Введение в квантовые компьютеры

ГЛАВА 26

Квантовые логические вентили в ансамбле спинов при комнатной температуре

В этой главе описываются квантовые вычисления при комнатной температуре, идея которых была предложена независимо в работах [28, 29] и [30]. Прежде чем рассматривать такие вычисления, обратимся сначала к ансамблю невзаимодействующих спинов I = 1/2 во внешнем магнитном поле, которое направлено вдоль оси z. В состоянии теплового равновесия данную систему можно описать при помощи матрицы плотности (16.17), которая при обычных условиях, kB T ω0, имеет вид (16.19). Выражение (16.19) состоит из двух членов. Первый член, соответствующий бесконечно большой температуре, пропорционален единичной матрице ρ∞ =

= (1/2)E. Данное слагаемое не влияет на средний спин I , который для ансамбля спинов можно измерить экспериментально. Действительно,

Матрица ρ , в свою очередь, представлена в виде суммы диагональной матрицы ρa, которая пропорциональна E,

Матрица ρa не действует на средний спин I .

Рассмотрим теперь эволюцию ансамбля спинов, которая может быть вызвана, например, действием резонансных электромагнитных импульсов. Представим зависящую от времени матрицу плотности в виде

Если подставить ρ(t) в уравнение (16.5) для матрицы плотности, то получим уравнение для матрицы ρb(t):

Отметим, что это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение для матрицы плотности ρ(t). Если подставить (26.5) в (16.19) при t = 0, то получим начальное условие (26.4) для матрицы ρb(t).

Теперь, для сравнения, рассмотрим «чистый» квантовый ансамбль из невзаимодействующих спинов при нулевой температуре (см. примечание перев. на стр. 71). Если первоначально ансамбль находится в основном состоянии, то эволюцию каждого спина можно описать либо при помощи уравнения Шредингера, либо уравнением для матрицы плотности (16.5) с начальными условиями

Возникает вопрос: какова разница между средним спином для «чистого» квантового ансамбля при абсолютном нуле температуры и того же ансамбля при высокой температуре? Как было выяснено, они отличаются только на множитель β/2, который появляется в начальном условии (26.4). Эволюция же этих двух систем совершенно одинакова. В главе 16 уже рассматривался данный результат для частного случая однокубитового поворота.

Чтобы использовать его для квантовых логических вентилей, попытаемся получить подобный результат для ансамбля групп спинов (молекул). Рассмотрим простейший случай взаимодействия двух спинов с гамильтонианом (22.2) и уровнями энергии, изображенными на рис. 22.1. В десятичной системе счисления

матрица плотности имеет компоненты ρik , i, k = 0, 1, 2, 3. Равновесная матрица плотности определяется выражением

e−Ek /kB T

ρkk = 3=0 e−Ek /kB T , (ρik = 0 i = k), k

где Ek — уровни энергии, изображенные на рис. 22.1. Принимая во внимание неравенство Ek /kB T 1, матрицу плотности приближенно можно представить в следующем виде:

В данном приближении можно не учитывать влияние разности частот ω1 − ω2 и константы взаимодействия J на заселенность состояний при тепловом равновесии. Тогда второе слагаемое в (26.9) можно записать в более простой форме:

Чтобы прояснить смысл представления (26.11б), запишем матрицы ρa и ρb в двоичной системе:

Из данного выражения видно, что с точностью до постоянной ±β матрица ρb описывает чистое квантовое состояние |00 , а матрица ρa описывает состояние |11 .

Вопрос состоит в том, сможем ли мы рассмотреть эволюцию подансамбля, который можно описать, например, с помощью матрицы плотности ρb с начальным условием (β/4)|00 00|, независимо от эволюции другого подансамбля, описываемого матрицей ρa. (Естественно, как правило, мы рассматриваем эволюцию в течение промежутка времени, меньшего, по сравнению со временем релаксации.) Чтобы ответить на поставленный вопрос, предположим, что мы применяем только электромагнитные импульсы с частотой ω2 + J, которая соответствует резонансным переходам между состояниями |00 и |01 . В этом случае мы имеем дело только с подансамблем «b», который можно описать при помощи матрицы ρb(t),

Матрица (26.13) удовлетворяет уравнению движения, сходному с уравнением (26.6) с начальными условиями (26.11б). Другими словами, уравнения движения для матричных элементов ρik (i, k = 0 или 1) и ρnm (n, m = 2 или 3) приблизительно развязаны, т. е. связанные члены в уравнениях (26.6) не влияют на эволюцию системы. Таким образом, мы снова можем управлять подансамблем «b», который, с точностью до константы, может эволюционировать как ансамбль «чистых» двухуровневых квантовых систем, первоначально

находящихся в основном состоянии. (Конечно, точно так же можно управлять другим подансамблем «a», который, с точностью до постоянной, эквивалентен ансамблю «чистой» двухуровневой системы, изначально находящейся в возбужденном состоянии.)

