Литература / (тоже супер) физосновы для экз

температуре по мере увеличения концентрации примесных атомов. Граница между вырожденными и невырожденными состояниями условно определяется концентрацией вырождения nвыр, или температурой вырождения Твыр. Эта температура может быть вычислена из условия

При T ≥ Tвыр энергия тепловых колебаний атомов решетки полупроводника достаточно велика и электроны могут занимать состояния с энергией, намного превышающей Em. В этом случае их распределение по энергиям описывается функцией распределения Максвелла — Больцмана.

Из соотношения (1.35), (1.36) можно установить взаимосвязь между температурой и концентрацией вырожде-

Это выражение используют для определения температуры вырождения полупроводника при известной концентрации примесных атомов или для определения концентрации электронов, при которой для данной температуры наступает вырождение. Аналогичные рассуждения полностью справедливы также для полупроводника p-типа.

1.3.КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ

В работе всех микроэлектронных устройств определяющую роль играют явления переноса подвижных носителей заряда, или так называемые кинетические явления. Причина этих явлений заключается в том, что подвижные носители заряда в процессе своего перемещения переносят массу, заряд, энергию и др. Если создаются условия, при которых потоки носителей заряда становятся направленными, то в результате возникает ряд электрических эффектов, которые лежат в основе практического использования полупроводников. Кинетическими процесса-

ми обусловлены такие явления в полупроводниках, как электропроводность, эффект Холла, изменение сопротивления в магнитном поле, термоЭДС и др. Важнейшим из этих явлений с точки зрения реализации микроэлектронных устройств является электропроводность. Далее это явление рассматривается более подробно.

В отсутствие внешнего электрического поля подвижные носители заряда в кристалле совершают только тепловое движение, характеризующееся средней тепловой скоростью v = (3kT)m, где m — эффективная масса подвижного носителя. В процессе теплового движения электрон и дырка в течение некоторого определенного времени, называемого временем свободного пробега, движется прямолинейно и равномерно, а затем в результате взаимодействия с каким-либо дефектом кристаллической решетки резко изменяет направление своего движения. Такие процессы изменения направления перемещения носителя заряда или его импульса называют процессами рассеяния. Если систему электронов или дырок рассматривать как соответствующий газ, то можно показать, что в состоянии теплового равновесия не существует преимущественных направлений движения. Поэтому среднее значение тепловой скорости vT равно нулю. Отсюда следует, что средний поток частиц, а следовательно, и средняя плотность тока для любого направления в полупроводнике равна нулю.

С приложением внешнего электрического поля подвижные носители заряда приобретают дополнительные скорости v под воздействием внешнего поля. В этом случае результирующее перемещение носителей заряда не является беспорядочным, в результате чего возникает направленный поток перемещения электрического заряда, или электрический ток. Среднее значение скорости упорядоченного движения для одного носителя заряда, вычисленное для промежутка времени, намного превышающего время между двумя последовательными столкновениями, обозначим через vср, а среднее значение этой скорости для совокупности носителей — через vd. Среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда vd называют дрейфовой скоростью.

В большинстве практических случаев дрейфовая скорость пропорциональна напряженности внешнего электрического поля E. Следовательно, можно записать

где μ — коэффициент пропорциональности, называемый

дрейфовой подвижностью носителей заряда. Подвижность носителей заряда относится к числу

важнейших параметров полупроводниковых материалов, оказывающих непосредственное влияние на большинство электрических параметров элементов интегральных микросхем. Дрейфовую подвижность можно определить как дрейфовую скорость, приобретаемую заряженным носителем заряда в электрическом поле с напряженностью E = 1 В/см. Дрейфовая подвижность для электронов является отрицательной, а для дырок — положительной. Плотность электрического тока, проходящего через полупроводник, содержащий преимущественно один тип подвижных носителей заряда, выражается формулой

где q — заряд подвижного носителя, отрицательный для электрона и положительный для дырки; n — концентрация подвижных носителей заряда.

Если плотность тока выразить через закон Ома в дифференциальной форме

то из соотношений (1.39) и (1.40) можно определить удельную электрическую проводимость полупроводника:

σ = qnμ. (1.41)

Получим выражение для подвижности, предполагая, что полупроводник имеет электропроводность n-типа, т. е. основными подвижными носителями заряда в нем являются электроны. Так как подвижность электрона зависит от частоты его столкновений с дефектами кристаллической решетки, или от интенсивности рассеяния, то

необходимо вычислить среднее время между двумя последовательными столкновениями.

