Введение в квантовые компьютеры

Левый кубит в выражении (11.9) является контролирующим. Если он находится в основном состоянии |0 , то два контролируемых кубита не изменяют своих состояний. Эта ситуация описывается с помощью первых четырех членов, стоящих в выражении (11.9). Другие четыре слагаемых описывают противоположный случай, т. е. когда контролирующий кубит находится в возбужденном состоянии |1 , то контролируемые кубиты меняют свое состояние. Например,

и состояние кубитов не изменяется. Если же

то контролируемые кубиты изменяют свои состояния. В десятичной системе вентиль F можно записать в следующем виде:

F = |0 0| + |1 1| + |2 2| + |3 3| + |4 4| + |5 6|+

+ |6 5| + |7 7|. (11.12)

В матричном представлении выражение (11.12) имеет вид:

Оператор F также является унитарным и эрмитовым. Иногда логические вентили удобно представлять с помощью операторов рождения (a†) и уничтожения (a), которые имеют следующие свойства:

Оператор рождения a† преобразует основное состояние |0 в возбужденное |1 , а — оператор уничтожения a наоборот, возбужденное |1 — в основное |0 . В обозначениях Дирака это выглядит таким образом:

Предположим, что операторы a и a† действуют только на левый кубит, операторы b и b† — только на центральный, а операторы c и c† — только на правый кубит. Тогда вентиль F можно представить как

Проверим, в качестве примера, действие оператора F на состояние |001 . Т. к. a|0 = 0, то

и только первое слагаемое E в выражении (11.16) дает ненулевой результат. В то же время

F|101 = E|101 + a†ab†bc|101 − a†ac†c|101 =

= |101 + |110 − |101 = |110 . (11.18)

Как видно, в данном случае только три члена в выражении (11.16) дают ненулевой результат.

В заключение рассмотрим трехкубитовый вентиль CCN:

CCN = |000 000| + |001 001| + |010 010| + |011 011|+

+ |100 100| + |101 101| + |110 111| + |111 110|. (11.19)

Два левых кубита в выражении (11.19) являются контролирующими. Вентиль CCN изменяет состояние правого (контролируемого) кубита, если оба контролирующих кубита находятся в возбужденном состоянии (последние два слагаемых в выражении (11.19)). Полезно записать вентиль CCN в десятичном и матричном представлениях. В десятичной системе, используя обозначения Дирака, оператор CCN имеет следующий вид:

CCN = |0 0| + |1 1| + |2 2| + |3 3| + |4 4|+

+ |5 5| + |6 7| + |7 6|. (11.20)

В данном десятичном матричном представлении оператор CCN имеет следующие матричные элементы:

ГЛАВА 12

Однокубитовый поворот

В этой главе мы рассмотрим, как реализовать простейший логический вентиль N, используя двухуровневую квантовую систему. Таких систем существует великое множество, мы же рассмотрим только одну из них — протон со спином I = 1/2, находящийся в однород-

ном магнитном поле B, направленном в положительном направлении оси z.

Уравнение Шредингера для этой системы выглядит следующим образом:

где Ψ является волновой функцией,

Ψ = c0|0 + c1|1 .

Амплитуды c0 и c1 должны удовлетворять условию нормировки:

где ω0 = γB — собственная частота системы, γ — гиромагнитное отношение для протона, Iz — оператор, описывающий компоненту z спина 1/2,

В матричном представлении оператор Iz имеет следующий вид:

Энергия основного состояния |0 равна − ω0/2, а энергия возбу-

жденного — ω0/2.

В момент времени t общее решение уравнения Шредингера (12.1) можно записать как

Из (12.7) можно получить два обыкновенных дифференциальных уравнения для амплитуд c0 и c1:

и z-компонентов спина протона, описываемого выражением (12.9). Эти значения можно определить экспериментально, если в системе при t = 0 большинство спинов находятся в одинаковом состоянии. Операторы Ix и Iy имеют следующий вид:

Ix = 12 (|0 1| + |1 0|),

(12.10)

Iy = 2i (−|0 1| + |1 0|).

