Литература / (тоже супер) физосновы для экз
.pdf
150 |
Р А З Д Е Л 2 |
ведливым для рассматриваемых тонких металлических пленок, число электронов в единице объема, имеющих скорости в пределах от vx до vx + dvx, от vy до vy + dvy и от vz до vz + dvz, определяется выражением
n(vx ,vy,v z)dvxdvydvz =
(2.46)
= (2mn4 / h3 )f(E)dvxdvydvz.
Интегрируя соотношение (2.46), получим плотность электронов, имеющих произвольные составляющие скоростей по осям y, z и заданную составляющую по оси x. В результате интегрирования имеем
|
2mn4 |
∞ ∞ |
|
4πmn3 |
∞ |
|
|
n(vx ) = |
∫ ∫ |
f(E)dvydvz = |
∫ f(E)dEr . |
(2.47) |
|||
h3 |
h3 |
||||||
|
−∞ −∞ |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
В полученном выражении использовано обозначение Er = mnvr2 /2, в котором vr = vy2 + vz2 — радиальная составляющая скорости электрона в плоскости, параллельной смежным плоскостям тонких металлических пленок 1 и 2.
Из соотношений (2.46) и (2.47) находим
|
|
4πmn2 |
Emax |
x |
|
|
n1 |
= |
∫ |
D(Ex )dEx ∫f(E)dEr . |
(2.48) |
||
h3 |
||||||
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
Таким же образом определяем концентрацию электронов, переходящих в противоположном направлении, т. е. из пленки 2 в пленку 1:
|
|
4πmn2 |
Emax |
x |
|
|
n2 |
= |
∫ |
D(Ex )dEx ∫f(E + qU)dEr , |
(2.49) |
||
h3 |
||||||
|
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
где значение функции распределения Ферми — Дирака берется при энергии E + qU, так как все энергетические уровни в металлической пленке 2 смещены вниз относительно соответствующих уровней в пленке 1 на величину qU, определяемую внешним приложенным напряжением.
Ф И З И Ч Е С К И Е Я В Л Е Н И Я И П Р О Ц Е С С Ы В П Л Е Н О Ч Н Ы Х С Т Р У К Т У РА Х |
151 |
Результирующий поток электронов n = n1 – n2 через потенциальный барьер
Emax
n = ∫
0
|
4πm |
2 ∞ |
|
|
|
|
∫ |
[f(E) − |
|
D(Ex )dEx |
n |
|||
h3 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ]
f(E qU) dEr . (2.50)
Если в качестве функции распределения электронов по энергиям в рассматриваемых металлических пленках 1 и 2 использовать функцию распределения Ферми — Дирака при T = 0 К, то, как показано Зоммерфельдом и Бете, при малых напряжениях плотность туннельного тока
|
q(2mnχм )1/2 |
|
4nd |
|
|
|
J = |
|
Uexp − |
(2mnχм )1/2 |
. |
(2.51) |
|
2 |
||||||
|
h d |
|
h |
|
|
|
При больших напряжениях плотность этого тока
|
q3E2 |
|
8π |
|
|
|
|
J = |
|
exp − |
|
(2mn )1/2 χ3м/2 |
, |
(2.52) |
|
8πhχм |
3hqE |
||||||
|
|
|
|
|
где E = U/d — напряженность электрического поля в узком диэлектрическом зазоре.
Выражение (2.52) известно под названием формулы Фаулера — Нордгейма.
При вычислении плотности туннельного тока для промежуточных значений приложенного напряжения эту величину целесообразно представить в виде суммы:
J = J1 + J2, |
(2.53) |
где плотность J1 соответствует условию qU < χм, а плотность J2 — условию qU > χм.
Путем соответствующих расчетов можно показать, что
|
|
|
|
|
|
|
J1 = |
|
3q(2m )1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ah2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.54) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
− A |
χм |
− |
qU |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− A |
χм + |
qU |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
χ |
|
− |
qU |
2 − |
χ |
|
+ |
qU |
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
e |
|
|
|
|
|
2 |
|
e |
|
2 , |
|
|||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где
A = |
4πd |
(2mn )1/2. |
(2.55) |
|
h |
||||
|
|
|
152 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р А З Д Е Л 2 |
|
Аналогично вычисляют также вторую составляющую |
|||||||||||||||||
плотности туннельного тока: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q2E |
|
|
|
|
|
8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J2 = |
2 |
|
(1 − X)exp − |
|
|
(2mn )1/2 |
(χм )3/2 |
, (2.56) |
|||||||||
8πhχм |
3hqE |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где использовано обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4πd |
|
|
|
|
|
|
χм |
|
|
|
|
||||
|
X = |
h |
|
(2mnχм )1/2 1 |
− |
|
+ 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qU |
|
|
(2.57) |
|||||
|
|
|
|
4πd |
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
||||||||
|
exp − |
|
|
(2mn |
χм )1/2 |
1 − |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
h |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qU |
|
|
||||
В большинстве случаев величина X, определяемая соотношением (2.57), является малой и при вычислении плотности туннельного тока ее можно не учитывать.
Квантово-механическое туннелирование электронов через потенциальный барьер представляет собой один из важнейших механизмов переноса зарядов через тонкие диэлектрические пленки. При исследовании этого механизма обычно пользуются рядом допущений, некоторые из них приводятся ниже.
Волновая функция внутри диэлектрической пленки, находящейся между двумя металлическими пленками, отлична от нуля, причем по мере удаления вглубь барьера эта функция спадает по экспоненциальному закону. Следовательно, если барьер является очень узким, то вероятность проникновения электрона сквозь него имеет конечное значение, зависящее от высоты и формы барьера. Иначе говоря, эту вероятность приближенно можно считать зависящей от площади потенциального барьера.
Квантово-механическое туннелирование, или автоэлектронная эмиссия, может наблюдаться также в случае широкого потенциального барьера, если его эффективная толщина уменьшается под воздействием приложенного сильного электрического поля.
При аналитическом вычислении тока, проходящего под действием эффекта туннелирования в тонкопленочной структуре «металл — диэлектрик — металл», полагают, что к тонкой пленке диэлектрика применима
Ф И З И Ч Е С К И Е Я В Л Е Н И Я И П Р О Ц Е С С Ы В П Л Е Н О Ч Н Ы Х С Т Р У К Т У РА Х |
153 |
зонная теория. На ее основе можно построить энергетическую зонную диаграмму структуры с четко определенными границами потенциального барьера. Поэтому обычно считают, что потенциальный барьер имеет трапецеидальную форму, определяемую высотами потенциальных барьеров на обеих границах диэлектрической пленки. В свою очередь высота каждого из этих потенциальных барьеров зависит от таких факторов, как работа выхода электрона из материалов металлических пленок, сродство диэлектрика к электрону, относительная диэлектрическая проницаемость, напряженность внешнего электрического поля и потенциал сил зеркального изображения. Результаты исследований контактирующей тонкопленочной системы «металл — диэлектрик — металл» свидетельствуют о том, что во всех случаях достаточно точные данные получаются при аппроксимации потенциального барьера трапецией. Следует однако отметить, что в случае очень тонких пленок диэлектрика возникают определенные трудности с учетом влияния сил зеркального изображения. Еще одна проблема связана с учетом непараболичности энергетических зон. Учет этого фактора приводит к существенному увеличению теоретически вычисленного значения туннельного тока, особенно в тех случаях, когда высота потенциального барьера на границе тонкопленочной системы «металл — диэлектрик» становится сравнимой с шириной запрещенной зоны диэлектрика.
2.4.ТОКИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛЕНКАХ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЪЕМНЫМ ЗАРЯДОМ
Диэлектрические пленки, так же как и полупроводниковые пленки, обычно содержат высокую плотность структурных дефектов, к которым относятся дислокации, вакансии, примесные атомы в узлах или междоузлиях кристаллической решетки, дефекты упаковки, поверхностные состояния и др. Подвижные носители заряда могут локализоваться на этих дефектах, которые в таких случаях выступают в качестве ловушек захвата.
154 |
Р А З Д Е Л 2 |
Каждому типу ловушек |
|
захвата |
соответствуют |
определенные энергетические уровни, располагающиеся на различной глубине внутри запрещенной зоны диэлектрика, как показано на рисунке 2.11.
Свободные носители заряда, захваченные
глубокими ловушками
(E′′), могут оставаться
л
на них в течение достаточно длительного промежутка времени, который в некоторых случаях может измеряться минутами и даже часами. Носители заряда, захваченные мелкими ло-
вушками (E′ ), задерживаются на них в течение корот-
л
кого промежутка времени, измеряемого обычно наносекундами. Концентрация ловушек захвата в реальных диэлектрических пленках в зависимости от технологии получения может изменяться в пределах 1013–1020 см–3.
Носители заряда, захваченные ловушками, создают неподвижный
пространственный заряд, ограничивающий значение тока. Концентрации заполненных и незаполненных ловушек захвата и свободных носителей заряда находятся в термодинамическом равновесии.
При теоретическом описании процесса токопрохождения в случае ограничения его пространственным зарядом
Ф И З И Ч Е С К И Е Я В Л Е Н И Я И П Р О Ц Е С С Ы В П Л Е Н О Ч Н Ы Х С Т Р У К Т У РА Х |
155 |
вводят полуэмпирическое определение мелких и глубоких ловушек. Уровни ловушек захвата, расположенные над уровнем Ферми EF = EFм = EFд , условно называют мелкими, а ниже этого уровня — глубокими. В условиях термодинамического равновесия большинство мелких
уровней (E′ , E′ ) свободно от электронов, а большин-
л1 л2
ство глубоких уровней (E′′ , E′′ , E′′ ) занято электро-
л1 л2 л3
нами, как показано на рисунке 2.12. Вероятность заполнения некоторого произвольного уровня ловушки Eл электронами в условиях термодинамического равновесия определяется функцией
F(Eл ) = |
|
|
|
1 |
|
|
, |
(2.58) |
1+ |
1 |
|
Eл − EF |
|||||
|
g |
exp |
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
kT |
|
|||
где g — статистический вес уровня.
В каждом конкретном случае статистический вес уровня g определяется физической природой ловушек захвата. Например, для однозарядных захватывающих центров g = 2. Если концентрация ловушек захвата с энергией Eл равна Nл, то в условиях термодинамического равновесия концентрация электронов на ловушках
nл0 = |
|
|
|
Nл |
|
|||
|
|
|
|
|
. |
(2.59) |
||
|
+ |
1 |
|
Eл − EF |
||||
1 |
g |
exp |
|
|
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
kT |
|
|||
Как было показано, в условиях термодинамического равновесия концентрация электронов в зоне проводимости полупроводника или диэлектрика
n0 = Nсe − |
Eл − EF |
|
kT . |
(2.60) |
С приложением к пленке внешнего напряжения
условия термодинамического равновесия нарушаются, и вследствие эмиссии электронов с отрицательного электрода в диэлектрическую пленку происходит увеличение их концентрации в зоне проводимости диэлектрика и на примесных уровнях ловушек. Концентрация электронов в зоне проводимости в отсутствие равновесия, по анало-
156 Р А З Д Е Л 2
гии с соотношением (2.60), может быть представлена в виде
n = Nсe − |
Eл − EF |
|
kT , |
(2.61) |
где EF — квазиуровень Ферми.
Концентрация электронов nл на уровнях ловушек с энергией Eл выражается через квазиуровень Ферми:
nл = |
|
|
|
Nл |
|
. |
(2.62) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
Eл − EF |
|||||||
|
|
+ |
|
|
|
|||||
1 |
|
exp |
|
|
|
|
|
|||
g |
kT |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Концентрацию электронов, заполняющих глубокие ловушки захвата, можно считать неизменной, причем nл = Nл. На мелких ловушках концентрация электронов увеличивается с увеличением внешнего приложенного напряжения. Если Eл – EF kT, то можно показать, что
n |
|
Nс |
ge − |
Eс − Eл |
≡ θ, |
(2.63) |
n |
N |
|
||||
|
|
kT |
|
|||
л |
|
л |
|
|
|
|
где θ — некоторая постоянная величина.
В случае относительно глубокого залегания мелких ловушек, когда Eл = E F , экспоненциальный множитель
всоотношении (2.62) становится достаточно малым и, следовательно, значение величины θ также будет небольшим. Большинство электронов, перешедших с отрицательного электрода в диэлектрическую пленку, захватывается мелкими ловушками, и только небольшая их часть остается в зоне проводимости.
При определении плотности тока, ограниченного объемным зарядом, можно пренебречь зарядом электронов, перешедших с отрицательного электрода и находящихся
взоне проводимости диэлектрика. Можно считать, что объемный заряд обусловлен только электронами, захваченными мелкими ловушками.
Выведем уравнение вольт-амперной характеристики для контактирующей тонкопленочной системы «металл — диэлектрик — металл» в случае прохождения
Ф И З И Ч Е С К И Е Я В Л Е Н И Я И П Р О Ц Е С С Ы В П Л Е Н О Ч Н Ы Х С Т Р У К Т У РА Х |
157 |
через нее тока, ограниченного объемным зарядом. Пренебрегая диффузионной составляющей плотности тока и учитывая соотношение (2.63), можно записать
J = qnμnE = qθnлμnE, |
(2.64) |
где E = U/d — напряженность электрического поля в тонкой диэлектрической пленке.
Полная плотность заряда электронов, эмитированных в диэлектрическую пленку, ρ = q(n – nл). Следовательно, плотность заряда, отнесенная к единице поверхности электродов,
σ′ = ρd = q(n + nл)d ≈ qnлd, |
(2.65) |
если считать n nл.
С другой стороны, если предположить, что все заряды сконцентрированы на поверхности электродов, то плотность
σ′ = CU = εU , (2.66) 4πd
где C — емкость контактирующей тонкопленочной системы «металл — диэлектрик — металл», отнесенная к единице поверхности электродов.
Приравнивая соотношения (2.65) и (2.66), получаем
q nл d ≈ |
εU |
. |
(2.67) |
|
|||
|
4πd |
|
|
Подставляя из (2.67) величину qnл в уравнение вольтамперной характеристики (2.64), находим
J ≈ θ ε μn U2. |
(2.68) |
4πd3 |
|
Вид вольт-амперной характеристики для плотности тока, ограниченного объемным зарядом, зависит от положения равновесного уровня Ферми относительно уровней ловушек захвата. Если уровень Ферми удален от уровня мелких ловушек захвата на величину порядка kT, то по мере попадания электронов в диэлектрическую пленку мелкие ловушки заполняются и квазиуровень Ферми может оказаться выше уровня мелких ловушек захвата.
158 |
Р А З Д Е Л 2 |
При малых внешних |
напряжениях, приложенных |
к диэлектрической пленке, мелкие ловушки захвата заполняются электронами, их поведение становится подобным поведению глубоких ловушек. По мере заполнения таких ловушек вид вольт-амперной характеристики изменяется и пленка начинает вести себя как диэлектрик без ловушек.
Изменение вида вольт-амперной характеристики для рассматриваемой тонкопленочной системы иллюстрируется рисунком 2.13. При
|
напряжениях U < Uз мел- |
|||||
|
кие ловушки захвата за- |
|||||
|
полняются |
электронами |
||||
|
и |
наблюдается плавное |
||||
|
возрастание |
тока |
(уча- |
|||
|
сток 1). При U = Uз все |
|||||
|
ловушки |
оказываются |
||||
|
заполненными и |
наблю- |
||||
|
дается резкое увеличение |
|||||
|
тока (участок 2). Дальней- |
|||||
|
ший ход вольт-амперной |
|||||
|
характеристики (участок |
|||||
|
3) определяется концен- |
|||||
|
трацией электронов, эми- |
|||||
|
тируемых |
электродом |
||||
|
и |
перемещающихся по |
||||
|
уровням зоны проводимо- |
|||||
|
сти диэлектрика. |
|
||||
Рис. 2.13 |
|
В |
области очень ма- |
|||
лых |
значений напряже- |
|||||
Зависимость плотности тока, |
||||||
проходящего через диэлектрик |
ний, когда концентрация |
|||||
с различными типами ловушек, от |
||||||
электронов n в зоне про- |
||||||
приложенного напряжения |
||||||
водимости близка к равновесной концентрации n0 (n ≈ n0), ток через диэлектрическую пленку подчиняется закону Ома
J = q n μn |
U ≈ q n0 |
μn |
U . |
(2.69) |
|
d |
|
d |
|
При большом увеличении напряжения условие n ≈ n0 нарушается, наиболее характерными становятся токи,
Ф И З И Ч Е С К И Е Я В Л Е Н И Я И П Р О Ц Е С С Ы В П Л Е Н О Ч Н Ы Х С Т Р У К Т У РА Х |
159 |
ограниченные объемным зарядом, для которых справедливо уравнение вольт-амперной характеристики вида (2.68).
В некоторых случаях в диэлектрические или полупроводниковые пленки инжекция носителей заряда может происходить одновременно с двух электродов: электронов с катода и дырок с анода. Если концентрации инжектируемых носителей заряда n и p меньше концентраций равновесных носителей n0 и p0, то выполняется закон Ома. Этому условию соответствует участок 1 вольт-амперной характеристики (рис. 2.14).
При более высоких напряжениях ток начинает проявлять квадратичную зависимость от напряжения и ограничивается объемным зарядом. По мере дальнейшего возрастания напряжения вид вольт-амперной характеристики определяется отношением временем жизни электронов и дырок, а также зависимостью этих времен от уровня инжекции.
Если время жизни носителей заряда не зависит от уровня инжекции, то наблюдается квадратичная зависимость тока от приложенного напряже-
ния, причем при высоком уровне инжекции электроны и дырки почти полностью нейтрализуют друг друга и ток ограничивается не объемным зарядом, а темпом рекомбинации электронно-дырочных пар (участок 2 на рисунке 2.14). Если время жизни носителей заряда зависит от уровня инжекции, то на вольт-амперной характеристике может наблюдаться участок отрицательного сопротивле-