Со стороны внешнего электрического поля E на электрон действует сила F, сообщающая ему ускорение dvn/ dt, где vn — скорость электрона. Поэтому, если электрон считать классической частицей, обладающей некоторой эффективной массой mn, то

Это выражение представляет собой закон движения электрона в зоне проводимости полупроводника. Для вычисления средней дрейфовой скорости электрона vn предположим, что при рассеянии электрон теряет всю энергию, приобретенную за среднее время свободного пробега t , и в начале каждого следующего отрезка пути имеет нулевую скорость. Тогда в результате интегрирования (1.42) при условии, что vn = 0 при t = 0, а vn = vn при t = t , получаем

Если кроме того, считать, что на длине свободного пробега скорость дрейфа электрона изменяется линейно, то ее среднее значение

Из соотношений (1.38) и (1.44) нетрудно найти, что дрейфовая подвижность электрона

Полученное выражение позволяет проанализировать зависимость подвижности электрона от некоторых параметров полупроводникового материала. Во-первых, подчеркнем, что подвижность прямо пропорциональна среднему времени свободного пробега электрона или средней длине пробега между двумя последовательными столкно-

54 Р А З Д Е Л 1

вениями электрона с какими-либо дефектами кристаллической решетки полупроводника. Длина свободного пробега тем больше, чем меньше дефектов содержит тот или иной полупроводниковый материал. Рассеяние электрона в полупроводнике происходит, главным образом, вследствие его столкновений с примесными атомами и тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Интенсивность последнего типа колебаний зависит только от температуры полупроводника. Поэтому наибольшее значение дрейфовой подвижности электрона должно наблюдаться для беспримесных или низколегированных полупроводников в области низких температур. По мере увеличения концентрации примесных атомов и повышения температуры полупроводника подвижность электрона должна уменьшаться. Во-вторых, из выражения (1.45) видно, что дрейфовая подвижность обратно пропорциональна эффективной массе электрона. Эта величина вы-

строением изоэнергетических поверхностей в импульсном пространстве зоны проводимости полупроводника. Отсюда можно заключить, что эффективная масса электрона в зоне проводимости различна для различных полупроводниковых материалов и, следовательно, при прочих равных условиях подвижности в них также будут различаться.

Необходимо отметить, что соотношение (1.45) получено без учета распределения электронов по скоростям, поэтому его нельзя считать достаточно точным. Для вычисления уточненного значения дрейфовой подвижности μn следует рассматривать решение более сложной задачи с учетом статистического характера скорости электрона. Предположим, что в процессе электропроводности полупроводника принимает участие n0 электронов и для каждого из них существует определенная вероятность 1/τм рассеяния на дефектах кристаллической решетки. Тогда полное число столкновений, которые испытывают электроны в такой системе в течение интервала времени от

t до t + dt, выразится произведением n0dt/τм. Для упрощения решения задачи введем допущение, что вероятность рассеяния электронов не зависит ни от их энергии, ни от предыдущего столкновения.

Если n есть количество электронов, не испытавших к моменту времени t рассеяния, то за время dt количество таких электронов уменьшится на

Предполагая, что n = n0 при t = 0, и интегрируя (1.46), находим закон изменения количества нерассеявшихся электронов:

Следовательно, величина τм определяет интервал времени, в течение которого число нестолкнувшихся электронов уменьшается в e раз, где e — основание натурального логарифма. Статистический расчет позволяет найти среднее значение времени свободного пробега τ, которое оказывается в точности равным времени τм, называемому

максвелловским временем релаксации. Это означает, что сумма средних времен свободного пробега всех электронов системы, испытавших n столкновений, равна

Учитывая соотношение (1.42), можно вычислить средний путь, пройденный каждым электроном системы к моменту времени t ≥ τ :

С другой стороны, за время dt система электронов испытывает

столкновений; следовательно, приращение суммарного пути dn электронов за тот же промежуток времени составляет

Поскольку через бесконечно большой промежуток времени в системе не останется ни одного не столкнувшегося электрона, суммарный путь всех n0 электронов будет определяться выражением

Отсюда нетрудно найти среднюю скорость электронов на пути свободного пробега:

n

Таким образом, уточненное выражение для дрейфовой подвижности электронов, полученное с учетом статистического характера распределения их по скоростям, можно представить в окончательном виде:

От ранее полученного выражения (1.45) выражение (1.54) отличается только отсутствием множителя 1/2, т. е. значение подвижности, вычисляемое для системы электронов в зоне проводимости полупроводника, вдвое превышает соответствующее значение, определенное для единичного электрона, который рассматривался как классическая частица.

С точки зрения практического использования полупроводников весьма важным является всесторон-

нее исследование температурной зависимости подвижности. Оба параметра полупроводниковой структуры, т. е. эффективная масса и время релаксации, являются температурно-зависимыми величинами. Однако в наибольшей степени эта зависимость проявляется для времени релаксации, которое в реальных полупроводниках определяется суммарной вероятностью рассеяния носителей заряда на всех дефектах кристаллической решетки.

Рассеяние носителей заряда может происходить на тепловых колебаниях решетки, ионизированных и нейтральных примесных атомах, дислокациях, поверхностных состояниях, пустых узлах и т. д. При достаточно высоких температурах и сравнительно малых концентрациях примесных атомов преобладающим механизмом рассеяния является рассеяние на тепловых колебаниях решетки. Такой процесс рассеяния представляет собой поглощение электроном так называемого звукового кванта, или фонона. В результате электрон отдает энергию, равную энергии фонона, и импульс, равный импульсу фонона h/λ, где λ — длина волны звукового колебания. Возникающие при этом колебания подразделяют на акустические и оптические.

Акустические колебания возникают в том случае, когда колебания соседних атомов решетки являются синфазными, а оптические — противофазными. В первом случае частота колебаний обратно пропорциональна длине волны, т. е. ω = 2πс/λ, где с — скорость звука, во втором — частота колебаний проявляет очень слабую зависимость от длины волны и равна некоторой характеристической величине ω0. Поэтому оптические колебания возбуждаются только при такой температуре, при которой произведение kT становится сравнимым с энергией hω0. Для различных материалов эта температура, определяемая как θ = hω0/k, является различной и называется дебаевской температурой для оптических колебаний. Обычно она изменяется

впределах от 150 до 600 К.

Вобласти низких температур в атомных полупроводниках, к которым относятся, в частности, германий и кремний, основную роль играет рассеяние на акусти-

ческих колебаниях. При этом длина свободного пробега электронов не зависит от их энергии и уменьшается с повышением температуры пропорционально 1/T. Это связано с увеличением амплитуды тепловых колебаний, т. е.

сувеличением вероятности процесса рассеяния. Среднее время релаксации τм = l / v в невырожденных полупроводниках с ростом температуры уменьшается пропорционально T–3/2, поскольку средняя скорость на длине сво-

бодного пробега проявляет температурную зависимость вида v∞T1/2. В вырожденных полупроводниковых материалах, а также в металлах время релаксации пропорционально 1/T.

Вобласти более низких температур для полупроводников с низкими и средними уровнями легирования преобладающим механизмом рассеяния является рассеяние на примесных атомах и других дефектах кристаллической решетки полупроводника. Эти же механизмы рассеяния в наибольшей степени характерны также для высоколегированных полупроводников в диапазоне достаточно высоких температур. Если рассеяние происходит главным образом на заряженных центрах — донорных или акцепторных атомах, то в не-

вырожденных полупроводниках максвелловское время релаксации τм возрастает пропорционально T3/2, так как

сувеличением энергии электронов вероятность их рассеяния на таких центрах уменьшается. При рассеянии на нейтральных дефектах время релаксации не зависит от температуры.

Обычно в области очень низких температур, при которых примесные атомы не полностью ионизированы, преобладающим механизмом рассеяния является рассеяние на нейтральных примесных атомах или акустических колебаниях кристаллической решетки. По мере возрастания концентрации ионизированных примесных атомов их роль становится преобладающей, причем подвижность с ростом температуры изменяется пропорционально T3/2. При повышении температуры основным механизмом рассеяния в сравнительно слаболегированных полупроводниках становятся сначала

акустические, а затем и оптические колебания. В этом случае зависимость подвижности от температуры приблизительно пропорциональна T3/2. В целом температурная зависимость подвижности оказывается достаточно сложной, и только в сравнительно узком интервале ее можно аппроксимировать простой степенной функцией вида μ ∞ Tn, где n — целое или дробное число, зависящее от вида полупроводникового материала и преобладающего механизма рассеяния.

Особый характер температурной зависимости подвижности наблюдается в так называемых компенсированных полупроводниковых материалах, которые одновременно содержат как донорные, так и акцепторные атомы. Концентрация заряженных центров в таких материалах не уменьшается до нуля даже при T → 0 К, а остается равной удвоенной концентрации неосновной примеси. Например, при Nд ≥ Nа и T → 0 К в материале содержится Nа отрицательно заряженных акцепторных атомов и Nа положительно заряженных донорных атомов. В таких материалах рассеяние на ионизированных примесных атомах может преобладать вплоть до самых низких температур, пока основную роль не начнет играть механизм электропроводности по уровням примесной зоны.

Если используемый полупроводниковый материал является близким к идеальному, то в области обычных рабочих температур рассеяние носителей заряда обусловлено, главным образом, тепловыми колебаниями решетки и ионизированными примесными атомами. Подвижность μ в этой температурной области можно вычислить, если предположить справедливость закона аддитивности и независимости для каждого из двух основных механизмов рассеяния, т. е.

где μT — подвижность относительно рассеяния на тепловых колебаниях кристаллической решетки; μI — подвижность относительно рассеяния на ионизированных примесных атомах.