Литература / (тоже супер) физосновы для экз

распределения f(E, T), определяющей вероятность того, что уровень с энергией E при некоторой температуре T является занятым. Если известна плотность квантовых состояний N(E), то N(E)dE будет равно числу квантовых состояний, приходящихся на энергетический промежуток dE, а произведение dn = N(E)f (E)dE представляет собой концентрацию носителей заряда, обладающих энергией, заключенной внутри этого промежутка. Например, концентрация электронов n, энергия которых заключена в интервале от E1 до E2, определяется выражением

E1

где f (E, T) — некоторая функция распределения. Характер распределения подвижных носителей заря-

да по энергиям в полупроводниках описывается квантовомеханической функцией Ферми — Дирака

В некоторых частных случаях функция Ферми — Дирака преобразуется к классической функции распределения Максвелла — Больцмана, записываемой в виде

где C — некоторая величина, постоянная для определенного полупроводника и фиксированной температуры.

Рассмотрим характер заполнения электронами энергетических состояний в зависимости от температуры. При T = 0 К электроны находятся в самых низких энергетических состояниях и заполняют их, подчиняясь только ограничениям, налагаемым принципом Паули. В результате все квантовые состояния с энергиями ниже некоторого определенного значения оказываются занятыми, тогда как состояния с более высокими энергиями остаются свободными. При T ≠ 0 К электроны в результате теплового возбуждения переходят в более высокие энергетические

состояния. Концентрация таких электронов увеличивается с возрастанием произведения kT, которое соответствует средней тепловой энергии одномерного осциллятора при температуре T. Поэтому электроны, энергетические уровни которых при T = 0 К расположены примерно на kT ниже ближайших свободных состояний, в результате теплового возбуждения могут перейти в эти более высокие энергетические состояния. Для электронов, энергии которых намного отличаются от энергий свободных состояний, вероятность такого возбуждения мала. Это приводит к тому, что при повышенных температурах резкая граница между занятыми и незанятыми состояниями размывается в некоторую переходную область шириной 2kT. Такое распределение электронов описывается функцией распределения Ферми — Дирака, определяющей вероятность заполнения электроном состояния с энергией E в условиях термодинамического равновесия. Иначе говоря, функция f (E, T) представляет собой среднее значение доли всех состояний с энергией E, которые оказываются занятыми электронами.

Как видно из соотношения (1.10), значение этой величины может изменяться только в пределах от нуля до единицы. Параметр EF функции распределения Ферми — Дирака называется уровнем Ферми, который является характеристической величиной систем электронов или дырок и для каждого полупроводника с заданной совокупностью физических свойств имеет вполне определенное значение. Из выражения (1.10) непосредственно следует также, что при E= Ev функция распределения f= 1/2. Это означает, что уровень Ферми соответствует энергии такого квантового состояния, вероятность заполнения которого равна 1/2.

На рисунке 1.6 изображены функции распределения Ферми — Дирака (а) и Максвелла — Больцмана (б). Функция Максвелла — Больцмана принимает особенно большие значения при малых энергиях. На распределение, описываемое функцией Ферми — Дирака, влияют ограничения, налагаемые принципом Паули.

Действительно, при T = 0 К значение функции Ферми — Дирака равно единице вплоть до энергии E = EF, по-

водника. Так как p = Nv при EF = Ev, то отсюда следует, что величина Nv представляет собой максимально возможную концентрацию подвижных дырок в валентной зоне невырожденного полупроводника.

Эффективные плотности квантовых состояний в зоне проводимости и в валентной зоне полупроводника равны, если равны эффективные массы электронов и дырок в соответствующих разрешенных энергетических зонах. Полагая, в частности, mn = mp = m0, где m0 — масса покоя свободного электрона, находим

Для кремния эффективные массы электрона и дырки равны mn = 0,26m0 и mp = 0,49m0, поэтому эффективные плотности квантовых состояний в зоне проводимости и в валентной зоне выражаются следующим образом:

Из соотношений (1.19) и (1.25) можно определить положение уровня Ферми в беспримесном, или собственном, полупроводнике. Так как в таком полупроводнике концентрации электронов и дырок равны, т. е. n = p = ni, где ni — концентрация любого типа подвижных носителей заряда, то

Подставляя в (1.30) значения эффективных плотностей квантовых состояний Nc и Nv, получаем

Таким образом, в собственном полупроводнике уровень Ферми располагается вблизи середины запрещенной зоны, причем его смещение в ту или иную сторону зависит от отношения эффективных масс электронов и дырок.

Вчастности, для кремния EF = 0,5 (Eс – Ev) + 0,476kT, т. е. уровень Ферми несколько смещен вверх от середины запрещенной зоны, и, следовательно, собственный кремний имеет слабо выраженную электропроводность n-типа.

Вусловиях термодинамического равновесия в любом невырожденном полупроводнике концентрации подвижных электронов и дырок зависят только от температуры.

Всобственном полупроводнике подвижные носители заряда возникают в результате разрыва валентных связей между атомами исходного материала, т. е. в результате переброса валентных электронов в зону проводимости, а в примесном полупроводнике — главным образом за счет ионизации примесных донорных и акцепторных атомов.

Если концентрации примесных атомов превышают концентрацию собственных носителей заряда при некоторой температуре T, то тип электропроводности полупроводника определяется видом введенных примесных атомов, а поставляемые ими носители заряда называются основными. Однако одновременно с процессом ионизации примесных атомов в полупроводнике всегда происходит также возбуждение валентных электронов, что приводит

кпоявлению небольшой дополнительной концентрации электронно-дырочных пар. Таким образом, в полупроводнике данного типа электропроводности всегда имеется определенная концентрация носителей заряда противоположного типа, которые называются неосновными.

При изменении концентрации примесных атомов или температуры изменяется положение уровня Ферми. Для известного положения уровня Ферми произведение концентраций электронов и дырок, одновременно содержащихся в полупроводнике,

где E = Ec – Ev — ширина запрещенной зоны.

Как видно из соотношения (1.32), произведение np не зависит от положения уровня Ферми, а определяется только шириной запрещенной зоны и температурой. Поскольку ранее на полупроводник не накладывались

никаких ограничений, полученное соотношение следует считать справедливым также для собственного полупроводника. Поэтому можно записать, что

где ni — собственная концентрация электронов, равная собственной концентрации дырок pi.

Соотношение (1.33) представляет собой математическое выражение закона действующих масс для невырожденных полупроводников. Из этого закона следует важный вывод о том, что произведение концентраций основных и неосновных носителей заряда в невырожденном полупроводнике является постоянной величиной, которая не зависит от концентрации введенных примесных атомов и равна квадрату концентрации собственных носителей заряда при той же температуре.

В качестве примера вычислим концентрацию собственных носителей заряда в кремнии при температуре Т = 300 К. Подставляя в (1.32) значения эффективных плотностей квантовых состояний Nc и Nv, определяемые соотношениями (1.28), (1.29), и учитывая, что для кремния E = 1,123 эВ, получаем ni = pi = 1,25 1010 см–3.

Пользуясь статистикой, можно также вычислить концентрацию подвижных носителей заряда в вырожденном полупроводнике. Рассмотрим в качестве примера вырожденный полупроводник n-типа, т. е. будем считать, что уровень Ферми в нем располагается выше дна зоны проводимости Ec. Такое положение уровень Ферми может занимать при низкой температуре или при высокой концентрации примесных атомов и температурах, близких к комнатной (T = 300 К). На рисунке 1.8 изображен вид зависимости плотности квантовых состояний в зоне проводимости (а), функция распределения Ферми — Дирака (б) и концентрации электронов в зоне проводимости (в) от энергии.

Из рисунка видно, что в случае сильного вырождения выражение (1.9) в пределах от E1 = Ec до E2 = EF небольшим размытием функции распределения можно пренебречь и пользоваться приближением f(E) ≈ 1. Концентрация

Рис. 1.8

Зависимостиплотностиквантовых в состояний (а), функции распределения (б) и концентрации электронов в зоне проводимости (в) от энергии для сильно вырожденно-

го полупроводника n-типа

электронов в зоне проводимости численно равна площади заштрихованной области на рисунке 1.8.

EF

n = ∫ N(E)f(E)dE =

Ec

E

= 4π (2mn )3/2 ∫F (E − Ec )1/2 d(E − Ec ) = (1.34) h3

Ec

= 38hπ3 [2mn (EF − Ec )]3/2 .

Подставляя в (1.34) числовые значения постоянных величин и считая, что для кремния mn = 0,26m0, получаем

h2 (3n)2/3

EF − Ec = Em = 8π = 8,15 10−17 n2/3 эВ. (1.35) 2mn

Как видно из (1.35), при сильном вырождении полупроводника заполнение электронами энергетических уровней в явном виде не зависит от температуры. Энергия Em равна максимальной энергии электронов в зоне проводимости вырожденного полупроводника при T = 0 К.

Переход системы электронов из невырожденного состояния в вырожденное может происходить при любой