Введение в квантовые компьютеры

Рис. 4.1. Векторная диаграмма для состояния суперпозиции (4.3). Каждый вектор на пересечении |x и |f (x) изображает соответствующую амплитуду

для члена |x, f (x) в выражении (4.3). Длина вектора пропорциональна

√

модулю комплексной амплитуды (в данном случае он равен 1/ 8). Угол между направлением вектора и горизонтальной линией называется фазой комплексной амплитуды φ (в данном случае он равен нулю)

лее, согласно алгоритму Шора, регистр X преобразуется по следующему правилу:

где x и k записываются в десятичной системе. Так, например, состояние |5 преобразуется в следующее состояние суперпозиции:

Преобразование (4.4) называется дискретным фурье-преобразовани- ем состояния регистра X. Применим такое преобразование к волновой функции Ψ (см. выражение (4.3)). В результате получим новую

Рис. 4.2. Векторная диаграмма для волновой функции (4.5) (длина каждого вектора равна 1/8)

волновую функцию:

7

Ψ = 18 e2πikx/8|k, f (x) =

x,k=0

=18 |0 {|f (0) + |f (1) + |f (2) + · · · + |f (7) }+

+18 |1 {|f (0) + e2πi/8|f (1) + e2πi2/8|f (2) + · · · + e2πi7/8|f (7) }+

+18 |2 {|f (0) + e4πi/8|f (1) + e4πi2/8|f (2) + · · · + e4πi7/8|f (7) }+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

имеют следующие фазы:

В результате эти амплитуды взаимно уничтожают друг друга. Комплексные амплитуды во вторых скобках

также отличаются на величину π/2, поэтому соответствующие амплитуды опять же сокращаются. Ниже представлены фазы для следующих четырех состояний:

Для всех этих функций соответствующие комплексные амплитуды в выражении (4.6) взаимно уничтожаются. Члены, включающие функцию |4, f (0) (см. (4.6)), имеют следующие фазы:

которые обеспечивают конструктивную интерференцию комплексных амплитуд. Все это также справедливо для функции |4, f (1) с фазами

В конечном счете из выражения (4.6) для функции Ψ получаем:

Волновая функция схематически изображена на рис. 4.3 в виде векторной диаграммы. Теперь, измеряя состояние регистра, мы получим числа 0 или 4, каждое из которых имеет вероятность 1/2. Согласно

Рис. 4.3. Векторная диаграмма, соответствующая волновой функции Ψ (4.12). Данная диаграмма получена из рис. 4.2 путем прибавления векторов (амплитуд), соответствующих одинаковым состояниям |i, j при f (0) = = f (2) = f (4) = f (6) и f (1) = f (3) = f (5) = f (7). Длина каждого вектора равна 1/2

алгоритму Шора измерение состояния регистра X дает одно из следующих значений k:

где D — число возможных булевых состояний регистра X (если D делится на T ). В нашем случае D = 23 = 8, поэтому, измеряя состояние регистра X, соответствующее волновой функции в (4.12), получаем следующие значения k: k = 0 или k = 4. Принимая во внимание эти результаты, а также выражение (4.13), приходим к выводу, что T = 8/4 = 2.

Остается вопрос: как найти период T функции f (x), если в процессе измерения квантовый алгоритм выдает множество целых значений k, кратных выражению D/T , где D — полное число состояний. Рассмотрим простой случай, когда D делится на T без остатка, и предположим, что T = 8. Нам необходимо выяснить, как получить именно это значение периода, если результат измерения состояния

регистра X (значений k) известен. Пусть

Из выражения (4.13) следует, что измерение состояния регистра X дает одно из следующих восьми значений k:

k = 0, 16, 2 · 16 = 32, 3 · 16 = 48, . . . , 16 · 7 = 112. (4.15)

Предположим, например, что при измерении значение k получилось равным 80. Тогда для отношения D/k получим следующую величину:

Приведя отношение D/k к несократимой дроби, получим максимальное значение числителя, равное 8, что соответствует периоду T . Вероятность получения этого значения достаточно большая, W = 1/2.

Таким образом, квантовое измерение состояния регистра X дает значения

с равной вероятностью. Дробь

имеет при наименьшем значении ее членов наибольший числитель, равный периоду T , если T и m не имеют общих делителей, кроме

единицы. Было показано, что вероятность этого события достаточно высока для того, чтобы обеспечить эффективное вычисление с желаемым успехом [39].

Подведем кратко итог для всего описанного выше. Используя квантово-механический, подход мы создали волновую функцию Ψ (4.5), которая включает в себя суперпозицию всех значений аргумента x. Квантовый компьютер проверяет все эти числа и автоматически отбирает суперпозицию состояний с требуемыми измеренными значениями регистра X, которые кратны D/T . Отметим, что сам квантовый алгоритм является детерминированным, а результат — вероятностным. Главное преимущество квантового компьютера заключается в том, что он проверяет все возможные значения x одновременно (параллельно), однако такой «квантовый параллелизм» не требует большого количества вычислительных шагов, поскольку неподходящие (неверные) числа взаимно уничтожаются и в итоге остаются только правильные значения x. В рассмотренном нами случае эти верные значения появляются с равной вероятностью.

ГЛАВА 5

Дискретное фурье-преобразование

В квантовом алгоритме, описанном в предыдущей главе, используется дискретное фурье-преобразование. Вопрос заключается в том, как описать это преобразование на основе квантово-механических операторов. Эффективный алгоритм фурье-преобразования, основанный на применении именно таких операторов, был предложен Копперсмитом и Дойчем (см. [39]). Пусть у нас есть L кубитов в регистре X, содержащем числа x от 0 до 2L − 1. Любое число x (в десятичном представлении) может быть выражено в виде следующего состояния:

|x = |xL−1xL−2 . . . x1x0 = |xL−1 |xL−2 . . . |x1 |x0 , (5.1)

где

Символ в выражении (5.1) обозначает тензорное произведение или, иначе, прямое произведение, которое представляет собой одно из обозначений для L-кубитовых базисных состояний. В дальнейшем этот символ будет просто опускаться. Введем понятие однокубитового (одноатомного) оператора Aj , который действует только на кубит, представленный j-м атомом. Такой оператор нужен для того, чтобы правильно «смешать» два исходных состояния j-го кубита, |0j и |1j . Явная форма этого оператора имеет следующий вид:

Aj = 2−1/2(|0j 0j | + |0j 1j | + |1j 0j | − |1j 1j |),

(j = 0, . . . , L − 1). (5.3)