квантовые вычисления могут породить новые направления в материаловедении, поскольку необходимо найти материалы, обладающие как можно большим´ временем декогерентизации.

Когда кубиты находятся в состоянии суперпозиции, они не являются собственным состоянием гамильтониана, описывающего квантовый компьютер, поэтому становится важна их динамика. Она устанавливает связь между динамической системой и квантовыми вычислениями. Большинство моделей, используемых при квантовом вычислении, являются хаотическими квантовыми системами. Это значит, что считающиеся классическими системы на самом деле хаотические. Мы думаем, что для физической реализации квантового компьютера необходимо прежде всего понять динамические процессы. Последние разработки в динамических системах обеспечили нас тем инструментом, который позволяет проводить исследования в такой области, как динамические квантовые вычисления.

До сих пор существует лишь несколько значительных достижений в области квантовых вычислений: первый квантовый алгоритм, первые коды коррекции ошибок и две весьма многообещающих реализации квантовой логики (охлажденные ионы в ионной ловушке и ядерные спины в молекулах). Наиболее важным шагом в будущем является экспериментальная реализация квантовой логики. Реальный квантовый логический вентиль должен показывать правильное преобразование произвольного состояния суперпозиции с учетом величины и фазы комплексных амплитуд. Весьма вероятно, что все трудности в квантовых вычислениях будут преодолены. Неожиданные открытия последних лет настраивают нас очень оптимистически.