Введение в квантовые компьютеры

достаточно эффективный алгоритм вычисления, например суммы, произведения или степени, то суперпозиция чисел не важна. Однако на сегодняшний день существуют так называемые трудноразрешимые задачи, для которых нет эффективных алгоритмов. Одной из таких очень важных задач является разложение на множители целых чисел. На нахождение простых множителей двухсотзначного числа самым мощным на сегодняшний день цифровым компьютерам могут потребоваться тысячи лет. Квантовый компьютер может одновременно оперировать многими числами, выдавая «наблюдателю» лишь несколько необходимых чисел. Ненужные числа удаляются путем деструктивной интерференции. Обычно этот процесс сравним с отражением светового луча от зеркала. Отраженный свет представляет собой суперпозицию фотонов, движущихся в различных направлениях, но только одно направление выбрано природой — направление, соответствующее закону отражения. В квантовых вычислениях применяется подобный эффект — конструктивная интерференция в «нужном» направлении и деструктивная — во всех остальных.

Заметим, что, в отличие от цифрового бита, который в процессе вычисления принимает определенную последовательность значений «0» и «1», кубит может быть включен в сложную суперпозицию состояний наряду с другими кубитами. Значение отдельного кубита невозможно определить до тех пор, пока не закончатся вычисления, когда конечное измерение разрушает суперпозицию. Результат квантового вычисления весьма схож с результатом обычного цифрового вычисления, он представляет собой ту же последовательность данных, которые получаются при измерении состояния кубитов: «наличие напряжения» (представляемое цифрой «1») и «отсутствие напряжения» (представляемое цифрой «0»). Например, после воздействия соответствующего электромагнитного импульса возбужденное метастабильное состояние иона генерирует свечение, которое можно преобразовать в электрический сигнал. При одних и тех же входных данных можно получить различные результаты, соответствующие результатам вероятностного цифрового вычисления. В случае более сложных схем квантовых вычислений, например с участием ансамбля ядерных спинов при комнатной температуре, на выходе образуется электромагнитный сигнал (обусловленный ядерной пре-

множители, не существует. В 1995 году Баренко и др. [20] показали, что двухкубитовый вентиль CONTROL-NOT в сочетании с однокубитовым поворотом является универсальным для квантовых вычислений. Это открытие способствовало тому, что вентиль CONTROL-NOT стал одним из главных составляющих элементов при осуществлении квантовых вычислений. В том же году Цирак и Цоллер [21] предложили выполнять квантовые вычисления с помощью лазерного управления ионами в охлаждаемой ловушке. Первый двухкубитовый квантовый логический вентиль был экспериментально продемонстрирован Монро [22], который использовал схему Цирака–Цол- лера для одиночного иона Be+ в ионной ловушке. Результаты квантового эксперимента с захваченным ионом, проведенного в лаборатории в Лос-Аламосе, можно найти в работе [23]. Турчетт и др. создали двухкубитовые квантовые логические вентили для поляризованных фотонов, находящихся в квантовом электродинамическом резонаторе [24]. В 1995 году Шор предложил первую схему для коррекции ошибок в квантовом коде [25]. Вслед за этой работой последовало большое число публикаций, в которых обсуждались различные подходы к данной проблеме. В 1996 году Гровер [26] (см. также [27]) разработал быстродействующий квантовый алгоритм для распознавания образов или поиска в базе данных. Чтобы найти искомый эле-

мент в базе данных, содержащей N элементов, алгоритму Гровера

√

требуется только N попыток, в то время как для классического алгоритма число попыток равно N/2.

В 1996 году Гершенфельд, Чуанг и Ллойд [28, 29], а также одновременно с ними Кори, Фами и Хэйвел [30] показали возможность выполнения квантовых вычислений в ансамбле квантовых систем при комнатной температуре. Сейчас ученые пытаются экспериментально осуществить эту идею, заключающуюся в использовании системы слабо взаимодействующих между собой ядерных спинов в молекулах жидкости [30–32]. Может создаться впечатление, что использование комнатной температуры несовместимо с идеей осуществления квантовых вычислений, основанных на управлении сложными состояниями суперпозиции. (Такие «запутанные состояния» невозможно представить в виде произведения состояний отдельных атомов.) Действительно, взаимодействие с окружающей средой быстро разрушает состояния суперпозиции. Они не могут «выжить»

внашем «классическом» мире. Такое явление потери квантовой когерентности обычно называют «декогерентизацией» [33, 34]. Декогерентизация имеет характерный масштаб времени, поэтому квантовые вычисления должны быть выполнены до того, как произойдет декогерентизация. Это утверждение справедливо как для «чистой» квантовой системы при нулевой температуре, так и для ансамбля квантовых систем (молекул) при комнатной температуре. Типичное время декогерентизации зависит не только от температуры, но и от системы. Так, например, для ядерных спинов это время достаточно велико даже при комнатной температуре. Главная проблема, помешавшая осуществлению квантовых вычислений при комнатной температуре, заключается в том, как подготовить субансамбль, заселенный только

водном, скажем, основном состоянии. Эта проблема была успешно решена в работах [28, 29, 30].

Исследования потенциальной реализуемости квантового компьютера включают в себя новую область исследований — материаловедение квантовых компьютеров, которая требует поиска среды с достаточно длинным характерным временем декогерентизации. Теория декогерентизации — это теория релаксационных процессов в сложных квантовых состояниях. Будущие разработки в этой области могут значительно повлиять на развитие квантовых вычислений в целом. Тем не менее проблемы, связанные с декогерентизацией, не имеют прямого отношения к основным идеям квантовых вычислений, поэтому в дальнейшем вопросы декогерентизации обсуждаться не будут.

Постоянно увеличивающееся число материалов, посвященных квантовым вычислениям (см., например, [35–43]), показывает быстро растущий интерес к этой области, однако многие студенты и научные работники, интересующиеся квантовыми вычислениями, сталкиваются с типичными для любого научного исследования трудностями, требующими знания нескольких различных дисциплин. Например, исследователь, занимающийся вычислительной техникой, зачастую не знаком с идеями или даже терминами квантовой физики. С другой стороны, физики имеют те же проблемы в области вычислительной техники. Стремление преодолеть такой языковой барьер явилось главной причиной написания этой книги. Вторая причина связана с нашей собственной работой в области динамики квантовых логи-

ческих вентилей и квантовых вычислений. Данная книга содержит основную информацию о физике и вычислительной технике, необходимую для понимания квантовых вычислений и основных направлений в этой быстро развивающейся области знаний. Мы постарались избежать строгих доказательств и сосредоточили основное внимание на иллюстрациях, поясняющих основные идеи. В то же время для простых примеров приводятся все необходимые расчеты, и читатель может понять, как работает той или иной принцип, не опуская детали, незнание которых очень часто мешает полному пониманию идеи.

В данной книге рассматриваются практически все основные темы квантовых вычислений, которые затрагиваются в литературе: алгоритм Шора и дискретное фурье-преобразование, квантовомеханические операторы (квантовые логические вентили), которые используются в квантовых расчетах, физическая реализация квантовых логических вентилей в ионных ловушках и в цепочках спинов, включая анализ ансамбля четырехспиновых молекул при комнатной температуре. Также обсуждается одна из простейших схем коррекции квантовых ошибок, коррекция ошибок, вызванных несовершенством резонансных импульсов, и ошибок, вызванных нерезонансным действием импульсов. Из-за особой важности квантового вентиля CONTROL-NOT для квантовых вычислений в книгу включены результаты численного моделирования динамического поведения этого вентиля. В книге также представлен краткий обзор по некоторым стандартным элементам вычислительной техники, включая машину Тьюринга, булеву алгебру и логические вентили. Эти темы хорошо знакомы студентам, занимающимся информатикой и вычислительной техникой, но многие физики не имеют о них никакого представления. Там, где это необходимо, объясняются основные принципы квантовой механики, которые, возможно, не знакомы многим специалистам по вычислительной технике.

Данная книга может быть полезна студентам и научным работникам, которые интересуются квантовыми вычислениями, но у которых нет времени или склонности изучать оригинальные статьи и обзоры. Авторы надеются, что эта книга поможет новому поколению исследователей, которые хотят заниматься этой областью науки. Мы также надеемся, что книга даст новое и более глубокое понимание фундаментальных квантовых явлений.

Таблица 2.1. Программа для операции сложения на машине Тьюринга

последовательность 11111. Символ X показывает, где начинается или заканчивается число. Например, на рис. 2.1 показаны две единицы, «подготовленные» к операции сложения. Программа для такой операции представлена в табл. 2.1. Символ D означает «записать число 1» в соответствующую ячейку на ленте, X означает «записать X», E значит «стереть», R — «сдвинуть ленту на одну ячейку вправо», L — «сдвинуть ленту на одну ячейку влево». Числа от 1 до 6 после букв означают команду «изменить положение диска на это число». Вопросительный знак означает «ошибку», а восклицательный знак — «операция выполнена».

Опишем процесс сложения. Сначала считывающее устройство «видит» цифру 1 на ленте, диск также установлен на единицу. На пересечении (1, 1) стоит команда R1: «сдвинуть ленту на одну ячейку вправо и установить на диске значение 1». Второе положение элементов машины показано на рис. 2.2. Здесь сканер показывает на символ X на ленте, а на диске поставлено значение 1.

Второй командой (пересечение (1, X)) будет E2: «стереть X и установить на диске значение 2».

На рис. 2.3 показано третье положение машины Тьюринга. Третьей командой (на пересечении (2, )) является R2. В табл. 2.2 показана последовательность положений и команд, следующих за положением на рис. 2.3.

Таблица 2.2. Последовательность положений и команд, которые следуют за положением на рис. 2.3

Рис. 2.2. Второе положение машины Тьюринга

Рис. 2.3. Третье положение машины Тьюринга

Число в круглых скобках в ячейке показывает число, установленное на диске напротив положения считывающего устройства. Например, 1(5) означает, что сканер показывает на ячейку, содержимое которой равно 1, а на диске установлено число 5. Если сканер указывает на пустую ячейку, а на диске установлено значение 6, то в табл. 2.2 этому соответствует запись (6). Последняя строка в табл. 2.2 пока-

зывает результат сложения: 1 + 1 = 2. Для программы умножения требуется диск, содержащий 15 цифр, однако принцип программирования остается прежним.

Машина Тьюринга имеет те же самые основные компоненты, что

илюбой компьютер. Записывающий и стирающий элементы представляют собой арифметическое устройство, которое производит вычисления, таблица команд (табл. 2.2) — это блок управления, а лента

идиск — запоминающее устройство.