Введение в квантовые компьютеры

Таким образом, последовательность 4 импульсов дает реализацию вентиля Aj . Выше мы описали схему преобразования Aj на основе системы с уровнями энергии, показанными на рис. 18.1. Если задействовать дополнительный энергетический уровень |3j и вызвать переход между уровнями |1j и |3j частотой ω13, то более удобно использовать последовательность импульсов, описанную в главе 13: 2π-импульс с частотой ω13 и резонансный импульс π/2 с частотой ω0 и фазой π/2.

Рассмотрим реализацию вентиля Bjk на ионах в ловушке. Для этого можно использовать слегка видоизмененный вентиль CZ. Вместо импульса 2π с поляризацией σ− возьмем два π-импульса с поляризацией σ− и различными фазами для того, чтобы осуществить фазовый сдвиг π/2k−j для состояния |1j 1k 0 под действием модифицированного вентиля CZ. Таким образом, нужно применить четыре импульса с частотой ω = ω0 − ωx: (1) π-импульс c поляризацией σ+ к k-му иону, (2) π-импульс c поляризацией σ− к j-му иону, (3) π-им- пульс c поляризацией σ− и фазой ϕ к j-му иону, (4) π-импульс c поляризацией σ+ и фазой ϕ к k-му иону. В результате, используя (18.5), получаем следующее преобразование:

Если подставить ϕ = π + π/2k−j , получим модифицированное преобразование CZ,

Если подставить ϕ = ϕ , то состояние |1k 0j 0 не изменится под действием вышеописанной последовательности импульсов, так же, как и состояния |0k 0j 0 и |0k 1j 0 . Таким образом, слегка видоизмененный вентиль CZ,

Ukπ (ω , ϕ)Ujπ (ω , σ−, ϕ)Ujπ (ω , σ−)Ukπ (ω ), (19.6)

с фазой

ϕ = π + π ,

2k−j

дает логический вентиль Bjk, необходимый для дискретного фу- рье-преобразования.

В заключение этой главы рассмотрим экспериментальные возможности реализации квантовых вычислений с использованием ионных ловушек. Существует ряд ионов с долгоживущим метастабильным состоянием порядка одной секунды, которые можно использовать в качестве кубитов для квантовых вычислений. Например, ион Hg+ имеет основное состояние (|0 ) 2S1/2 и метастабильное возбужденное (|1 ) 2D5/2 с временем жизни 0, 1 c. Длина волны резонансного перехода равна λ01 ≈ 280 нм. Частота колебаний центра масс ионов в линейной ловушке составляет порядка 1 МГц. Систему ионов можно охлаждать при помощи лазерного луча с частотой, чуть ниже частоты разрешенного перехода. Для ионов Hg+ с этой целью можно использовать переход между основным и вторым возбужденным состоянием 2P1/2 c длиной волны λ02 ≈ 190 нм. Резонансный лазерный луч с длиной волны λ02 может осуществить однокубитовый поворот с частотой Раби Ω, которая зависит от интенсивности лазерного луча (как правило, Ω 100 кГц). Комбинация резонансных и нерезонансных лазерных импульсов дает преобразования CZ и Bjk. Чтобы измерить состояние ионов в регистре X, можно исполь-

зовать методику квантового перескока [22]. Например, для иона Hg+ лазерным лучом с длиной волны λ02 можно подействовать на ионы регистра X. Если ион флуоресцирует, то измеренное состояние равно |0 , в противном случае измеренное состояние равно |1 .

ГЛАВА 20

Линейные цепочки ядерных спинов

Второй перспективной системой, которую мы рассмотрим в этой главе, является система ядерных спинов, хорошо изолированных от окружающей среды. В качестве примера рассмотрим твердое тело

слинейными цепочками атомов (ионов), содержащих ядерные спины. Не принимая во внимание взаимодействие между цепочками, будем рассматривать только взаимодействие между ближайшими соседями в одной цепочке. Поместим твердое тело в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z. В этом случае односпиновый гамильтониан без взаимодействия можно записать в виде (12.3). Следуя Ллойду [35], предположим, что у нас есть три типа ядер в цепочке, ABCABCABC . . ., которые имеют одинаковый спин I = 1/2, но разные магнитные моменты (разные гиромагнитные отношения). Взаимодействие между спинами в цепочке (например, диполь-ди- польное взаимодействие), как предполагается, мало по сравнению

свзаимодействием спинов с внешним магнитным полем. Тогда можно рассматривать только zz часть взаимодействия, 2 Jk,k+1Ikz Ikz+1

(взаимодействие Изинга), которая коммутирует с невзаимодействующим гамильтонианом. Здесь J является эффективной постоянной взаимодействия Изинга. Гамильтониан всей системы (без электромагнитного поля) можно записать в виде:

Постоянная взаимодействия в выражении (20.1) также является периодической функцией положения k,

J12 = J45 = . . . = JAB ,

J23 = J56 = . . . = JBC , (20.3)

J34 = J67 = . . . = JCA.

Гамильтониан (20.1) не содержит недиагональных членов. Собственные состояния гамильтониана представляют собой спиновые состояния типа

|00111011 . . . .

Таким образом, одни спины в любом собственном состоянии направлены «вверх» (состояние |0 ), а остальные направлены «вниз» (состояние |1 ).

Предположим, что в некотором состоянии системы спин (назовем его B) направлен «вверх», а в другом состоянии этой же системы он направлен «вниз», при этом направления всех других спинов остаются неизменными. Тогда разница в энергии E между этими двумя состояниями может принимать следующие значения:

В выражении (20.4) верхний знак (+) перед JAB соответствует состоянию |0 соседнего спина A, а нижний знак (−) соответствует состоянию |1 этого же спина. Все вышесказанное справедливо и для знаков перед JBC c той лишь разницей, что спин A заменяется на C. Таким образом, мы находим следующие четыре собственных частоты гамильтониана (20.1), соответствующие инверсии спина B:

ω11B = ωB − JAB − JAC .

Здесь ωikB означает, что левый спин (A) находится в состоянии |i , а правый спин (C) в состоянии |k (i, k = 0 или 1).

В качестве примера рассмотрим, как получить первую частоту, ω00B , в выражении (20.5). Поскольку взаимодействие происходит только между ближайшими соседями, достаточно рассмотреть только три спина и, соответственно, три слагаемых гамильтониана (20.1), а также учесть инверсию спина. В нашем случае, при инверсии спина B, мы рассматриваем переход для триплета ABC,

где первое состояние соответствует спину A, второе — спину B, а третье — спину C. Для описания этого перехода единственными важными членами в гамильтониане (20.1) являются следующие члены:

где операторы IAz , IBz и IBz действуют на соответствующие состояния в (20.6). Используя выражение для оператора Iz (12.4), получаем:

что соответствует частоте ω00B в (20.5). Выражения для ωikA и ωikC аналогичны тем, которые определяются формулами (20.5). Спины на краях цепочки имеют другие частоты. Например, пусть левый крайний спин (20.2) является спином A. Собственные частоты, связанные с инверсией этого спина, равны

где ωiA означает, что соседний спин (B) находится в состоянии i. В итоге из-за вклада крайних атомов получаем 16 собственных частот, связанных с инверсией одного спина. Можно легко понять, откуда берутся эти частоты, если предположить, что соседние спины создают эффективное магнитное поле, действующее на данный спин, которое может усиливать или ослаблять внешнее поле в зависимости от ориентации соседних спинов.

ГЛАВА 21

Цифровые вентили на цепочке спинов

До сих пор в мире не придумано методики, которая позволила бы экспериментально управлять отдельными спинами так же, как, например, ионами в ионных ловушках. Отметим также, что задача управления квантовыми состояниями отдельных спинов значительно сложнее и до сих пор экспериментально не исследована. В данной главе мы рассмотрим только цифровые состояния |0 и |1 без суперпозиции и «запутанности», поэтому фаза состояний не будет играть для нас никакой роли.

Первый вопрос, который возникает при рассмотрении спиновой системы, — как управлять отдельным кубитом? Можно использовать π-импульс, чтобы перевести спин из состояния |0 в состояние |1 и наоборот, однако этот импульс определенно повлияет на несколько спинов. Данная проблема была решена Ллойдом [35], который предложил использовать особую последовательность π-импуль- сов, обеспечивающих обмен состояниями между соседними спинами. Например, чтобы осуществить обмен состояниями между соседними спинами A и B, можно использовать следующую последовательность π-импульсов:

где ωikA,B обозначает π-импульс с частотой ωikA (или ωikB ), а последовательность импульсов следует слева направо, т. е. первый π-импульс является импульсом с частотой ω01A . Действие последовательности импульсов (21.1) показано в табл. 21.1. Видно, что первая пара импульсов изменяет состояния атомов A, правые соседние атомы которых находятся в возбужденном состоянии, независимо от состояний левых соседей (C). Вторая пара импульсов изменяет состояния спинов B, имеющих соседние слева атомы в возбужденном состоянии,

Таблица 21.1. Изменение начальных состояний двух соседних атомов A и B под действием последовательности импульсов (21.1). Звездочка обозначает атом в возбужденном состоянии

независимо от состояния правых соседей. Наконец, третья пара импульсов повторяет действие первой пары. В результате происходит обмен одним битом информации между спинами A и B независимо от состояния левых и правых соседей (атомов C). Чтобы загрузить информацию в цепочку спинов, можно использовать простую последовательность импульсов типа (21.1). Допустим, например, что у нас есть 6 спинов ABCABC и мы хотим загрузить число 7 в эту цепочку. Тогда из основного состояния ABCABC нам необходимо получить состояние ABCA B C , где A , B и C — возбужденные состояния соответствующих спинов. (Напомним, что фаза состояния здесь не важна, поэтому обозначения Дирака можно не использовать.) Далее, составим список частот для последовательности π-импульсов и соответствующее изменение состояния спинов:

Реализация цифрового вентиля CN очевидна. Например, если применить два π-импульса с частотами ω10A и ω11A , то спин A изменит свое состояние только в том случае, если левый спин C находится в возбужденном состоянии, вне зависимости от состояния правого соседнего спина B. Можно также показать, что, используя слегка измененную последовательность (21.3), а именно,

можно реализовать универсальный для цифровых вычислений вентиль Фредкина (F) [35] (табл. 9.6). Последовательность (21.3) отличается от (21.1) отсутствием импульса с частотой ω10B . Если в группе спинов ABC спин C находится в возбужденном состоянии, то результат действия последовательности импульсов (21.3) будет совпадать с результатом действия (21.1). Если же спин C находится в основном состоянии, то импульс ω11B не действует на спин B. В этом случае результат действия последовательности (21.3) на соседние спины A и B совпадает с результатом действия на эти спины последовательности импульсов

Последовательность (21.4) не изменяет состояние спина A. Таким образом, последовательность (21.3) изменяет состояния соседних спинов A и B только в том случае, когда спин C находится в возбужденном состоянии, реализуя вентиль F со спином C в качестве контролирующего кубита.

Кроме цепочки ядерных спинов для квантовых вычислений можно использовать цепочку электронных спинов, взаимодействующих на основе модели Изинга и помещенных во внешнее магнитное поле [52], гетерополимер, в котором каждая структурная единица имеет долгоживущее возбужденное состояние [35], а также квантовые точки [53].

ГЛАВА 22

Нерезонансное действие π-импульсов

Из-за нерезонансных эффектов в радиочастотных импульсах разница в частотах не обеспечивает 100% селективного возбуждения конкретного резонансного спина. Такие эффекты можно изучить с помощью точных численных расчетов. В качестве примера рассмотрим вентиль CN, основанный на системе из двух спинов [54], I = 1/2, помещенной в постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль положительной оси z. Рассмотрим взаимодействие Изинга между этими спинами, а также взаимодействие каждого из этих спинов с электромагнитным полем, вращающимся в плоскости (x, y) (см. главу 12). Гамильтониан системы можно записать в виде:

где оба спина имеют различные гиромагнитные отношения, γ1 и γ2. Спины взаимодействуют с поляризованным по кругу поперечным электромагнитным полем частотой ω (12.20). В этом случае гамильтониан (22.1) можно переписать в виде (см. (12.22) и (12.23)):

где ωk = γk Bz, Ωk = γk h — частота Раби (h — амплитуда поперечного магнитного поля). Уровни энергии двухспиновой системы (22.1) для случая ω1 > ω2 показаны на рис. 22.1.

Если применить π-импульс с частотой ω = ω2 − J, он может реализовать вентиль CN с первым (левым) спином в качестве контролирующего кубита и вторым (правым) спином в качестве контролируемого кубита (второй спин изменяет свое состояние только в случае, если первый спин находится в состоянии |1 .

Рис. 22.1. Уровни энергии двух спинов в модели Изинга для ω1 > ω2. Пунктирными линиями обозначены односпиновые переходы

Далее, представим результаты численных расчетов динамики вентиля CN [54]. Зависящую от времени волновую функцию уравнения Шредингера (12.1) c гамильтонианом (22.2) можно записать в виде:

Используем подстановку, которая эквивалентна переходу в систему отсчета, вращающуюся с частотой ω:

где ϕ(t) — общая фаза, которую можно выбрать произвольно, чтобы упростить уравнения для амплитуд cik . Из уравнения Шредингера можно получить уравнения для амплитуд cik :

−2ic˙11+2ϕc˙ 11−2ωc11= − ω1c11−ω2c11+Jc11+Ω1c01+Ω2c10.