Введение в квантовые компьютеры

Данное преобразование можно выполнить при помощи следующих формул:

где Ψ — волновая функция во вращающейся системе, F — произвольный оператор в начальной системе отсчета, Ft — тот же самый оператор во вращающейся системе отсчета, а ω = ω0 — частота вращающегося магнитного поля.

В нашем случае мы делаем подстановку в (15.1):

Ψ = eiω0Iz tΨ .

Это дает:

После преобразований из (15.6) получаем уравнение Шредингера во вращающейся системе:

˙

i Ψ = Ψ ,

Правая часть в уравнении (15.7) описывает взаимодействие спина с электромагнитным полем во вращающейся системе.

Чтобы упростить эту правую часть, найдем оператор, не зависящий от времени,

Далее, используя выражения для операторов Iz (12.4) и I− (12.23), получаем:

Iz I− = 12 (|0 0| − |1 1|)|1 0| = −12 |1 0| = −12 I−,

(15.10)

I−Iz = 12 |1 0| = 12 I−.

Используя (15.10), можно переписать уравнение (15.9) в следующем виде:

Подставляя (12.23), (15.12) и (15.13) в (15.7) можно видеть, что гамильтониан во вращающейся системе не зависит от времени,

где Ω = γh — частота Раби.

Теперь во вращающейся системе мы можем использовать соотношения (15.4) для не зависящего от времени гамильтониана . В этом случае эволюция системы описывается унитарным оператором

с не зависящим от времени гамильтонианом . Согласно (15.14) унитарный оператор в (15.15) можно записать в следующем виде:

Чтобы упростить это выражение, найдем производные по времени:

где E — единичная матрица. Из этого уравнения следует, что

где aik и bik — не зависящие от времени коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты, используем начальные условия:

Первое уравнение в (15.20) вытекает из (15.16) и (15.3), а второе — из первого уравнения в (15.17). Подставляя (15.19) в (15.20), получаем:

Получающийся в итоге унитарный оператор эволюции имеет вид:

или, в матричном представлении,

Это выражение в точности соответствует решению уравнения Шредингера (12.29). Используя (15.22), получим

Ψ(t) = U (t)Ψ(0) = U (t)(c0(0)|0 + c1(0)|1 ) =

= c0(t)|0 + c1(t)|1 , (15.23)

где c0(t) и c1(t) определяются выражениями (12.29).

внешних электромагнитных импульсов. Как уже упоминалось во введении, квантовые вычисления и квантовые вентили (по крайней мере те, которые обсуждаются в литературе) можно реализовать только

втечение промежутка времени t меньшего, чем характерное время релаксации (декогерентизации) tR: t < tR. Процессы релаксации

вквантовых системах, а также в ансамбле таких систем, протекают как при нулевой температуре (из-за взаимодействия с вакуумом и другими системами), так и при конечной температуре. Поэтому для

любой конкретной квантовой системы время tR всегда конечно. Возникает вопрос: в чем же главные различия между квантовой системой при нулевой и предельной температурах (при рассмотрении квантовых логических вентилей и квантовых вычислений)? Рассмотрим три различных ситуации.

I. Предполагается, что при нулевой температуре можно создать квантовую систему в заданном начальном чистом состоянии. Например, для изолированного двухуровневого атома это начальное состояние может быть основным, |0 , возбужденным, |1 ,

межутка времени t, меньшего времени релаксации (декогерентизации) tR, можно использовать данную систему для квантовых логических вентилей и квантовых вычислений. Соответствующую динамику при t < tR можно описать с помощью уравнения Шредингера.

II. С теми же самыми двухуровневыми атомами можно работать при конечной температуре. Например, эти атомы можно «раскрасить», т. е. они могут иметь энергетические уровни (или несколько разных квантовых чисел), отличные от других атомов в термостате. При конечной температуре «точные» начальные условия для каждого атома неизвестны. Если, например, атом находится в состоянии равновесия с другими атомами в термостате, то известна лишь вероятность нахождения данного атома в состоянии |0 или |1 ,

В этой ситуации невозможно реализовать квантовые вентили или выполнить квантовые вычисления, как описано в I, даже если время релаксации tR достаточно велико. Подход, основанный на волновой функции (уравнение Шредингера), здесь неприменим в принципе, поскольку неизвестны начальные условия.

III. В [28–30] было показано, что квантовые вентили и квантовые вычисления все же можно реализовать, используя для этого матрицу плотности для ансамбля атомов при конечной температуре. Грубо говоря, основная идея заключается в следующем. В состоянии равновесия всегда существует разница между количеством атомов, находящихся в основном и возбужденном состоянии, |0 и |1 . Таким образом, если ввести новую эффективную матрицу плотности, которая описывает эволюцию «разницы» атомов в этих двух состояниях, то она будет эквивалентна матрице плотности «чистой» квантовой системы. На самом деле картина, конечно же, более сложна (см. главу 26), но сама идея выглядит весьма многообещающе.

Динамику ансамбля атомов при конечной температуре можно описать с помощью матрицы плотности, введенной фон Нейманом (см., например, [48]). Данный подход используется в главе 26 при описании динамики квантовых логических вентилей для промежутков времени меньших, чем время релаксации (декогерентизации).

Вэтой главе мы рассмотрим эволюцию не единичного атома,

аансамбля атомов при конечной температуре. Каждый атом такого ансамбля по-прежнему можно описать с помощью волновой функции

Сначала введем матрицу плотности для ансамбля атомов, которые находятся в одинаковом состоянии при нулевой температуре. Вместо волновой функции (16.2) можно рассмотреть матрицу плотности

В матричном представлении матрица плотности (16.3a) имеет следующую форму:

98 ГЛАВА 16

Матрица плотности ρ удовлетворяет следующему операторному уравнению:

i,k=0

В общем случае матричные элементы ik зависят от времени. Уравнение (16.7) можно легко вывести из уравнения Шрединге-

ра. Действительно, уравнение Шредингера можно записать в виде:

Здесь мы учли, что гамильтониан является эрмитовым оператором,

Теперь домножим (16.10) на c0, а (16.11) — на −c0. Затем сложим эти уравнения. В результате получим следующее выражение:

которое совпадает с (16.7).

Для ансамбля атомов, находящихся при конечной температуре, используют усредненную матрицу,

которая удовлетворяет уравнению (16.5). В состоянии термодинамического равновесия матрица плотности задается следующими матричными элементами [48]:

ρ01 = ρ10 = 0,

где Ek — энергия k-го уровня.

Из выражений (16.4) и (16.15) видна принципиальная разница между матрицей плотности для ансамбля атомов, находящихся в одинаковом состоянии при нулевой температуре, и матрицей плотности для ансамбля атомов, находящихся в состоянии термодинамического равновесия при конечной температуре. В случае нулевой температуры, если оба матричных элемента ρ00 = 0 и ρ11 = 0, то ρ01 и ρ10 также ненулевые. При конечной же температуре можно получить, например, ρ00 = 0 и ρ11 = 0, но ρ01 = ρ10 = 0. Соотношения

справедливы как для нулевой, так и для конечной температуры. Значения ρ00 и ρ11 в обоих случаях описывают вероятности заселения соответствующих уровней.

Рассмотрим теперь в качестве примера ансамбль из ядерных спинов I = 1/2 в постоянном магнитном поле, направленном вдоль положительного направления оси z. Гамильтониан системы определяется выражением (12.3) с двумя энергетическими уровнями:

Элементы матрицы плотности в состоянии теплового равновесия можно найти из (16.15):

ρ01 = ρ10 = 0.

При высокой температуре, ω0 kB T , которая представляет особый интерес для квантовых вычислений на электронных и ядерных спинах, выражение (16.17) можно разложить в ряд с точностью до первого порядка величины ω0/kB T :

где E — единичная матрица, а Iz — оператор z-компоненты спина 1/2 (см. (12.4) и (12.5)). Выражение (16.19) можно также получить из общего выражения для матрицы плотности