2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже

Поверхностьюв геометрии называетсяграница, отделяющая геометрическое тело(цилиндр, конус, шар и т.д.)от внешнего пространства. На чертежах (эпюрах) изображают только точки и линии (прямые или кривые). Поэтому поверхность можно изобразить только тогда, когда она проецируется в линию или совокупность линий.

Поверхность может быть задана с помощью модели (обувная колодка, манекен и др.), с помощью уравнения, кинематически – как след движущейся в пространстве линии, и др. В начертательной геометрии принят кинематический способ образования поверхности. Можно сказать, что поверхность–это непрерывная совокупность последовательных положений движущейся в пространстве прямой или кривой линии. Линия, которая при своем движении образует поверхность, называетсяобразующей.

2.4.1.Задание поверхности с помощью определителя. Для того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещается в пространстве. Законы движения образующих могут задаваться различно:

1) Образующая движется, пересекая какую-либо неподвижную линию, которая называется направляющей.

2) Образующая движется, пересекая две или три направляющие линии.

3) Образующая движется параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизмаи др.

Образующая вместе с геометрическими фигурами, определяющими ее движение, а также закон ее движения составляют определительповерхности. Можно сказать, что определитель поверхности представляет собой совокупность независимых параметров, однозначно задающих поверхность.

Определитель состоит из двух частей:

1) Геометрическая часть– фигуры (точки, линии, поверхности) подвижные и неподвижные, с помощью которых образуется поверхность.

2) Алгоритмическая часть– правило движения (закон движения) образующей по отношению к неподвижным фигурам определителя.

В ряде случаев образующая при своем движении может деформироваться, что тоже оговаривается в алгоритмической части определителя. Основанием к составлению определителя является анализ способа образования поверхности и ее основных свойств. Каждая поверхность может быть задана разными определителями.

Для примера рассмотрим определитель произвольной цилиндрической поверхности (рис. 2.34). Запись определителя имеет вид:

Ф(l,a) - цилиндрическая поверхность

(геометрическая часть) (алгоритмическая часть)

Эта запись дается совместно с чертежом. В записи геометрической части буквойФобозначается поверхность, буквойl– образующая, буквойа- направляющая. Форма и положение в пространстве образующей и направляющей определяются по чертежу.

В записи алгоритми-ческой части дается название поверхности. Для поверх-ности с данным названием общеизвестно, какое движе-ние совершает l, образуя поверхностьФ. Но можно и подробно записать характер движения образующей. В нашем случае образующаяlдвижется параллельно самой себе и все время пересекает направляющуюа. Определитель вполне определяет поверхность, т.к. с его помощью можно построить ее проекции.

На рис. 2.35, азадан комплексный чертеж определителя цилиндрической поверхностиФ(l,a) и проекцияА₂точкиА, принадлежащей поверхности. Необходимо построить горизонтальную проекциюА₁точкиА.

Зная алгоритмическую часть определителя, выполним следующие построения (рис. 2.35, б):

1) Через А₂параллельноl₂проводими находим фронтальную проекциюВ₂точки пересеченияса₂ (этап 1). Этапы указаны стрелками.

2) С помощью линии проекционной связи на а₁находимВ₁(этап 2) .

3) Через точку В₁проводимпараллельноl₁ (этап 3).

4) На с помощью линии связи строимА₁ (этап 4).

2.4.2.Каркас поверхности. Если построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определителя способу, то получимкаркасилисетьповерхности (рис. 2.36).

Изображенный на рис. 2.36, акаркас называется однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Это дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий.

Можно представить себе и непрерывный каркас образующих. Непрерывный каркас – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия каркаса.

На одной и той же поверхности, в зависимости от определителя, можно представить себе и другие каркасы. Если в определителе цилиндрической поверхности образующую и направляющую поменять местами и считать, что кривая абудет образующей, которая движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющуюl, то получится другой однопараметрический каркас (рис. 2.36,б).

Если на поверхности построить два каркаса, то получится двупараметрический каркас (рис. 2.36, в). Через каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проходят две линии каркаса.

2.4.3.Задание поверхности, не имеющей определителя. Существуют незакономерные поверхности, к которым относятся манекен, обувная колодка, кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. Такие поверхности называютсяграфическимии задаются дискретным каркасом. Чаще всего линии этого каркаса представляют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. Если плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называются горизонтальными.

2.4.4.Очерк поверхности.Линия пересечения проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называется очерком поверхности. На рис. 2.37 показано проецирование сферыТна плоскостьП₁. Множество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтально–проецирующую цилиндрическую поверхностьФ. Линия пересеченияФиП₁представляет собой горизонтальный очерк поверхности – окружностьа₁.

Очерковой линией повер-хности называется линия, по которой огибающая проеци-рующая поверхность касается данной поверхности. В нашем случае очерковой линией будет большая окружность сферыа(экватор).

Изображения поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда наглядны. Более наглядны изображения поверхностей с помощью очерков. Очерк поверхности почти всегда включает в себя ее определитель. При построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определителя, а потом, пользуясь алгоритмом определителя, построить проекции точки.

На рис. 2.38, аповерхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38,бочерком. Горизонтальный очерк представляет собой линию, состоящую из отрезков прямых и кривых; фронтальный очерк представляет собой параллелограмм.

Образующие горизонтального очерка ии образующие фронтального очеркаине совпадают друг с другом. Из проекций очерка можно выделить геометрическую часть определителя, которая будет состоять из эллипсаи какой-нибудь образующей, например.

2.4.5.Проекции плоскостей. Плоскость можно рассматривать как частный случай поверхности. ПлоскостьΣможет быть образована за счет движения прямолинейной образующейlпараллельно самой себе, при этом образующая пересекает все точки направляющей прямойа(рис. 2.39). Определитель плоскости в этом случае имеет вид:Σ(а,l).

Из геометрии известно, что плоскости вполне определяются:

1) Тремя точками А,ВиС, не лежащими на одной прямой (рис.2.40,а).

2) Прямой аи точкойАвне её (рис. 2.40,б).

3) Двумя параллельными прямыми аиb(рис. 2.40,в).

4) Двумя пересекающимися прямыми аиb(рис. 2.40,г).

Задание плоскости пересекающимися прямыми аиb(рис. 2.40,г) можно рассматривать, как универсальный способ задания плоскости, так как все остальные можно привести к нему. Так, например, если плоскость задана тремя точкамиА,ВиС (рис. 2.40,а), то, соединяя точкиАсВиВсС, получаем пересекающиеся прямыеАВиВС.

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида:

1) плоскости общего положения– плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций;

2) плоскости проецирующие– плоскости, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций;

3) плоскости уровня– плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикулярные двум другим.

Рассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей.

Плоскости общего положения.На рис. 2.40 изображены плоскости общего положения. Для этих плоскостей характерно, что задающие их элементы (точки, прямые и др.) ни на одной проекции не сливаются в прямую линию, т.е. не лежат на одной прямой.

На рис. 2.41 задана плоскость Σ() и одна проекцияА₂точкиА, принадлежащей плоскостиΣ. Будем считать, чтоа– направляющая, аb- образующая плоскостиΣ. Помня, что все образующие параллельны между собой и все пересекаются с направляющей, выполним следующие построения:

1) Через точку А₂проведем проекцию образующейm₂║b₂и построим точкуК₂пересеченияm₂са₂(этап 1).

2) На линии связи и на а₁находимК₁(этап 2).

3) Через К₁проводимm₁║b₁(этап 3).

4) С помощью линии связи на m₁находимА₁(этап 4).

В данном построении образующая m₁, лежащая в плоскостиΣ, строилась по точке и известному направлению. Однако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоваться не только образующей, лежащей в плоскости. На рис. 2.42 горизонтальная проекция точкиАпостроена с помощью произвольной прямой. При этом выполнены построения:

1) Через заданную проекциюА₂проводим произвольную прямуюm₂и, считая, чтоmлежит в плоскостиΣ(), отмечаем точки ее пересеченияК₂иМ₂са₂иb₂ (этап 1).

2) Строим К₁иМ₁наа₁иb₁с помощью линий связи (этап 2).

3) Соединим К₁иМ₁и получимm₁(этап 3).

4) На m₁с помощью линии связи находимА₁(этап 4).

Очевидно, для того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести прямую и затем на прямой взять точку.При этомпрямая расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Проецирующие плоскости. Различают три вида проецирующих плоскостей:

1. Горизонтально-проецирующие, перпендикулярныеП₁.

2. Фронтально-проецирующие, перпендикулярныеП₂.

3. Профильно-проецирующие, перпендикулярныеП₃.

При изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименная проекция такой плоскости всегда вырождается в прямую, как было показано ранее. Эта прямая называется главной проекциейилиследомпроецирующей плоскости; эту проекцию также называютвырожденной. Для того, чтобы отличать проецирующую плоскость от прямой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца.

На рис. 2.43, апоказано наглядное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскостиΣ(а║b) и ее главной проекцииΣ₁. Комплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43,б. На главную проекцию плоскости проецируются все точки, лежащие в плоскости.

Фронтально-проецирующая плоскость Т(сd) изображена на рис. 2.44,а, профильно-проецирующая плоскостьГ(еf) - на рис. 2.44,би профильно-проецирующая плоскостьР(а║b) - на рис. 2.44,в.

Благодаря проецирующему свойству проецирующие плоскости можно задавать одной своей главной проекцией (следом, вырожденнойпроекцией). На рис. 2.45 задана фронтально-проецирующая плоскостьΣ.

Из стереометрии известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Поэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую прямую. На рис. 2.43,бв плоскостиΣ(а║b) построена горизонтально-проецирующая прямаяс. На рис. 2.44,ав плоскостиТ(сd) построена фронтально-проецирующая прямаяf.

В плоскостях Г(еf) (рис. 2.44,б) иР(а║b) (рис. 2.44,в) есть прямые, перпендикулярныеП₃. Следовательно, эти плоскости являются профильно-проецирующими. Таким образом, профильно-проецирующие плоскости можно задавать только проекциями наП₁иП₂.

Вопрос о принадлежности точки и прямой к проецирующей плоскости решается проще, чем у плоскости общего положения. Проекция точки или прямой всегда находится в главной проекции плоскости, выродившейся в линию. Так, на рис.2.46,апоказаны проекции точкиА, а на рис. 2.46,б - прямойа, принадлежащих соответственно горизонтально- проецирующей плоскостиΣи фронтально-проецирующей плоскостиТ.

Плоскости уровня.Различают три вида плоскостей уровня:

1) Горизонтальнаяплоскость, параллельнаяП₁и перпендикулярнаяП₂иП₃.

2) Фронтальнаяплоскость, параллельнаяП₂и перпендикулярнаяП₁иП₃.

3) Профильнаяплоскость, параллельная П₃и перпендикулярнаяП₁иП₂.

Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими, т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Из проецирующего свойства вытекает, что плоскости уровня проецируются в линии, каждая на двух плоскостях проекций. На рис. 2.47 дано наглядное изображение горизонтальной плоскости уровняΣ. Характерной особенностью чертежей плоскостей уровня является параллельность главной (вырожденной) проекции плоскости одной из осей чертежа. На рис. 2.47Σ║П₁иΣП₂,ΣП₃. Докажем, чтоΣ₂║х₁₂.

Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересеченииП₂иП₁образуется осьх₁₂. При пересеченииП₂сΣ образуется ее главная проекцияΣ₂. Точно также доказывается, чтоΣ₃║у₃.

Горизонтальная плоскость Г(аb) представлена на рис. 2.48,а, фронтальная плоскостьТ(а║b) - на рис. 2.48,б, профильная плоскостьΩ(∆ АВС) - на рис. 2.48,в.

2.4.7. Примеры на инцидентность.Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости.

1) Через точку Апровести плоскость общего положенияΣ (аb), гдеа║П₁иb║П₂(рис. 2.49,а).

Решение:через точкуА(А₁,А₂) проводим проекции горизонталиа║П₁и фронталиb║П₂. Возможны и другие варианты. Так, через точкуАможно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точкуАпровести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости.

2) Заключить прямую а(а₁,а₂) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскостьΣ, задав ее своей главной проекциейΣ₁(рис. 2.49,б).

Решение:проводим главную проекциюΣ₁совпадающую с горизонтальной проекциейа₁.

3) Построить горизонтальную проекцию прямой bобщего положения, пересекающейся с прямойа, чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскостиТ(рис. 2.49,в).

Решение:проводим фронтальную проекцию прямойbтак, чтобыb₂не была параллельна или перпендикулярнах₁₂, а горизонтальная проекцияb₁совпадала са₁. Главная проекцияТ₁плоскостиТв этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямыхаиb.

4) Пересечь прямую апрямой частного положенияdтак, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскостьГ(рис. 2.49,г).

Решение:Прямуюав любом месте пересекаем горизонтально-проецирующей прямойd. Главная проекцияГ₁горизонтально-проецирующей плоскостиГсовпадает с горизонтальными проекциямиа₁иd₁прямых.

5) Заключить прямую ав профильно-проецирующую плоскостьΨ(рис. 2.50,а).

Решение:в простейшем случае пересекаем прямуюапрофильно- проецирующей прямойbП₃. Две пересекающиеся прямыеаиbобразуют профильно-проецирующую плоскостьΨ, т. к. если в плоскости имеется перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой.

6) Через точку Апровести горизонтально-проецирующую плоскостьΣ(рис.2.50,б).

Решение:через точкуА₁произвольно, но не перпендикулярно и не параллельнох₁₂проводим главную проекциюΣ₁ плоскости Σ.

7) Через точку Впровести горизонтальную плоскость уровняТ (рис. 2.50,в).

Решение:через точкуВ₂проводим главную проекциюТ₂плоскостиТпараллельнох₁₂.

2.4.8.Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точкуМнеобходимо провести прямуюdобщего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника -Σ (АВС) (рис. 2.51).

Решение: в плоскостиΣ(АВС) проводим произвольную прямую общего положенияED(E₁D₁, E₂D₂).Далее через точкуМ₁ проводим горизонтальную проекциюd₁║ E₁D₁и фронтальную проекциюd₂║E₂D₂прямойd.

Если через точку Кнеобходимо провести горизонтальbпараллельно плоскостиΣ (АВС),то построения следует выполнять в следующей последовательности:

1) Строим фронтальную проекцию A₂D₂горизонталиADпараллельно осих₁₂.

2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A₁D₁.

3) Через точки К₁иК₂проводим проекцииb₁║ A₁D₁иb₂ ║ A₂D₂ искомой горизонталиb. Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точкуА, в чем рекомендуем читателю убедиться.

2.4.9.Параллельные плоскости. Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии:«Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости».

Пусть требуется через точкуК(рис. 2.52) провести плоскостьΣ(аb) параллельно плоскостиТ(сd). Для решения задачи через точкуКпроводима║стак, чтобыа₁║с₁иа₂║с₂, иb║d, чтобыb₁║d₁иb₂║d₂.

На рис. 2.53 рассмотрена задача, когда требуется прямыеаиbзаключить в пару параллельных плоскостей. Условие задачи дано на рис. 2.53,а. Для решения ее возьмем на прямыхаиbпроизвольные точкиКиМ(рис. 2.53,б). Далее через точкуКпроводим прямуюс║b, а через точкуМпрямуюd║а. В результате получим параллельные плоскостиΣ(ас) иТ(bd), т. к. две пересекающиеся прямыеаисплоскостиΣсоответственно параллельны двум пересекающимся прямымbиdплоскостиТ.

2.4.10.Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций. Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекцийП₂наП₄.

Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд преобразований плоскости имеет вид: плоскость общего положения → плоскость проецирующая → плоскость уровня.

Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ(АВС) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования.

Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого:

1) В плоскости Σ(АВС) строим горизонтальАЕ(А₂Е₂,А₁Е₁).

2) Ставим АЕв проецирующее положение, заменивП₂наП₄ , причемх₁₄А₁Е₁.

3) Проецируем треугольник на новую плоскость П₄. При этом в системеП₁–П₄треугольникАВС- проецирующий. Его новая фронтальная проекцияА₄В₄С₄представляет собой прямую.

Выполним второе преобразование. В системе П₁–П₄(рис. 2.53)Σ(ABC) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случаеΣ(АВС)П₄. Поэтому, если заменитьП₁наП₅, поставивП₅║Σ(АВС), то в системеП₄–П₅ плоскостьΣ(АВС) станет плоскостью уровня.

Произведем построения. Для этого:

1. Проведем ось х₄₅║Σ₄.

2) В системе П₄–П₅строим проекции точекА₅,В₅иС₅. Проекция треугольникаА₅В₅С₅представляет его натуральную величину, т. к. плоскостьΣ(АВС) ║П₅. При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая.

2.4.11.Классификация поверхностей. Произведем классификацию поверхностей по двум признакам:

По форме образующей:

1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности.

2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности.

По развертываемости поверхности на плоскость:

1) Развертываемые.

2) Неразвертываемые.

Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью.

Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая. Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называютсянеразвертываемыми.

Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью.

Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей.

2.4.12.Многогранные поверхности и многогранники.Принято считать, что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине).Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура –пирамида.

Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику.

Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность.

Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма.

Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности.

На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф(ABCD,S) в пространственном изображении с направляющим четырехугольникомABCDи вершинойS. На рис. 2.56,адан определитель поверхности. На рис. 2.56,бпостроен каркас поверхности.

+

На рис. 2.57, апоказана призматическая поверхностьФ(АВС,l) в пространственном изображении с направляющим треугольникомАВСи образующейl; на рис. 2.57,бпоказана призма.

Определителем пирамиды может быть ее основание и вершина. Определителем призмы – ее основание и одно боковое ребро или одна вершина другого основания.

При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями.

Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды.

Прямая трехгранная правильная призма.На рис. 2.58,адано графическое задание призмыФ(АВС,) своим определителем. Для того, чтобы получить комплексный чертеж призмы (рис. 2.58,б), необходимо достроить два горизонтально–проецирующих ребраВиСи три горизонтальных ребра верхнего основания,и.

Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы.

Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АСи- профильно–проецирующие прямые.

Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань - фронтальная плоскость. Основания – горизонтальные плоскости. На горизонтальной проекции оба основания и их ребра проецируются в натуральную величину. На фронтальной проекции боковые ребра и задняя фронтальная граньпроецируются в натуральную величину.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К₂точкиК. НайтиК₁, считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58,б).

На фронтальной проекции видны грани и, граньне видна. Поэтому считаем, что точкаКлежит на видимой грани, и ее горизонтальная проекцияК₁попадает на вырожденную проекцию грани (проецирующий след грани).

Пусть задана проекция М₁точкиМ. НайтиМ₂, считая, что точка лежит на видимом основании призмы.

(A₁)≡

(C₁)≡

B₁≡

(A₁)≡

На горизонтальной проекции видно верхнее основание призмы , а нижнее основание не видно. Поэтому фронтальная проекцияМ₂ точки будет лежать на фронтальной проекции верхнего основания, слившегося в линию.

Правильная трехгранная пирамида. Определителем пирамидыФ(АВС,S) служат её основание и вершина (рис. 2.59,а). Соединив вершинуSс вершинами основания, получим полный каркас пирамиды. Комплексный чертеж пирамиды, заданный своим каркасом, приведен на рис. 2.59,б.

Проведем анализ элементов боковой поверхности пирамиды. В данной пирамиде все боковые ребра являются прямыми общего положения и проецируются в отрезки, меньшие их натуральных величин.

Боковые грани ASBиBSCявляются плоскостями общего положения, а граньASC– профильно-проецирующей плоскостью, так как она содержит профильно-проецирующее реброАС.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть задана проекция К₂точкиК. НайтиК₁(рис. 2.59,б). ТочкаКлежит на видимой граниBSC. Горизонтальную проекцию находим, например, с помощью прямой общего положения, проходящей через точку К и вершинуS(построения1,2,3и4). Самостоятельно постройте проекциюК₁на рис. 2.59,а, где каркас пирамиды еще не построен.

Пусть задана проекция М₂точкиМ, построитьМ₁. На фронтальной проекции видны граниASBиBSC, а граньASCне видна. ТочкаМдолжна лежать на видимой граниASB.

ПроекциюМ₁находим с помощью горизонтали, лежащей в плоскости граниASB(построения5,6,7и8). Фронтальная проекция горизонтали проведена черезМ₂параллельно осих₁₂до пересечения сА₂S₂в точкеD₂(построение5). С помощью линии связи наA₁S₁находим точкуD₁(построение6). Проводим горизонтальную проекцию горизонтали параллельно ребруАВ, которое также является горизонталью. Известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны (построение7). ПроекциюМ₁с помощью линии связи находим на построенной проекции горизонтали (построение8).

2.4.13.Поверхности вращения.В соответствии с принятым в начертательной геометрии кинематическим способом образования поверхности,поверхность вращения образуется вращением прямолинейной или криволинейной образующей линии вокруг некоторой оси, как след движущейся линии.

Поверхность вращения может быть задана определителем Ф (i, l), гдеi– ось вращения,l– образующая (рис.2.60). Тогда при вращения образующейlвокруг осиiполучим следующие поверхности: сферическую (рис.2.60,а); коническую (рис.2.60,б); цилиндрическую (рис.2.60,в); торовую (открытую) (рис.2.60,г); торовую (закрытую) (рис.2.60,д).

При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращении точки вокруг оси имеем пять элементов процесса вращения (рис.2.61):

1) вращающаяся точкаА;

2) ось вращенияi;

3) плоскость вращенияТ(проходит через точкуАперпендикулярно оси вращенияi);

4)центр вращенияО(точка пересечения плоскостиТс осьюi);

5) радиус вращенияR=OA(отрезок, соедияющий центрОс точкойА).

Вращаясь вокруг осиi, точкаАописывает окружность, которая полностью лежит в плоскости вращенияТ. Враща-ющаяся точкаАи ось вращенияiвсегда известны, либо ими задаются.

Пусть требуется повернуть точку Авокруг осиiна120⁰против часовой стрелки (рис. 2.62).

Из пяти элементов процесса вращения точка Аи осьi (i  П₁) заданы. Строим третий элемент – плоскость вращенияТ. Плоскость вращенияТвсегда перпендикулярна осиi, следовательноТ||П₁ и ТП₂.

Плоскость Т– горизонтальная уровня, поэтому ее фронтальная проекцияТ₂, сливаясь в линию (проецирующий след плоскости), проходит через проекциюА₂.

Находим четвертый элемент процесса вращения – центр вращения - точку О. Фронтальная проекция центра вращенияО₂находится на пересеченииi₂сТ₂, а горизонтальнаяО₁совпадает сi₁.

Пятый элемент процесса вращения – радиус R=OA. Так как фронтальная проекцияО₂А₂||x₁₂, то отрезокR=OA, являясь горизонталью, имеет горизонтальную проекцию О₁А₁, равную натуральной величине радиуса вращения (O₁A₁=R).

Окружность вращения расположена в плоскости Ти наП₁проецируется без искажения. Поэтому проводим окружность радиусомR=O₁A₁с центром в точкеО₁. После поворотаА₁по окружности на120⁰против часовой стрелки получаем горизонтальную проекцию точкиАв новом положении. Фронтальная проекция повернутой точки находится на пересечении линии связи, проводимой через, и следаТ₂плоскостиТ.

Элементы поверхностей вращения. Рассмотрим основные элементы поверхностей вращения, необходимые при построении проекций тел вращения. Введем понятие тела вращения.

Тело вращения– геометрическая объемная фигура, ограниченная поверхностью вращения. Помимо поверхности вращения тело вращения может иметь одно или два основания.

Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности, которая называется параллелью (рис. 2.63). Окружности вращения точек, принадлежащих поверхности, являются параллелями. Самая большая параллель называетсяэкватором, самая маленькая –горлом.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называетсямеридианальной. Она пересекает поверхность по линии (кривой или прямой), которая называетсямеридианом. Можно сказать, что поверхность вращения образуется при вращении меридиана вокруг оси.

Рассмотрим построение проек-ций наиболее распространенных тел вращения (конуса, цилиндра, сферы, тора).

Конус вращения. Имеет определитель видаФ(i, l), гдеi– ось вращения,l– образующая. Фронтальная проекция конуса вращения является его фронтальным очерком (рис. 2.64), который представляет из себя проекцииS₂A₂иS₂C₂образующей в крайних левом и правом положениях относительно наблюдателя. При этом часть поверхностиABCS, обращенная к

наблюдателю, видна, а часть поверхностиADCSне видна. Плоскость основания конуса параллельнаП₁. Поэтому фронтальная проекция основания есть прямаяA₂C₂, параллельная осих₁₂(осьх₁₂не показана).

На горизонтальной проекции видна вся боковая поверхность конуса вращения.

Пусть требуется построить недостающие проекции точек МиК, расположенных на поверхности конуса вращения, определитель которого (l, i)(рис.2.65,а); требуется также построить фронтальный и горизонтальный очерки конуса.

Для решения задачи через М₂проводим главную проекцию плоскости вращения так, что  i₂(рис.2.65,б). СтроимО₂= i₂иN₂=l₂. По линии проекционной связи находимО₁ i₁иN₁l₁. Очевидно, радиус вращенияRточкиNравенО₁N₁. Радиусом вращенияR=O₁N₁с центром в точкеО₁строим горизонтальную проекцию окружности вращения точкиN. Фронтальная проекция окружности вращения проецируется в виде отрезка, совпадающего с , гдеи- соответственно фронтальные проекции точкиNв крайнем левом и крайнем правом положениях относительно наблюдателя.

Фронтальные очерковые образующие конуса проходят через точки ,S₂и,S₂.

Для нахождения М₁черезМ₂проводим линию проекционной связи до пересечения с построенной окружностью. Далее находимК₂. Для этого черезК₁проводим параллель радиусомR=O₁K₁, отмечаем крайнее правое (можно крайнее левое) положениеи по линии проекционной связи в точке пересечения с фронтальной очерковой образующей, проходящей через точкиS₂и, находим. Проекциярасположена на главной проекцииТ₂плоскости вращения точкиК. На фронтальной проекции окружности вращенияпо линии проекционной связи находимК₂. ПроекцияК₂не видна.

Очерк поверхности конуса содержит не только проекции очерковых образующих, но и проекции основания. Поэтому, обозначая некоторую точку Ана образующейlи используя рассмотренный прием введения плоскости вращенияРточкиА, имеем фронтальный очерк конуса в виде треугольникаи горизонтальный очерк в виде окружности радиусаR=O₁A₁.

Линию на поверхности строят по точкам, задаваясь крайними точками на границе видимости (при наличии таковых), ближайшими к оси вращения и промежуточными. Следует иметь в виду, что очерковые образующие являются границей видимости. Общее количество выбранных на кривой линии точек должно быть не менее 4-6. Аналогичный подход сохраняется и для других поверхностей вращения, рассматриваемых ниже.

Цилиндр вращения.Имеет определительФ(l, i), гдеl– образующая прямая линия,i– ось вращения. Боковая поверхность такого цилиндра горизонтально–проецирующая, т.к. все его образующие перпендикулярныП₁и, перемещаясь в пространстве, пересекают все точки окружности основания (рис.2.66).

Проекции образующих ивместе с проекциями верхнегои нижнегоA₂B₂C₂D₂оснований являются фронтальным очерком цилиндра. На фронтальной проекции видна часть поверхностии не видна. На горизонтальной проекции боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Верхнее основаниевидно на горизонтальной проекции, нижнееABCDне видно. Построение проекций точекМиNи их видимость показаны на рис.2.66.

Сфера.Имея определитель видаФ(m, i), поверхность сферы образуется вращением полуокружности (меридиана)mвокруг осиi, проходящей через её центр и лежащей в плоскости этой полуокружности (рис. 2.67).

M₁

M₂

Каждая точка образующейm, в том числе и крайняя правая точкаМ, при вращении вокруг осиiописывают окружности. Наибольшую окружностьЭ(экватор) описывает точкаМ; горизонтальная проекция экватораЭ₁есть его натуральная величина и являетсягоризонтальным очерком сферы(рис. 2.68).

Две другие проекции экватора проецируются в отрезки прямых

Э₂ || х₁₂иЭ₃ || у₃. При рассечении сферы фронтальной плоскостью уровня, проходящей через центр сферыОи ее осьi, поверхность рассекается по окружностиN. Горизонтальная проекцияN₁этой окружности есть отрезок прямой, равный диаметру сферы. Фронтальная проекцияN₂есть натуральная величина окружности и являетсяфронтальным очерком сферы. Профильная проекцияN₃также представляет из себя отрезок прямой, равный диаметру сферы.

Если рассечь сферу профильной плоскостью уровня Т, проходящей через центрОи осьi, то поверхность сферы также рассечется по окружностиL. ФронтальнаяL₂и горизонтальнаяL₁проекции ее являются отрезками прямых, равными диаметру сферы. Профильная проекцияL₃есть натуральная величина окружности и являетсяпрофильным очерком сферы.

На рис. 2.68 показаны проекции точек К,ЕиF, расположенных на соответствующих очерковых окружностяхЭ,NиL. Все проекции точек видимые, поскольку на горизонтальной проекции видно верхнее полушарие,

ограниченное экватором Э(нижнее не видно), на фронтальной проекции видно переднее полушарие, ограниченное проекцией окружностиNфронтального очерка (задняя часть не видна) и на профильной проекции видно левое полушарие, ограниченное проекцией окружностиLпрофильного очерка.

Для нахождения проекций G₁иG₃точкиG, заданной на сфере проекциейG₂, через точкуGпроводим горизонтальную уровня плоскостьР, которая рассекает сферу по параллели. На горизонтальной проекции радиусом этой параллели в зоне расположения точкиGпроводим дугу окружности и на пересечении её с линией проекционной связи, проведенной из точкиG₂, находимG₁. ПроекцияG₃расположена на линии проекционной связи, проведенной из точкиG₂, на расстоянииуотi₃. ПроекцииG₁иG₃не видны.

Если задана G₁и необходимо найтиG₂иG₃, то построения проводят в обратном порядке.

Тор. Имеет определитель видаФ (а, i), гдеа– окружность или часть ее,i– ось вращения. Поверхность тора образуется вращением окружностиа или части ее вокруг осиi, лежащей в плоскости окружности или ее дуги и не проходящей через центрО (рис. 2.69).

В зависимости от расположения оси iотносительно образующейаимеем различные разновидности поверхностей торов. Если осьiлежит вне окружности (рис. 2.69,а), то образуетсяоткрытая торовая поверхность, похожая на поверхность баранки. Если осьiпересекается с дугой окружности или её продолжением, то может получится вогнутая (рис. 2.69,б) или выпуклая (рис. 2.69,в)закрытая торовая поверхность.

Пусть требуется найти горизонтальную проекцию К₁точкиК, расположенной на поверхности тора, заданного фронтальным и горизонтальным очерками (рис. 2.70). Тогда через точкуКпроводим плоскость вращения i, которая рассекает поверхности по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок прямойА₂В₂. РадиусомR=О₂А₂=О₂В₂строим горизонтальную проекцию параллели – окружность, на пересечении с которой линии проекционной связи, проведенной из точкиК₂, находим проекциюК₁. ПроекцияК₁видимая, т.к. лежит на верхней половине тора выше экватора.

Если задана проекция К₁, и надо найти проекциюК₂ , то построение выполняем в обратном порядке.