Литература / (тоже супер) физосновы для экз

Концентрация свободных электронов в германии определяется следующим образом:

n0 = GT3/2exp[–(Ec – EF)/kT] =

(1.2.1)

= Ncexp[–(Ec – EF)/kT].

Здесь G = 4,83 1021 м–3 К–3/2 — константа, связывающая число электронов в единице объема в зоне проводимости с температурой и энергией уровней, Nc — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, определяемая выражением

Nc = 2(2πm*kT/h2)3/2 = 2{[(2πmk)3/2 T3/2]/h3}.

Согласно условиям задачи nn = 4,4 1022 м–3. Поскольку разница между донорным уровнем

идном зоны проводимости равна 0,01 эВ, а ширина запрещенной зоны Eg = 0,72 эВ, можно предположить, что все атомы примеси ионизированы,

ипоэтому можно пренебречь тепловой генерацией

носителей. Тогда можно вычислить величину Nc при заданной температуре Т = 300 К. Подставляя

в выражение для Nc значение T3/2 = 3003/2 = 5196, находим, что Nc = 4,83 1021 5196 = 25 1024 м–3.

Перепишем выражение (1.2.1) в виде exp[(Ec – EF)/kT] = Nc/nn или (Ec – EF)/kT = ln(Nc/nn). Отсюда получаем

Ec – EF = Eg – EF = kT ln(Nc/Nn) Дж.

Таким образом, EF = 0,72 – 300 1,38 10 –23 (1/ /610 – 19) ln(25 1021/4,4 1022) = 0,165 эВ. Это означает, что уровень Ферми находится примерно на 0,17 эВ ниже дна зоны проводимости.

Задача 1.3. Концентрация электронов и дырок в примесных полупроводниках. Выведите точное выражение для концентрации дырок pn в полупроводнике n-типа через концентрацию доноров Nд и собственных носителей тока ni. Выведите также выражение для концентрации электронов np

в материале p-типа через концентрацию акцепторов Nа и собственных носителей тока ni. Предположите, что все примеси ионизированы. Найдите отношение Nд/ni, если nn = 1,005 Nд. Вычислите pn, если концентрация собственных носителей ni для германия при температуре 300 К равна 4 1019 м–3. Найдите приближенные выражения для pn и np, если Nд ≥ ni в материале n-типа и Nа ≥ ni в материале p-типа.

Р е ш е н и е. Для полупроводника n-типа справедливо следующее равенство:

(1.3.1)

Здесь nn — концентрация электронов в материале n-типа, м–3; pn — концентрация дырок в этом материале, м–3; Nд — концентрация доноров (атомов

где ni — число пар «электрон — дырка», м–3. Отсюда находим концентрацию электронов

Аналогично для полупроводника p-типа имеем

где pp — концентрация дырок, м–3; np — концентрация электронов, м–3; Nа — концентрация акцепторной примеси, м–3.

определяем pp. Подставляя полученное выражение вместо pp в (1.3.7), после соответствующего преобразования получаем уравнение

Таким образом, полученные решения (1.3.6) и (1.3.10) представляют собой точные соотношения для концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках.

Преобразуя выражение (1.3.1) и подставляя в него, согласно условиям задачи, nn = 1,005 Nа, получаем

pn = nn – Nд = 1,005 Nд – Nд = 0,005 Nд.

Подставляя значение pn/Nд = 0,005 в соотношение (1.3.6), имеем

0,005 = 1/2{–1 + [1 + 4(ni/Nд)2]1/2}

или 1,01 = [1 + 4(ni/Nд)2]1/2. Отсюда находим соотношение

Nд/ni = 14,1

и тогда

Nд = 14,1 4 1019 = 5,64 1020 м3. Следовательно, концентрация дырок равна

pn = 0,005 Nд = 0,005 5,64 1020 = 2,82 1018 м3.

Если Nд ≥ ni и к соотношению (1.3.6) применить биномиальную формулу

(1 + x)m = 1 + mx + m(m – 1)x2/2 + ..., то для первых членов получим

pn = 1/2{–Nд + Nд[1 + 2(ni/Nд)2]} = ni/Nд(Nд ≈ nn).

При условии, что Nа ≥ ni, для полупроводников p-типа имеем

np ≈ ni/Nа(pp ≈ Nа).

Задача 1.4. Подвижность электронов. Образец германия имеет концентрацию доноров Nd = 2 1020 м–3. Эффективная масса электрона m* = 1,57m0, а донор можно считать рассеивающим центром с r = 5 10–2 мкм. Чему равны средняя длина свободного пробега и среднее время между столкновениями при T = 300 К? Определить подвижность электронов.

Ре ш е н и е. Средняя длина свободного пробега

λ= 1/(Nπr2), где r — радиус сферического рассеивающего центра, а N — концентрация носителей заряда. В данном случае

λ= 1/(2 1020 π 25 1016) = 0,64 10–6 м.

Среднее время между столкновениями τ = λ/v, где v — средняя скорость электронов. Известно также, что

m*v2/2 = 3/2kT.

Тогда

τ= 2(m*/3kT)1/2 = 0,64 10–6

(1,57 9,106 10–31/3 1,38 10–23 300)1/2 =

=0,69 10–11 c.