Среднее значение A любого (физически наблюдаемого) оператора A можно найти следующим образом:

76 ГЛАВА 12

Сначала вычислим действие оператора Ix на волновую функцию Ψ(t):

Затем вычислим среднее значение Ix (t), зависящее от времени,

Выражение (12.14) можно значительно упростить, для этого запишем комплексное число в следующем виде:

где a — модуль, а ϕ — фаза комплексного числа. Тогда выражение (12.14) можно переписать в виде:

=2i c0(0)c1(0)eiω0t + c0(0)c1(0)e−iω0t =

=−a sin(ω0t + ϕ). (12.17)

Наконец, выражение для среднего значения Iz (t) будет иметь следующий вид:

Iz (t) = Ψ†(t)Iz Ψ(t) =

=c0(0)e−iω0t/2 0| + c1(0)eiω0t/2 1| ×

×12 c0(0)eiω0t/2|0 − c1(0)e−iω0t/2|1 =

12 (|c0(0)|2 − |c1(0)|2). (12.18)

Из выражения (12.18) видно, что среднее значение Iz (t) не зависит от t. Следует отметить, что в процессе временной эволюции среднее значение длины спина остается постоянным:

Ix 2 + Iy 2 + Iz 2 =

= |c0(0)c1(0)|2 + 14 (|c0(0)|4 + |c1(0)|4 − 2|c0(0)c1(0)|2) =

(12.19)

= 14 (|c0(0)|4 + |c1(0)|4 + 2|c0(0)c1(0)|2) = 14 ,

Ix 2 + Iy 2 = a2.

В выражении (12.19) использовано условие нормировки: |c0(0)|2 + + |c1(0)|2 = 1. Выражения для Ix (t), Iy (t) и Iz (t) описывают

прецессию вектора среднего спина I (t) вокруг направления магнит-

ного поля. Модуль вектора I (t) равен 1/2, компонента z данного вектора остается неизменной, а поперечная компонента вращается по часовой стрелке вокруг оси z (если смотреть сверху из положительного направления оси +z) с частотой ω0.

Рассмотрим, что произойдет, если наложить поперечное поляризованное по кругу магнитное поле, частота которого совпадает с резонансной частотой прецессии. Такое поле имеет следующий вид:

В выражении (12.22) использована следующая система обозначений:

B+ = Bx + iBy = he−iωt,

B− = Bx − iBy = heiωt,

(12.23)

I+ = Ix + iIy = |0 1|,

I− = Ix − iIy = |1 0|.

Подставляя (12.23) в (12.22), получим следующий гамильтониан:

где Ω = γh — амплитуда резонансного поля, измеренная в единицах частоты. Ω называется частотой Раби, она описывает переходы между состояниями |0 и |1 под действием резонансного поля. Характерное время τ = π/Ω таких переходов обычно намного больше периода прецессии 2π/ω0. Подставляя гамильтониан (12.24) и волновую функцию (12.6) в уравнение Шредингера, можно вывести уравнения для c0 и c1:

Эти уравнения включают в себя периодические коэффициенты exp(±iωt), зависящие от времени. Чтобы получить уравнения с постоянными коэффициентами, используем следующую замену:

После подстановки (12.26) в (12.25) получим уравнения для c0 и c1:

ic˙0 = 12 (ω − ω0)c0 − Ωc1 ,

(12.27)

ic˙1 = 12 −(ω − ω0)c1 − Ωc0 .

В условиях резонанса, т. е. при ω = ω0, из (12.27) получаем:

ic˙0 = −12 Ωc1,

(12.28)

ic˙1 = −12 Ωc0.

Преобразование (12.26) эквивалентно переходу к системе координат, вращающейся вместе с резонансным магнитным полем, в которой поляризованное по кругу магнитное поле становится поперечным постоянным полем, а прецессия вокруг оси z отсутствует. Этим самым мы как бы «выключаем» постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Таким образом, во вращающейся системе координат мы имеем только постоянное поперечное магнитное поле с амплитудой h = Ω/γ. Далее опустим «штрих» в выражениях, содержащих c0 и c1. Тогда общее решение уравнений (12.28) можно записать как

Пусть в момент времени t = 0 спин находится в основном состоянии, т. е.

Таким образом, импульс резонансного магнитного поля длительностью π/Ω переводит систему из основного состояния в возбужденное. Такой импульс называется π-импульсом. Если же спин первоначально находится в возбужденном состоянии, т. е.

то после действия π-импульса получим следующее состояние:

т. е. π-импульс переводит спин в основное состояние. Данный импульс действует как квантовый оператор N, т. е. он изменяет состояние системы с |0 на |1 и наоборот. (Общий фазовый множитель i = exp(iπ/2) несуществен для волновой функции, поскольку он не оказывает влияния на наблюдаемое значение.) Если взять импульс с другой длительностью, то можно перевести квантовую систему в состояние суперпозиции, создав так называемый однокубитовый поворот. Например, при t1 = π/2Ω (импульс π/2) и начальных условиях (12.30) из (12.31) получим: