Введение в квантовые компьютеры

Здесь = − ω0Iz — гамильтониан системы (см. (12.3)), а T r означает сумму диагональных элементов матрицы плотности.

Первое слагаемое в (16.19) описывает матрицу плотности при бесконечной температуре, T → ∞, с одинаковой заселенностью уровней энергии, а второе слагаемое описывает первую поправку, обусловленную конечным значением температуры.

Теперь рассмотрим эволюцию матрицы плотности под воздействием резонансного электромагнитного поля с частотой ω0. Подставляя гамильтониан (12.24) в уравнение для матрицы плотности (16.5), можно получить уравнения для матричных элементов:

а суммирование проводится по повторяющемуся индексу n. Теперь запишем в явном виде уравнения для элементов матрицы плотности:

2iρ˙00 = −Ω ρ10eiω0t − ρ01e−iω0t ,

2iρ˙01 = −2ω0ρ01 + Ωeiω0t(ρ00 − ρ11), 2iρ˙10 = 2ω0ρ10 + Ωe−iω0t(ρ00 − ρ11).

Отметим, что второе уравнение в (16.23) можно получить из первого, поскольку ρ00 + ρ11 = 1, и, следовательно,

Последнее уравнение в (16.23) можно получить из третьего, посколь-

ку ρ01 = ρ10.

Уравнения (16.23) явно зависят от времени. Чтобы получить независимые от времени уравнения для матрицы плотности, сделаем следующую замену, эквивалентную переходу во вращающуюся систему:

Все коэффициенты в (16.27) являются действительными числами. Если изначально система находится в состоянии теплового равновесия, то ненулевым является только коэффициент a, и в этом случае мы получаем

При T → ∞ из (16.17) имеем ρ00(0) = 1/2, и решение (16.28) в этом случае не будет зависеть от времени:

Таким образом, эволюция системы во времени зависит только от начального отклонения матрицы плотности в (16.19) от величины E/2.

Для начальной матрицы плотности (16.19) имеем решение:

После действия π-импульса получим:

Заметим, что после действия π-импульса значение ρ00 равно значе-

нию ρ11(0) = 1 − ρ00(0).

Данное состояние ансамбля спинов, описываемое матрицей плотности (16.19), можно рассматривать, грубо говоря, как одиночный спин в состоянии |0 . Подобным же образом можно рассматривать состояние ансамбля спинов с матрицей плотности

как одиночный спин в состоянии |1 . π-Импульс переводит ансамбль спинов из состояния |i в состояние |k , где i = k, i, k = 0 или 1. В отличие от чистых квантово-механических состояний, мы получаем переход без какого-либо фазового множителя,

Возникает вопрос что соответствует суперпозиции квантовых состояний в ансамбле спинов при конечной температуре? Чтобы ответить на него, применим импульс π/2, который создает суперпозицию квантовых состояний в «чистой» квантово-механической системе. После действия импульса π/2 из (16.30) получим:

Видно, что квантовая суперпозиция чистых состояний вызывает появление недиагональных элементов в матрице плотности для ансамбля спинов при предельной температуре.

Далее, сравним эволюцию во времени средних значений для квантово-механической системы и для ансамбля. Для чистого состояния эволюция среднего спина определяется выражением (12.37), а для ансамбля среднее значение любого оператора A определяется как

Для спиновых операторов Ix, Iy и Iz ((12.4) и (12.10)) и матрицы плотности (16.30) получим:

Это в точности совпадает с (12.37), где Iz (0) = 1/2.

В заключение данной главы подчеркнем, что между динамикой чистой квантовой системы и ансамбля не существует точного соответствия. Из (12.31) видно, что для чистой системы

где U nπ — унитарный оператор, соответствующий действию nπ-им- пульса (n — целое число). Видно, что π-импульс обеспечивает дополнительный фазовый сдвиг i = eiπ/2. Также видно, что 2π-импульс не возвращает систему в начальное состояние, поскольку возникает фазовый сдвиг −1 = eiπ . Для ансамбля спинов из (16.30) следует, что после действия π-импульса

а после действия импульса 2π

2π : |0 → |0 .

В данном случае 2π-импульс возвращает ансамбль спинов в начальное состояние.

в такой системе, используя электронные метастабильные состояния ионов и уровни энергии колебательного движения центра масс цепочки ионов [21]. Опишем здесь реализацию квантовых вычислений на ионах в ловушке.

Предположим, что несколько ионов помещены в ионную ловушку и образуют таким образом линейную структуру. При этом расстояние между соседними ионами, как предполагается, достаточно велико, поэтому отдельным ионом внутри ловушки можно управлять с помощью лазерного луча. Пусть первое возбужденное состояние иона метастабильно и имеет большое излучательное время жизни. Направляя резонансную стоячую волну лазерного импульса на ка- кой-либо ион, мы тем самым осуществляем однокубитовый поворот между основным состоянием |0 и метастабильным электронным состоянием |1 ,

U α(ϕ)|0 = cos(α/2)|0 − ieiϕ sin(α/2)|1 ,

(17.1)

U α(ϕ)|1 = cos(α/2)|1 − ie−iϕ sin(α/2)|0 ,

где α — угол поворота, ϕ — фаза лазера. Предполагается, что равновесное положение иона совпадает с пучностью (областью максимальной амплитуды) стоячей волны лазера. Заметим, что унитарная матрица U α(ϕ) сопряжена с соответствующей матрицей для ядерного спина (см. (13.9)). Для лазерного импульса прямоугольной формы, α = Ωt, где, как и для спиновой системы, t — длина импульса, а Ω — частота Раби, которая пропорциональна величине электрического поля лазерного луча. Цирак и Цоллер также показали, как с помощью лазерных импульсов реализовать вентиль CN и Bjk-пре- образование между любой парой ионов (этот метод будет описан в следующей главе).

Рассмотрим простой пример — факторизацию числа N = 4 с помощью системы захваченных ионов. Предположим, что регистр X содержит D = N 2 состояний. Тогда нам нужно log2 16 = 4 иона для регистра X. Пусть регистр Y содержит N состояний. Тогда для этого регистра нам потребуется log2 4 = 2 иона. Затем, используя цифровой компьютер, выберем число y (см. главу 6), которое является взаимно простым к N (т. е. наибольший общий делитель чисел y и N равен единице). В нашем случае будет только одно такое число, y = 3.

итак далее. Допустим, что мы «не знаем» период функции f (x)

ихотим найти его с помощью алгоритма Шора (см. главу 4). Первоначально система находится в основном состоянии,

Первые четыре иона в ловушке относятся к регистру X, а последние два — к регистру Y . Подействуем последовательно на ионы регистра X импульсами π/2 с фазой π/2, чтобы получить состояние

Далее применяем вентиль СN (11.1) к последнему иону в регистре X (контролирующий кубит) и к первому иону в регистре Y (контролируемый кубит). После этого получим следующее состояние:

Ψ1 = 14 (|0 + |1 )(|0 + |1 )(|0 + |1 ) (|0|0 + |1|1 )|0 . (17.6)

Наконец, применяя π-импульс с фазой π/2 к последнему кубиту регистра Y , получаем

+|0100, 01 + |0101, 11 + |0110, 01 + |0111, 11 +

+|1000, 01 + |1001, 11 + |1010, 01 + |1011, 11 +

+|1100, 01 + |1101, 11 + |1110, 01 + |1111, 11}.

Используя десятичную систему для регистров X и Y , можно переписать (17.7) в следующем виде:

Ψ2 = 14 {|0, 1 + |1, 3 + |2, 1 + |3, 3 + |4, 1 + |5, 3 +

+|6, 1 + |7, 3 + |8, 1 + |9, 3 + |10, 1 + |11, 3 + |12, 1 +

+|13, 3 + |14, 1 + |15, 3 }. (17.8)

Это та же суперпозиция |x, f (x) , как и (4.3), только для функции (17.2), которая должна быть обработана согласно алгоритму Шора для дискретного фурье-преобразования. Далее, чтобы получить дискретное фурье-преобразование для регистра X (см. главу 5), применяют следующую последовательность операторов:

A0B01B02B03A1B12B13A2B23A3. (17.9)

Напомним, что операторы Aj и Bjk определяются по следующим правилам:

Ионы регистра X отсчитываются в следующем порядке: |x3x2x1x0 . (Ниже будет описано, как реализовать эти операторы, используя электромагнитные импульсы.) Теперь, применяя (17.9) к состоянию Ψ2, получим для первого слагаемого в правой части (17.7):

2. B23|S1 = |S1 ,

4. B13|S3 = |S3 ,

5. B12|S3 = |S3 ,

6. A1|S3 = 1 (|0000, 01 + |0010, 01 + |0100, 01 + |0110, 01 +

√

8

+ |1000, 01 + |1010, 01 + |1100, 01 + |1110, 01 ) ≡ |S6 ,

7. B03|S6 = |S6 ,

8. B02|S6 = |S6 ,

9. B01|S6 = |S6 ,

10. A0|S6 = 14 (|0000, 01 + |0001, 01 + |0010, 01 +

+|0011, 01 + |0100, 01 + |0101, 01 + |0110, 01 + |0111, 01 +

+|1000, 01 + |1001, 01 + |1010, 01 + |1011, 01 +

+|1100, 01 + |1101, 01 + |1110, 01 + |1111, 01 ) ≡ |S10 . (17.11)

Здесь |Sk обозначает состояние, полученное на k-м шаге. Повторим эти же вычисления, например, для третьего слагаемо-

го в правой части (17.7):