Введение в квантовые компьютеры

перехода, то гамильтониан взаимодействия можно записать в следующем виде:

Здесь состояния |0 и |1 относятся к атому, Ω1 — однофотонная частота Раби, a† и a — операторы рождения и уничтожения фотона в резонаторе. Если резонатор не настроен на частоту перехода, то нерезонансный гамильтониан выглядит следующим образом:

где Ω2 — изменение расстояния между атомными уровнями на каждый фотон в резонаторе. В [53, 57] было предложено использовать нерезонансное взаимодействие (23.2) для создания фазового сдвига в атомном состоянии, контролируемого числом фотонов. Данный метод связан с атомной интерферометрией Рамзая [59].

Пусть, например, контролируемый кубит — это атом с двумя круговыми состояниями Ридберга, |0 или |1 . Резонатор с высокой добротностью помещают между двумя вспомогательными микроволновыми резонаторами, в которых классическое микроволновое поле осуществляет поворот эффективного спина, соответствующего двухуровневой системе, на величину π/2. После того как атом проходит через первый микроволновый резонатор, состояние |nk системы преобразуется в следующее состояние:

где первое число, n, относится к фотону в высокодобротном резонаторе, а второе число, k, — к атому. В центральном (высокодобротном) резонаторе создается фазовый сдвиг за счет нерезонансного (рассеивающего) взаимодействия с квантованным полем. Тогда для любого состояния |nk имеем:

|n0 → exp(−inΘ/2)|n0 ,

(23.4)

|n1 → exp(inΘ/2)|n1 ,

ре, выполненное Турчеттом и др. [24]. В этом эксперименте кубиты состояли из двух фотонов с различными частотами. Условная динамика возникала из-за нелинейной оптической ответной реакции атома цезия. С полем резонатора были связаны два атомных перехода с ортогональной круговой поляризацией, σ+ и σ−. Скорость σ−

перехода 6S1/2|F = 4, m = 4 ↔ 6P3/2|F = 5, m = 3 была пренебрежимо мала по сравнению со скоростью σ+ перехода c параметра-

ми |F = 5, m = 5 . Основное состояние |F = 4, m = 4 создавалось путем оптической накачки атомов Cs. Чтобы изучить фотон-фотонное взаимодействие (передаваемое через атом), авторы в работе [24] исследовали прохождение луча накачки с частотой fb и зондирующего луча с частотой fa (рис. 23.2). После прохождения пучков через резонатор анализируются их поляризационные состояния. Если зондирующий луч оказался линейно поляризованным, то компонента σ− получает фазовый сдвиг, соответствующий пустому резонатору, а компонента σ+ — сдвиг, соответствующий системе «резонатор c атомом». Фазу Φa, соответствующую разности фаз между σ±-компонентами, можно измерить путем анализа поляризации луча на выходе. Чтобы исследовать таблицу истинности для квантового фазового вентиля, авторы записали зависимость фазы Φa зондирующего луча от интенсивности поля накачки для каждой поляризации σ±. То же самое было проделано для фазы Φb луча накачки. (Частота зондирующего луча была сдвинута относительно атомного резонанса на 30 МГц, а частота луча накачки — на 20 МГц.) Затем авторы выделили фазовые сдвиги, приходящиеся на каждый фотон, и получили следующую таблицу истинности:

| + + → exp[i(Φa + Φb + Δ)]| + − ,

где первый знак относится к поляризации зондирующего луча, а вто-

рой знак — к поляризации луча накачки, Φa ≈ 17, 5◦, Φb ≈ 12, 5◦,

≈ 16◦.

Рассмотрим кратко возможности использования квантовых точек для реализации квантовых логических вентилей. Баренко и др. [53]

Рис. 23.3. Волновые функции квантовой точки для электрического поля E0 = 0 (а) и E0 = 0 (б)

предложили использовать квантовые точки при реализации квантового вентиля CN. Они рассмотрели две одноэлектронные квантовые точки, внедренные в полупроводник и находящиеся на расстоянии R друг от друга. Кубит включал в себя основное состояние |0 и первое возбужденное состояние |1 квантовой точки. При наличии внешнего статического электрического поля необходимо выбрать систему отсчета, в которой дипольный момент в состоянии |0 равен di, а дипольный момент в состоянии |1 равен −di(i = 1, 2). Наблюдаемый эффект связан со сдвигом распределения заряда, который противоположен в состояниях |0 и |1 (рис. 23.3). Предполагается, что две точки A и B имеют разные резонансные частоты ωA и ωB . Гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия int при достаточно хорошей аппроксимации коммутирует с гамильтонианом невзаимодействующих точек, и

где n = 0, 1 соответствует состоянию первой точки, а k = 0, 1 — состоянию второй точки. Таким образом, диполь-дипольное взаимодействие между точками можно описать при помощи взаимодействия

Изинга (см. (20.1)) двух эффективных спинов с постоянной взаимодействия J. Схема уровней энергии системы из двух точек такая же, как и у двухспиновой системы (рис. 22.1). Чтобы реализовать квантовый вентиль CN с контролирующим кубитом A, было предложено [53] применить π-импульс с частотой ωB − J. Данный импульс действует на состояние точки B, если точка A находится в возбужденном состоянии.

ГЛАВА 24

Коррекция ошибок в квантовых компьютерах

Одной из основных трудностей теории квантовых компьютеров является проблема коррекции ошибок. Стандартный путь коррекции компьютерной ошибки — использовать избыточность, т. е. для представления одного и того же бита использовать несколько элементов. Чтобы внедрить процедуру коррекции в цифровой компьютер на атомных цепочках, Ллойд предложил использовать более сложные трехуровневые системы [18]. Атомы (A, B или C) должны обладать дополнительным возбужденным состоянием |2 , которое способно быстро переходить в основное состояние.