Наконец, если применить электромагнитные импульсы с частотой (ω2 + J), то получим эволюцию двухспинового ансамбля при комнатной температуре, что примерно эквивалентно эволюции ансамбля невзаимодействующих спинов I = 1/2, которые изначально находятся в основном состоянии. Грубо говоря, если управлять только правым спином и не трогать левый, то эволюция правого спина будет выглядеть так, как будто это одиночный спин I = 1/2, находящийся первоначально в основном состоянии.

Тем не менее следует заметить, что мы не достигли главной цели — реализации квантовых логических вентилей при высокой температуре. Фактически ансамбль двухспиновых систем не имеет каких-либо преимуществ над ансамблем односпиновых систем. Предпримем следующий шаг: рассмотрим ансамбль невзаимодействующих четырехспиновых молекул, например,

A B ,

CD

вкотором все спины связаны посредством взаимодействия Изинга. Предположим, для простоты, что разность между частотами односпинового перехода мала по сравнению со значением средней ча-

стоты ωk/4, поэтому влиянием данных разностей на заселенность уровней можно пренебречь. Тогда равновесная матрица плотности определяется выражением

где матрица отклонения ρ в десятичной системе имеет вид:

ρ = 16β {2|0 0| + |1 1| + |2 2| + |4 4| + |8 8|−

−(|7 7| + |11 11| + |13 13| + |14 14|) − 2|15 15|}, (26.15)

3

(β = ωk/4kB T ).

k=0

В двоичной системе матрицу отклонения (26.15) можно записать как

ρ = 16β {2|0000 0000| + |0001 0001|+

+|0010 0010| + |0100 0100| + |1000 1000|−

(26.16)

−(|0111 0111| + |1011 1011| + |1101 1101|+ +|1110 1110|) − 2|1111 1111|},

|ijnm ijnm| ≡ |iAjB nC mD iAjB nC mD|.

Используя унитарные преобразования, можно преобразовать (26.16) таким образом, чтобы получить заданные подансамбли. Ниже, в главе 28 будет рассказано, как осуществить подобные преобразования. Теперь перепишем диагональную матрицу отклонения (26.16) в виде таблицы (см. табл. 26.1), где в первой строке показаны все возможные матрицы |ijnm ijnm|, которые обозначены в виде блока

nm

Таблица 26.1. Диагональные матричные элементы ρ до (вторая строка) и после (третья строка) перераспределения. В верхней таблице показан переход эффективной двухспиновой системы в основное состояние. В нижней таблице представлено преобразование остальных диагональных элементов матрицы плотности

Во второй строке показаны коэффициенты для соответствующих матриц (26.16) без множителя β/16. Предположим, что с помощью унитарного преобразования мы можем перераспределить коэффициенты в (26.16) так, как показано в третьей строке табл. 26.1. Рассмотрим первые четыре колонки, они соответствуют состояниям |00ij . Если на молекулу ABCD подействовать импульсом, который вызывает переходы между состояниями |00ij , то спины A B никогда не будут возмущены. Можно рассмотреть подансамбль этих состояний, которые эволюционируют почти как чистая двухспиновая система при нулевой температуре, изначально находящаяся в основном состоянии. Данный случай рассматривается в следующей главе.

ГЛАВА 27

Эволюция ансамбля четырехспиновых молекул

Для объяснения динамики ансамбля четырехспиновых молекул запишем гамильтониан системы

A B ,

C D

принимая во внимание взаимодействие Изинга между всеми спинами [64]. Чтобы получить гамильтониан в системе координат, вращающейся с частотой ω поляризованного по кругу магнитного поля, используем унитарное преобразование (15.5а):

где нижний индекс «0» обозначает последний спин D, индекс «1» относится к спину C и т. д. Используя метод, описанный в главе 15, получаем не зависящий от времени гамильтониан во вращающейся системе координат

В отсутствие вращающегося магнитного поля (Ωk = 0, ω = 0) гамильтониан (27.2) имеет только диагональные матричные элементы,

170 ГЛАВА 27

Для состояний |0010 , |0100 и |1000 , соответственно, получаем

3

E = E0 + ω1 + J1k (k = 1),

k=0

В (27.7) предполагается, что Jik = Jki. Первые пять энергетических уровней показаны на рис. 27.1, где ωn < ωn+1.

Гамильтониан (27.2) нашей системы включает в себя также недиагональные элементы, которые появляются из-за вращающегося магнитного поля (третье слагаемое). Чтобы получить недиагональные элементы, следует записать оператор (12.10)

Imx = 12 (|0m 1m| + |1m 0m|)

через базисные состояния |ijkn так же, как мы сделали это для диагональных элементов. Тогда получим: