Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Никифоров_учебное пособие.doc
Скачиваний:
254
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
18.76 Mб
Скачать

2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже

Поверхностьюв геометрии называетсяграница, отделяющая геометрическое тело(цилиндр, конус, шар и т.д.)от внешнего пространства. На чертежах (эпюрах) изображают только точки и линии (прямые или кривые). Поэтому поверхность можно изобразить только тогда, когда она проецируется в линию или совокупность линий.

Поверхность может быть задана с помощью модели (обувная колодка, манекен и др.), с помощью уравнения, кинематически – как след движущейся в пространстве линии, и др. В начертательной геометрии принят кинематический способ образования поверхности. Можно сказать, что поверхностьэто непрерывная совокупность последовательных положений движущейся в пространстве прямой или кривой линии. Линия, которая при своем движении образует поверхность, называетсяобразующей.

2.4.1.Задание поверхности с помощью определителя. Для того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещается в пространстве. Законы движения образующих могут задаваться различно:

1) Образующая движется, пересекая какую-либо неподвижную линию, которая называется направляющей.

2) Образующая движется, пересекая две или три направляющие линии.

3) Образующая движется параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, которая называется плоскостью параллелизмаи др.

Образующая вместе с геометрическими фигурами, определяющими ее движение, а также закон ее движения составляют определительповерхности. Можно сказать, что определитель поверхности представляет собой совокупность независимых параметров, однозначно задающих поверхность.

Определитель состоит из двух частей:

1) Геометрическая часть– фигуры (точки, линии, поверхности) подвижные и неподвижные, с помощью которых образуется поверхность.

2) Алгоритмическая часть– правило движения (закон движения) образующей по отношению к неподвижным фигурам определителя.

В ряде случаев образующая при своем движении может деформироваться, что тоже оговаривается в алгоритмической части определителя. Основанием к составлению определителя является анализ способа образования поверхности и ее основных свойств. Каждая поверхность может быть задана разными определителями.

Для примера рассмотрим определитель произвольной цилиндрической поверхности (рис. 2.34). Запись определителя имеет вид:

Ф(l,a) - цилиндрическая поверхность

(геометрическая часть) (алгоритмическая часть)

Эта запись дается совместно с чертежом. В записи геометрической части буквойФобозначается поверхность, буквойl– образующая, буквойа- направляющая. Форма и положение в пространстве образующей и направляющей определяются по чертежу.

В записи алгоритми-ческой части дается название поверхности. Для поверх-ности с данным названием общеизвестно, какое движе-ние совершает l, образуя поверхностьФ. Но можно и подробно записать характер движения образующей. В нашем случае образующаяlдвижется параллельно самой себе и все время пересекает направляющуюа. Определитель вполне определяет поверхность, т.к. с его помощью можно построить ее проекции.

На рис. 2.35, азадан комплексный чертеж определителя цилиндрической поверхностиФ(l,a) и проекцияА2точкиА, принадлежащей поверхности. Необходимо построить горизонтальную проекциюА1точкиА.

Зная алгоритмическую часть определителя, выполним следующие построения (рис. 2.35, б):

1) Через А2параллельноl2проводими находим фронтальную проекциюВ2точки пересеченияса2 (этап 1). Этапы указаны стрелками.

2) С помощью линии проекционной связи на а1находимВ1(этап 2) .

3) Через точку В1проводимпараллельноl1 (этап 3).

4) На с помощью линии связи строимА1 (этап 4).

2.4.2.Каркас поверхности. Если построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определителя способу, то получимкаркасилисетьповерхности (рис. 2.36).

Изображенный на рис. 2.36, акаркас называется однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Это дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий.

Можно представить себе и непрерывный каркас образующих. Непрерывный каркас – это множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия каркаса.

На одной и той же поверхности, в зависимости от определителя, можно представить себе и другие каркасы. Если в определителе цилиндрической поверхности образующую и направляющую поменять местами и считать, что кривая абудет образующей, которая движется параллельно самой себе и все время пересекает направляющуюl, то получится другой однопараметрический каркас (рис. 2.36,б).

Если на поверхности построить два каркаса, то получится двупараметрический каркас (рис. 2.36, в). Через каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проходят две линии каркаса.

2.4.3.Задание поверхности, не имеющей определителя. Существуют незакономерные поверхности, к которым относятся манекен, обувная колодка, кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. Такие поверхности называютсяграфическимии задаются дискретным каркасом. Чаще всего линии этого каркаса представляют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. Если плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называются горизонтальными.

2.4.4.Очерк поверхности.Линия пересечения проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называется очерком поверхности. На рис. 2.37 показано проецирование сферыТна плоскостьП1. Множество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтально–проецирующую цилиндрическую поверхностьФ. Линия пересеченияФиП1представляет собой горизонтальный очерк поверхности – окружностьа1.

Очерковой линией повер-хности называется линия, по которой огибающая проеци-рующая поверхность касается данной поверхности. В нашем случае очерковой линией будет большая окружность сферыа(экватор).

Изображения поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда наглядны. Более наглядны изображения поверхностей с помощью очерков. Очерк поверхности почти всегда включает в себя ее определитель. При построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определителя, а потом, пользуясь алгоритмом определителя, построить проекции точки.

На рис. 2.38, аповерхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38,бочерком. Горизонтальный очерк представляет собой линию, состоящую из отрезков прямых и кривых; фронтальный очерк представляет собой параллелограмм.

Образующие горизонтального очерка ии образующие фронтального очеркаине совпадают друг с другом. Из проекций очерка можно выделить геометрическую часть определителя, которая будет состоять из эллипсаи какой-нибудь образующей, например.

2.4.5.Проекции плоскостей. Плоскость можно рассматривать как частный случай поверхности. ПлоскостьΣможет быть образована за счет движения прямолинейной образующейlпараллельно самой себе, при этом образующая пересекает все точки направляющей прямойа(рис. 2.39). Определитель плоскости в этом случае имеет вид:Σ(а,l).

Из геометрии известно, что плоскости вполне определяются:

1) Тремя точками А,ВиС, не лежащими на одной прямой (рис.2.40,а).

2) Прямой аи точкойАвне её (рис. 2.40,б).

3) Двумя параллельными прямыми аиb(рис. 2.40,в).

4) Двумя пересекающимися прямыми аиb(рис. 2.40,г).

Задание плоскости пересекающимися прямыми аиb(рис. 2.40,г) можно рассматривать, как универсальный способ задания плоскости, так как все остальные можно привести к нему. Так, например, если плоскость задана тремя точкамиА,ВиС (рис. 2.40,а), то, соединяя точкиАсВиВсС, получаем пересекающиеся прямыеАВиВС.

2.4.6. Виды плоскостей по их расположению в пространстве. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида:

1) плоскости общего положения– плоскости, не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций;

2) плоскости проецирующие– плоскости, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций;

3) плоскости уровня– плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикулярные двум другим.

Рассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей.

Плоскости общего положения.На рис. 2.40 изображены плоскости общего положения. Для этих плоскостей характерно, что задающие их элементы (точки, прямые и др.) ни на одной проекции не сливаются в прямую линию, т.е. не лежат на одной прямой.

На рис. 2.41 задана плоскость Σ() и одна проекцияА2точкиА, принадлежащей плоскостиΣ. Будем считать, чтоа– направляющая, аb- образующая плоскостиΣ. Помня, что все образующие параллельны между собой и все пересекаются с направляющей, выполним следующие построения:

1) Через точку А2проведем проекцию образующейm2b2и построим точкуК2пересеченияm2са2(этап 1).

2) На линии связи и на а1находимК1(этап 2).

3) Через К1проводимm1b1(этап 3).

4) С помощью линии связи на m1находимА1(этап 4).

В данном построении образующая m1, лежащая в плоскостиΣ, строилась по точке и известному направлению. Однако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоваться не только образующей, лежащей в плоскости. На рис. 2.42 горизонтальная проекция точкиАпостроена с помощью произвольной прямой. При этом выполнены построения:

1) Через заданную проекциюА2проводим произвольную прямуюm2и, считая, чтоmлежит в плоскостиΣ(), отмечаем точки ее пересеченияК2иМ2са2иb2 (этап 1).

2) Строим К1иМ1наа1иb1с помощью линий связи (этап 2).

3) Соединим К1иМ1и получимm1(этап 3).

4) На m1с помощью линии связи находимА1(этап 4).

Очевидно, для того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести прямую и затем на прямой взять точку.При этомпрямая расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

Проецирующие плоскости. Различают три вида проецирующих плоскостей:

  1. Горизонтально-проецирующие, перпендикулярныеП1.

  2. Фронтально-проецирующие, перпендикулярныеП2.

  3. Профильно-проецирующие, перпендикулярныеП3.

При изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименная проекция такой плоскости всегда вырождается в прямую, как было показано ранее. Эта прямая называется главной проекциейилиследомпроецирующей плоскости; эту проекцию также называютвырожденной. Для того, чтобы отличать проецирующую плоскость от прямой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца.

На рис. 2.43, апоказано наглядное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскостиΣ(аb) и ее главной проекцииΣ1. Комплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43,б. На главную проекцию плоскости проецируются все точки, лежащие в плоскости.

Фронтально-проецирующая плоскость Т(сd) изображена на рис. 2.44,а, профильно-проецирующая плоскостьГ(еf) - на рис. 2.44,би профильно-проецирующая плоскостьР(аb) - на рис. 2.44,в.

Благодаря проецирующему свойству проецирующие плоскости можно задавать одной своей главной проекцией (следом, вырожденнойпроекцией). На рис. 2.45 задана фронтально-проецирующая плоскостьΣ.

Из стереометрии известно, что плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Поэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую прямую. На рис. 2.43,бв плоскостиΣ(аb) построена горизонтально-проецирующая прямаяс. На рис. 2.44,ав плоскостиТ(сd) построена фронтально-проецирующая прямаяf.

В плоскостях Г(еf) (рис. 2.44,б) иР(аb) (рис. 2.44,в) есть прямые, перпендикулярныеП3. Следовательно, эти плоскости являются профильно-проецирующими. Таким образом, профильно-проецирующие плоскости можно задавать только проекциями наП1иП2.

Вопрос о принадлежности точки и прямой к проецирующей плоскости решается проще, чем у плоскости общего положения. Проекция точки или прямой всегда находится в главной проекции плоскости, выродившейся в линию. Так, на рис.2.46,апоказаны проекции точкиА, а на рис. 2.46,б - прямойа, принадлежащих соответственно горизонтально- проецирующей плоскостиΣи фронтально-проецирующей плоскостиТ.

Плоскости уровня.Различают три вида плоскостей уровня:

1) Горизонтальнаяплоскость, параллельнаяП1и перпендикулярнаяП2иП3.

2) Фронтальнаяплоскость, параллельнаяП2и перпендикулярнаяП1иП3.

3) Профильнаяплоскость, параллельная П3и перпендикулярнаяП1иП2.

Плоскости уровня можно назвать дважды проецирующими, т. к. каждая из них перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Из проецирующего свойства вытекает, что плоскости уровня проецируются в линии, каждая на двух плоскостях проекций. На рис. 2.47 дано наглядное изображение горизонтальной плоскости уровняΣ. Характерной особенностью чертежей плоскостей уровня является параллельность главной (вырожденной) проекции плоскости одной из осей чертежа. На рис. 2.47ΣП1иΣП2,ΣП3. Докажем, чтоΣ2х12.

Известно, что если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, то образуются параллельные прямые. При пересеченииП2иП1образуется осьх12. При пересеченииП2сΣ образуется ее главная проекцияΣ2. Точно также доказывается, чтоΣ3у3.

Горизонтальная плоскость Г(аb) представлена на рис. 2.48,а, фронтальная плоскостьТ(аb) - на рис. 2.48,б, профильная плоскостьΩ(∆ АВС) - на рис. 2.48,в.

2.4.7. Примеры на инцидентность.Рассмотрим несколько задач на взаимную принадлежность точки и прямой плоскости.

1) Через точку Апровести плоскость общего положенияΣ (аb), гдеаП1иbП2(рис. 2.49,а).