Подвижность

μ= qτ/m* = 1,602 10–19 0,69 10–11/1,57

9,106 10–31 = 0,77 м2/(В с).

Задача 1.5. Диффузионная длина. Вычислить диффузионную длину электронов в германии p-типа и дырок в германии n-типа, если время жизни неосновных носителей заряда τn = τp = 10–4 c, коэффициенты диффузии для герма-

114 Р А З Д Е Л 1

ния p-типа Dn = 47 10–4 м2/с и для германия n-типа Dp = 47 10–4 м2/с.

Р е ш е н и е. Из выражения

Dnτn = L2n

находим диффузионную длину электронов

Задача 1.6. Дрейфовые и диффузионные токи.

Покажите, в чем заключается различие между дрейфовым и диффузионным токами в полупроводнике. Какую роль играет каждый из этих токов в работе полупроводникового прибора. Докажите, что коэффициент диффузии D для любого типа носителей заряда определяется выражением

D = kTμ/q,

где k — постоянная Больцмана; T — абсолютная температура; μ — подвижность носителей заряда; q — заряд электрона.

Р е ш е н и е. Если полупроводниковый образец находится во внешнем электрическом поле E, то через него течет дрейфовый ток плотностью

J = nqμE.

При инжекции носителей заряда с одной из сторон образца в этой области образуется высокая, а с противоположной стороны — низкая избыточная концентрация носителей. Поэтому носители диффундируют из области с высокой концентрацией.

Для плотности электронного и дырочного тока имеем

Jn = qDn (dxn),

Jp = −qDp dxp .

Следовательно, диффузионные электронный и дырочный токи записываются в виде

In = qDnS(dxn),

Ip = −qDpS dxp ,

где Dn и Dp — коэффициенты диффузии электронов и дырок, м2/с; S — площадь потоков.

В общем случае электроны и дырки могут перемещаться посредством дрейфа и диффузии. При этом плотность электронного тока имеет вид

Уравнения (1.6.1) и (1.6.2) называют уравнениями потока или диффузионно-дрейфовыми уравнениями. В обоих уравнениях члены, описывающие дрейфовый ток, положительны, так как противоположно заряженные частицы в электрическом поле, двигаясь в разные стороны, создают ток одного и того же направления. Члены, описывающие диффузионный ток, имеют противоположные знаки, поскольку градиент концентрации заставляет оба вида частиц диффундировать в одном направлении. А в силу того, что заряды частиц имеют разные знаки, токи, создаваемые их диффузией, текут в противоположных направлениях.

Рассмотрим неравномерно легированный образец. В условиях теплового равновесия, т.е. в услови-

Другое доказательство. Для газа в равномерном состоянии имеем p = nkT. Градиент давления

dp/dx = kT(dn/dx)

представляет собой ту силу, которая заставляет газ расширяться в доступный для него объем.

Вполупроводнике, в котором на расстоянии x от инжектирующего контакта существует неравномерно распределенная избыточная концентрация электронов n, возникает внутреннее поле E.

Сила, действующая на электрон, равна qE, а сила, действующаяна n электронов,есть nqE = nqu/μ. В условиях теплового равновесия

nqEμn = qDn (ddxn),

т. е. дрейфовая составляющая тока равна диффузионной. Таким образом, для силы, действующей на n электронов или для градиента давления, имеем

Отсюда находим

qDn = kT.

μn

Аналогично находим соотношение для дырок qDp/μp = kT. Таким образом, в общем виде для коэффициента диффузии носителей заряда имеем соотношение:

D = kTqμ .

Задача 1.7. Потенциальный барьер на p-n- переходе. Объясните кратко, почему при нулевом смещении на границе p-n-перехода существует по-

118 Р А З Д Е Л 1

тенциальный барьер, и покажите, что его высота определяется выражением

ϕ = kT lg Nа Nд , e ni2

где Nа и Nд — концентрации акцепторов и доноров в дырочной и электронной областях соответственно; ni — концентрация собственных пар «электрон — дырка». Подробно расскажите, как приложенное внешнее напряжение действует на потенциальный барьер.

Р е ш е н и е. В реальных p-n-переходах либо Nа ≥ Nд, либо Nа ≤ Nд, где Nа и Nд — концентрации акцепторов и доноров в дырочном и электронном материалах. В любом из этих случаев заряд по обе стороныграницыпереходараспределенпо-разному и, следовательно, на переходе существует потенциальный барьер. В наиболее распространенном случае Nа ≥ Nд в дырочной области концентрация дырок pp высока, а концентрация электронов np очень низка. В электронной области высокая концентрация электронов nn и очень низкая концентрация дырок pn. При нулевом смещении дырочный и электронный ток состоит из двух компонент. Дырочный ток имеет следующие две компоненты: дрейфовый ток, создаваемый дырками — неосновными носителями в электронной области — при их переходе из электронной в дырочную область под действием электрического поля; диффузионный ток, создаваемый дырками — основными носителями дырочной области — при диффузии их из этой области через потенциальный барьер.

Поэтому плотности электронного и дырочного тока определяются выражениями