Пусть, например, атом B обладает состоянием |2 , которое быстро переходит в основное состояние |0 . Предположим, что триплет ABC используется для хранения одного бита, т е. имеются только состояния |000 или |111 (здесь |ijk означает iAjB kC ). Ошибка бычно изменяет состояние только одного атома. Это значит, что мы получим состояния с ошибкой, |001 , |010 или |100 вместо состояния |000 (или состояния |011 , |101 , |110 вместо |111 ).

Чтобы исправить ошибку, применяется последовательность импульсов со следующими частотами:

где ωikB (n ↔ m) обозначает частоту перехода n ↔ m (n, m = 0, 1, 2) для атома B, когда соседние атомы A и C находятся в состояниях |i и |k (первый импульс имеет частоту ω00B ). Далее осуществляется обмен состояниями A и B (см. главу 21) и последовательность (24.1) повторяется. На третьем шаге обменивают состояния атомов B и C

и снова применяют последовательность (24.1). В результате этих действий восстанавливается первоначальное состояние, |000 или |111 .

В качестве примера рассмотрим коррекцию состояния |001 . На первом шаге последовательность (24.1) не изменяет это состояние, поскольку он действует на атом B только в том случае, когда оба соседних атома (A и C) находятся в одинаковом состоянии, |0 или |1 . После того как атомы обмениваются своими состояниями, наблюдается прежняя ситуация (состояние |001 ). После обмена состояниями между атомами B и C получается состояние |010 . Теперь первый импульс последовательности (24.1) переводит атом B в состояние |2 (см. рис. 24.1 а), которое быстро переходит в состояние |0 . Три других импульса не влияют на атом B. В результате мы получим нужное нам состояние |000 . На рис. 24.1 б показана аналогичная схема для случая, когда соседние атомы A и C находятся в возбужденном состоянии (состояние |101 ). Обсудим теперь недостатки, касающиеся действия электромагнитных импульсов [60]. Сначала рассмотрим цепочку спинов ABCABC . . . cо взаимодействием Изинга, а также взаимодействие с резонансным π-импульсом. Очевидно, что угол поворота αi может случайно отличаться от π,

где h — амплитуда, а τ — длительность электромагнитного импульса, который поляризован по кругу в плоскости x-y. (В главе 22 уже говорилось, что угол поворота α чуть больше, чем γihτ .)

Рассмотрим сейчас одну из возможностей коррекции ошибки, вызванной искажением π-импульса в цепочке спинов [55]. Допустим, что электромагнитное излучение входит в квантовый компьютер через один из 16 резонансных элементов, с помощью которых можно наблюдать сигнал от спинового резонанса. Три элемента содержат спин A, три — спин B, и три — спин C. Четыре дополнительных элемента соответствуют крайним спинам.

Схема коррекции искаженных π-импульсов для «спинового квантового компьютера» представлена на рис. 24.2. Каждый эле-

мент «Sj » помещают в магнитное поле Bj , ориентированное вдоль оси z и соответствующее одной из резонансных частот квантового компьютера (12 внутренних частот и четыре частоты для крайних

Рис. 24.1. Коррекция «ошибочного бита» в атоме B триплета ABC: (а) соседние атомы A и C находятся в основном состоянии |010 ; (б) соседние атомы A и C находятся в возбужденном состоянии |101 . Цифры i = 1 − 4 обозначают переход под действием i-го импульса в последовательности (24.1)

где B1, B2 и B3 — соответствующие величины магнитного поля. Амплитуды hA,B,C электромагнитных импульсов выбираются таким

образом, что αA,B,C = π. Таким образом, при обычной ситуации (неискаженные π-импульсы) сигнал свободной прецессии от «резо-

нансного элемента» отсутствует. Если каким-то образом получилось так, что αB = π, то можно измерить сигнал свободной прецессии от резонансного элемента.

Пусть электромагнитный π-импульс переводит спин B из основного |0 в возбужденное состояние |1 . Эволюцию среднего спина можно приближенно описать при помощи решения (22.21). Предположим, например, что в резонансном элементе после действия π-импульса детектируется сигнал свободной прецессии s = ia. Если измеренное значение a больше нуля, то y-компонента среднего спина ( Iy = Im(s)) положительна во вращающейся системе координат. Это значит, что угол поворота αB < π (см. рис. 24.3). В этом

Рис. 24.2. Схема коррекции искаженных π-импульсов. Прямоугольники G1−16 обозначают «генераторы» π-импульсов и «слабых корректирующих импульсов». Кружки S1−16 — «резонансные элементы». — приборы, измеряющие сигнал свободной прецессии и передающие информацию (линии «4») «генераторам», которые затем создают слабый корректирующий импульс. «1» — π-импульсы, «2» — «слабые корректирующие импульсы», «3» — восстановленные импульсы, которые действуют только на резонансные элементы и восстанавливают равновесное состояние

случае применяют резонансный импульс, направленный вдоль оси x вращающейся системы координат, с углом поворота

Если a < 0, то αB > π. В этом случае необходимо применить добавочный импульс с αB = αB − π = arcsin |2a| вдоль отрицательного направления оси x вращающейся системы координат, т. е. импульс с фазой, сдвинутой на π относительно первого импульса. Следует отметить, что после добавочного импульса к резонансному элементу необходимо применить π-импульс для того, чтобы восстановить начальное состояние резонансного коллектора.

Одной из наиболее сложных задач в квантовых вычислениях является коррекция ошибок в сложных состояниях суперпозиции, которые используются, в частности, в алгоритме Шора. Открытие существования кодов коррекции ошибок для квантовых состояний суперпозиции [25, 61, 62] стало вторым успехом теории квантовых вычис-