Введение в квантовые компьютеры

соответствуют собственным значениям Ix = ±1/2. Используем вентиль CN в x-представлении:

CNxik = |0i0k 0i0k |x + |0i1k 0i1k |x+

+ |1i0k 1i1k |x + |1i1k 1i0k |x, (24.7)

который преобразует состояние контролируемого спина k в том случае, когда контролирующий спин i направлен вдоль отрицательного направления оси x (состояние |1i x). Пусть начальный кубит находится в произвольном состоянии, которое можно описать при помощи волновой функции

Здесь мы опустили постоянную нормировки, которая в данном случае не играет большого значения. Для того чтобы закодировать это состояние суперпозиции, рассмотрим два дополнительных кубита в состояниях |02 и |03 . Далее, подействуем операторами CNx12 и CNx13 на волновую функцию

Рассмотрим теперь фазовое искажение для одного из трех кубитов, например для первого. Представим это искажение в следующем виде:

Чтобы удостовериться, что (24.11) действительно описывает фазовое искажение, сравним состояние c0|0 + c1|1 с искаженным состоянием,

c0{cos(ϕ/2)|0 + i sin(ϕ/2)|1 }+

+c1{cos(ϕ/2)|1 + i sin(ϕ/2)|0 } =

={c0 cos(ϕ/2) + ic1 sin(ϕ/2)}|0 +

+{c1 cos(ϕ/2) + ic0 sin(ϕ/2)}|1 . (24.12)

Перейдем к сравнению средних значений Ix , Iy и Iz для этих двух функций. В Ix-представлении матрицу Iz можно найти, используя (15.5) и (24.4),

Таким же образом можно найти матрицу Iy в Ix-представлении:

т. е. в обоих представлениях матрица Iy имеет один и тот же вид. Теперь можно найти средние значения Ix , Iy и Iz .

Для начального состояния c0|0 + c1|1 получаем:

где индекс «i» означает «начальное состояние» (от англ. initial). Мы использовали здесь матричное представление волновой функции,

а также опустили индекс «штрих» для Ix, Iy и Iz . Таким же образом для искаженной волновой функции (24.12) получаем:

= Iy i cos ϕ + Ix i sin ϕ,

Iz d = Iz i.

Таблица 24.1. Преобразования всех возможных членов (ui) искаженной волновой функции Ψ2 под действием двух операторов (CN)x.

Индекс «d» обозначает «искаженное состояние» (от англ. distorted).

Выражения (24.17), очевидно, описывают поворот вектора I на угол ϕ в плоскости x–y, т. е. искажение фазы начального состояния.

После искажения (24.11) волновая функция Ψ1 преобразуется в Ψ2:

Ψ2 = c0[cos(ϕ/2)|01 0203 + i sin(ϕ/2)|11 0203 ]+

+ c1[cos(ϕ/2)|11 1213 + i sin(ϕ/2)|01 1213 ]. (24.18)

Точно так же, в случае искажения второго кубита на фазу ϕ, получим дополнительные члены в Ψ2, пропорциональные |011203 и |110213 . Наконец, для третьего искаженного импульса получим слагаемые

в Ψ2, пропорциональные |010213 и |111203 .

Для исправления ошибки на состояние Ψ2 действуют операторами CNx12 и CNx13. В табл. 24.1 показаны преобразования всех возможных слагаемых (верхняя строка) искаженной волновой функции Ψ(2). Теперь измерим x-компоненты второго и третьего спинов. Если в результате получаем I2x = I3x = −1/2, то на первый кубит нужно подействовать оператором NOT, N1x = |01 11|x + |11 01|x. (Оператор N изменяет состояние только в представлении Ix.) При других результатах измерения,

оператор N x не применяется. В результате при любом исходе получается начальная неискаженная волновая функция ψ0 для первого спина.

Например, при искажении фазы первого спина (формула (24.18)) после двух операций CNx получим:

После измерения второго и третьего кубитов можно получить два результата:

В первом случае для волновой функции первого спина имеем:

Опуская несущественный общий множитель cos(φ/2), получаем из (24.22) начальную волновую функцию ψ0.

Для второго случая в (24.21) после измерения получаем следующую волновую функцию для первого спина:

В этом случае следует применить оператор N x к волновой функции (24.23). Тогда получим:

мы вновь восстанавливаем волновую функцию ψ0.

Согласно схеме, предложенной в работе [61], каждый кубит кодируется при помощи трех кубитов, которые затем корректируются, и в результате восстанавливается исходное состояние ψ0. Раскодированный кубит можно использовать для вычислений, после чего он вновь кодируется (см. рис. 24.4).

Физическая реализация таких схем весьма непроста, поскольку необходимо применять вентиль CN в представлении Ix. Другие

Рис. 24.4. Схема Стина для коррекции ошибок: (1) кодирование начального кубита ψ0 тремя кубитами; (2) коррекция ошибки и раскодирование началь-

ˇ

ного кубита; (3) вычисление; ψ0 — начальный кубит ψ0 после вычисления

результаты и предложения по квантовой коррекции ошибок можно найти в статье Дж. П. Паза (J. P. Paz) и В. Х. Цурека (W. H. Zurek) (на стр. 355), а также в работе Е. Нила (E. Knill), Р. Лафлама (R. Laflamme) и В. Х. Цурека (на стр. 365) [41].

ГЛАВА 25

Квантовые вентили в двухспиновой системе

В данной главе рассматривается двухкубитовый квантовый вентиль в простейшей системе, содержащей только два спина со взаимодействием на основе модели Изинга. Энергетические уровни такой системы показаны на рис. 22.1. Гамильтониан системы, включающий в себя взаимодействие с электромагнитным полем, определяется выражением (22.2).

Рассмотрим возможность реализации квантового вентиля CN с использованием двухспиновой системы. В отсутствие внешнего электромагнитного поля эволюцию системы можно описать с помощью следующего выражения для волновой функции Ψ(t):

i,k=0

где Eik — энергия соответствующих состояний,

Если применить электромагнитные импульсы, то волновую функцию можно представить в виде (22.3). Ее можно преобразовать в «представление взаимодействия» следующим образом:

Это позволяет избавиться от фазовых множителей, соответствующих свободной эволюции системы. После этого получаем уравнения для амплитуд cik , которые можно записать в виде

n,m

где гамильтониан V описывает взаимодействие между двухспиновой системой и электромагнитным импульсом,

k=1

Уравнения (25.4) содержат зависящие от времени быстро осциллирующие коэффициенты, поэтому данные уравнения не удобны для точных численных вычислений динамического поведения системы.

Используем другой подход, основанный на уравнениях (22.5), которые записываются в системе координат, связанной с вращающимся магнитным полем. Используя ту же подстановку, что и в главе 22,

ω = ω2 − J, ϕ(t) = (ω2 − ω1 − J)t/2,

мы получим уравнения с коэффициентами, не зависящими от времени:

−2ic˙11 = Ω1c01 + Ω2c10.

Рассмотрим свободную эволюцию двухспиновой системы во вращающейся системе координат. Подставляя Ω1 = Ω2 = 0 в (25.6), получим следующее решение:

Детальный анализ амплитуд cik (t) (включая их фазы) под действием π-импульса был проведен в работе [63]. На рис. 25.1 а показаны временные зависимости действительной Re c11(t) и мнимой Im c10(t) частей при значениях параметров (22.6) и начальных условиях:

в данном случае можно пренебречь так же, как и значениями |c00(t) и |c01(t)|. На рис. 25.1 б показаны аналогичные зависимости для тех же значений параметров (22.6) и при начальных условиях:

которые соответствуют заселенности нерезонансного уровня |01 . При данных начальных условиях амплитуды cik практически не изменяются под действием π-импульса. То же самое справедливо и для начальных условий

На рис. 25.2 показано действие π-импульса на начальное состояние суперпозиции с коэффициентами:

при тех же параметрах, что и на рис 25.1. Видно, что в конце действия π-импульса амплитуды принимают следующие значения: