Введение в квантовые компьютеры

Система уравнений (22.5) была численно исследована в работе [54], где выбрали следующие значения параметров:

Характеристические размерные параметры в случае ядерных спинов можно получить, например, умножая параметры в (22.6) на величину 2π × 106 с−1, что соответствует частоте 1 МГц. Условие ω = = ω2 − J = 95 соответствует резонансному переходу |00 → |11 , т. е. контролируемый кубит изменяет свое значение только в том случае, когда контролирующий кубит находится в возбужденном состоянии. Фаза ϕ(t) была выбрана следующим образом: ϕ(t) = (ω2 −ω1 −

− J)t/2.

Динамика абсолютных значений амплитуд |c10(t)| и |c11(t)| с параметрами (22.6) и при начальных условиях

изображена на рис. 22.2. Видно, что под действием π-импульса значение |c10| стремится к нулю, а значение |c11| — к единице. Две другие амплитуды равны нулю. Это значит, что второй спин переходит из состояния |0 в состояние |1 , в то время как первый спин остается

всостоянии |1 . Точно так же совершается переход из состояния |11

всостояние |10 , однако при этом π-импульс не оказывает влияния на состояния |00 и 01 . Таким образом, несмотря на нерезонансные эффекты, данная система реализует цифровой вентиль CN для квантовых состояний. (Динамика квантового вентиля CN будет рассмотрена в главе 25.) Как показали численные эксперименты, угол

поворота α контролируемого спина чуть больше, чем Ω2τ , где τ — длительность электромагнитного импульса. Это связано со слабым побочным возбуждением резонансного перехода посредством нере-

зонансного спина. За эти эффекты ответственны слагаемые Ω1c00 и Ω1c01 в последних двух уравнениях в (22.5).

Следующий вопрос заключается в том, как избежать значительных эффектов нерезонансного влияния вращающегося магнитного

Рис. 22.2. Зависимость от времени величин | 10(t)| и | 10(t)|. Вертикальными стрелками показано начало и конец действия прямоугольного π-импуль- са

поля. Пусть в цепочке ядерных спинов ABCABC . . . создается электромагнитный импульс частотой ω10B (см. главу 20). Данный импульс также действует на любой спин B, имеющий собственную частоту ω10B , поскольку значения этих частот отличаются друг от друга на малую величину, 2(JAB − JBC ). Следуя [55], оценим влияние нерезонансных возбуждений. Рассмотрим отклонение спина B с частотой ω10B под действием электромагнитного импульса с частотой ω10B . Предположим, что это отклонение мало, а также рассмотрим влияние соседних спинов A и C (спин A находится в возбужденном состоянии, а C — в основном). Мы будем описывать все нижесказанное на так называемом языке «эффективного поля», который часто используется при описании динамики магнитных систем [56]. Пусть спин A , который направлен «вниз», создает эффективное магнитное поле, действующее на соседний спин B. Это поле равно

вектор оси z. Таким же образом соседний спин C, направленный

Из (22.12)–(22.14) мы получим следующие уравнения:

Используя векторное произведение, получим известное уравнение, описывающее динамику спина B,

Если взять квантово-механическую среднюю величину, то получим

то же самое уравнение для среднего спина I .

Если в плоскости x–y создать поляризованный по кругу электромагнитный импульс с амплитудой h и частотой ω (см. (12.20)),

то магнитное поле Be в (22.16) будет иметь следующие компоненты:

Тогда уравнение для I можно записать в виде следующих трех уравнений:

dtd Iz = 2i ΩB I+ eiωt − I− e−iωt ,

где ΩB = γB h, а I± = Ix ± i Iy . Подстановка

эквивалентна переходу во вращающуюся систему отсчета. Вводя обозначение m = Iz , окончательно получим из (22.18) систему уравнений, описывающих динамику среднего спина,

s˙ + i(ω10B − ω)s = iΩB m,

Для резонансного импульса ω = ω10B и при начальных условиях m(0) = 1/2, s(0) = 0 имеем следующее решение (22.20):

i

s(t) = 2 sin Ωbt,

(22.21)

1

m(t) = 2 cos ΩB t.

Примем во внимание тот факт, что действительные и мнимые части s описывают динамику x и y компонент среднего спина во вращающейся системе отсчета. Таким образом, решение (22.21) совпадает с выражениями (12.37), полученными напрямую из волновой функции соответствующего уравнения Шредингера.

Теперь рассмотрим нерезонансный случай, когда частота электромагнитного поля удовлетворяет следующему соотношению: ω = = ω01B = ω10B . Тогда электромагнитный импульс нужен для того, чтобы перевести спин B с частотой ω01 в возбужденное состояние. В этом случае решение (22.20) можно переписать в виде

s(t) = ±12 sin θ[2 cos θ sin2(ωet/2) + i sin(ωet)],

(22.22)

m(t) = ±12 [1 − 2 sin2 θ sin2(ωet/2)],

где верхний знак «+» соответствует начальным условиям

нижний знак «−» соответствует начальным условиям,

и x-компонентой, ΩB /γB . В (22.25) ωe — частота прецессии спина

вокруг эффективного поля Be, а θ — полярный угол эффективного

поля. На рис. 22.3 показана прецессия среднего спина I вблизи основного состояния (m(0) = 1/2) для случая ω10B > ω01B . Отклонение спина от цифровых состояний m = ±(1/2) будет небольшим только в том случае, когда амплитуда h импульса мала по сравнению с разностью частот |ω10B − ω01B |/γB .

Рис. 22.3. Прецессия нерезонансного спина I вокруг эффективного по-

ля Be во вращающейся системе отсчета

Покажем, как можно устранить нерезонансное отклонение среднего спина. Из (22.22) видно, что нерезонансный спин возвращается в начальное состояние по окончании действия π-импульса, если ωeτ = 2πk, k = 1, 2, . . ., где τ — длительность π-импульса. Задавая

получаем π-импульс для резонансного спина, который не отклоняет нерезонансный спин. Чтобы реализовать такую возможность, необходимо выбрать такую амплитуду и длительность импульса, чтобы выполнялись следующие условия:

При таком выборе устраняется нерезонансное отклонение спина B от обоих начальных состояний, m(0) = 1/2 и m(0) = −1/2. Все вышеперечисленное в равной мере относится также к спинам A и C.

ГЛАВА 23

Экспериментальные логические вентили в квантовых системах

В настоящее время в качестве экспериментальной методики обычно используют однокубитовый поворот под действием резонансного π-импульса, поэтому на данный момент все попытки экспериментальных групп в основном сосредоточены на разработке и создании двухкубитовых квантовых логических вентилей. Напомним, что квантовый вентиль CN в комбинации с однокубитовыми поворотами универсален для любых квантовых вычислений, т. е. из данных комбинаций можно составить любой логический вентиль [20]. То же самое справедливо для вентиля CZ и однокубитовых поворотов, поскольку сам вентиль CN может быть получен из комбинации вентиля CZ и однокубитовых поворотов (см. главу 18).

Рассмотрим первую экспериментальную реализацию вентиля CN в квантовой системе, продемонстрированную Монро и др. [22]. Данные авторы использовали усовершенствованный метод Цирака и Цоллера для единичного иона 9Be+ в радиочастотной ионной ловушке. Контролируемый кубит разделялся на два сверхтонких уров-

ня, |0 = |F = 2, mF = 2 и |1 = |F = 1, mF = 1 , основного электронного состояния 2S1/2. Здесь F обозначает общий (электрон-

ный+ядерный) спин состояния, mF — проекция общего спина на направление внешнего магнитного поля. Контролирующий кубит был разделен на два первых колебательных состояния захваченного иона. Уровни энергии показаны на рис. 23.1, где первое число k в |kn принадлежит контролирующему кубиту (колебательное состояние), а второе число — контролируемому кубиту (сверхтонкое состояние). Сверхтонкая частота f0 = ω0/2π примерно равна 1,25 ГГц, а колебательная fx = ωx/2π составляет около 11 МГц. В слабом магнитном

Рис. 23.1. Уровни энергии, используемые в эксперименте [22]. Пунктирными линиями показаны главные переходы, применяемые в данном эксперименте

уровней с mf < F . Чтобы реализовать квантовый вентиль CN, авторы

вработе [22] применили три импульса:

(1)π/2-импульс для переходов |k0 ↔ |k1 с частотой f0(k = 0, 1),

(2)2π-импульс для дополнительного перехода между состоянием

|11 и уровнем, соответствующим |F = 2, mF = 0, а также основным колебательным состоянием |0 . (Это состояние не содержит кубитов и поэтому не показано на рис. 23.1. Оно отстоит от уровня |00 на величину, равную 2,5 МГц.) Этот переход изменяет знак состояния |11 , т. е. |11 → −|11 .

(3)π/2-импульс для перехода |k0 ↔ |k1 c частотой f0 и фазовым сдвигом π относительно первого импульса π/2-импульса. Для перехода |00 ↔ |01 влияние этих двух импульсов взаимно уничтожается, и ион остается в начальном состоянии |00 или |01 . Для перехода |10 ↔ |11 эффекты от двух импульсов π/2 являются аддитивными, что приводит к преобразованию одного состояния в другое.

≈ 11, 18, 30 МГц. Используя стимулированное рамановское охлаждение в измерении x, авторы добились 95 % заселенности в основном колебательном состоянии. Чтобы вызвать переходы, они применили два рамановских луча мощностью примерно 1 милливатт и длиной волны 313 нм, которые были смещены от возбужденного состоя-

в область красного спектра на 50 ГГц. Волновой вектор, полученный в результате разности, был направлен вдоль оси x ловушки, поэтому рамановские переходы были нечувствительны в направлениях движения y и z. Разность частот между двумя рамановскими лучами могла быть установлена на любую из следующих трех частот: f0, f0 + fx и f0 − fx; диапазон настройки варьировался от 1,2 до 1,3 ГГц.

Чтобы определить заселенность контролируемого кубита, авторы применили к переходам |k0 ↔2 P3/2|F = 3, mF = 3 лазерное излучение с поляризацией σ+. После этого они определили флуоресценцию иона, которая пропорциональна заселенности состояний |k0 . Для определения степени заселенности контролирующего кубита применялся добавочный рамановский π-импульс. Например, если значение контролируемого кубита равно «0» (состояния |k0 ), то можно повторить эксперимент, применяя непосредственно перед определением состояния контролируемого кубита рамановский π-им- пульс с частотой f0 − fx. Наличие флуоресценции показывает, что значение контролирующего кубита равно «0».

Чтобы создать любое заданное состояние кубитов, в работе [22] к состоянию |0, 0 применялся один или два рамановских π-импульса. Затем, применяя заданную последовательность рамановских импульсов к любому из четырех начальных состояний кубитов, было продемонстрировано, что можно надежно реализовать квантовый вентиль CN с цифровыми начальными условиями.

Другой практической идеей реализации вентиля CN является использование квантовых электродинамических резонаторов (cavity quantum electrodynamics, QED)[53, 57]. (Обзор методик по данной области можно найти в [58].) Состояние поля резонатора может быть либо вакуумным, |0 , либо однофотонным, |1 . Когда атом проходит через резонатор, который при этом настроен на частоту атомного