Решение:через точкуА(А1,А2) проводим проекции горизонталиаП1и фронталиbП2. Возможны и другие варианты. Так, через точкуАможно провести горизонталь или фронталь и пересечь ее прямой общего положения. Можно также через точкуАпровести две прямые общего положения. Однако в этом случае необходимо осуществить проверку на отсутствие в полученной плоскости профильно-проецирующих прямых, наличие которых указывает на получение профильно-проецирующей плоскости.

2) Заключить прямую а(а1,а2) общего положения в горизонтально- проецирующую плоскостьΣ, задав ее своей главной проекциейΣ1(рис. 2.49,б).

Решение:проводим главную проекциюΣ1совпадающую с горизонтальной проекциейа1.

3) Построить горизонтальную проекцию прямой bобщего положения, пересекающейся с прямойа, чтобы обе прямые принадлежали горизонтально-проецирующей плоскостиТ(рис. 2.49,в).

Решение:проводим фронтальную проекцию прямойbтак, чтобыb2не была параллельна или перпендикулярнах12, а горизонтальная проекцияb1совпадала са1. Главная проекцияТ1плоскостиТв этом случае совпадает с горизонтальными проекциями пересекающихся прямыхаиb.

4) Пересечь прямую апрямой частного положенияdтак, чтобы обе прямые были заключены в горизонтально-проецирующую плоскостьГ(рис. 2.49,г).

Решение:Прямуюав любом месте пересекаем горизонтально-проецирующей прямойd. Главная проекцияГ1горизонтально-проецирующей плоскостиГсовпадает с горизонтальными проекциямиа1иd1прямых.

5) Заключить прямую ав профильно-проецирующую плоскостьΨ(рис. 2.50,а).

Решение:в простейшем случае пересекаем прямуюапрофильно- проецирующей прямойbП3. Две пересекающиеся прямыеаиbобразуют профильно-проецирующую плоскостьΨ, т. к. если в плоскости имеется перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны между собой.

6) Через точку Апровести горизонтально-проецирующую плоскостьΣ(рис.2.50,б).

Решение:через точкуА1произвольно, но не перпендикулярно и не параллельнох12проводим главную проекциюΣ1 плоскости Σ.

7) Через точку Впровести горизонтальную плоскость уровняТ (рис. 2.50,в).

Решение:через точкуВ2проводим главную проекциюТ2плоскостиТпараллельнох12.

2.4.8.Параллельность прямой и плоскости. Известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, расположенной в этой плоскости. Пусть, например, через точкуМнеобходимо провести прямуюdобщего положения параллельно плоскости, заданной в виде треугольника -Σ (АВС) (рис. 2.51).

Решение: в плоскостиΣ(АВС) проводим произвольную прямую общего положенияED(E1D1, E2D2).Далее через точкуМ1 проводим горизонтальную проекциюd1E1D1и фронтальную проекциюd2E2D2прямойd.

Если через точку Кнеобходимо провести горизонтальbпараллельно плоскостиΣ (АВС),то построения следует выполнять в следующей последовательности:

1) Строим фронтальную проекцию A2D2горизонталиADпараллельно осих12.

2) В проекционной связи находим горизонтальную проекцию A1D1.

3) Через точки К1иК2проводим проекцииb1A1D1иb2A2D2 искомой горизонталиb. Следует отметить, что вовсе не обязательно горизонталь проводить через точкуА, в чем рекомендуем читателю убедиться.

2.4.9.Параллельные плоскости. Для построения параллельных плоскостей используем признак их параллельности, известный из стереометрии:«Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости».

Пусть требуется через точкуК(рис. 2.52) провести плоскостьΣ(аb) параллельно плоскостиТ(сd). Для решения задачи через точкуКпроводимастак, чтобыа1с1иа2с2, иbd, чтобыb1d1иb2d2.

На рис. 2.53 рассмотрена задача, когда требуется прямыеаиbзаключить в пару параллельных плоскостей. Условие задачи дано на рис. 2.53,а. Для решения ее возьмем на прямыхаиbпроизвольные точкиКиМ(рис. 2.53,б). Далее через точкуКпроводим прямуюсb, а через точкуМпрямуюdа. В результате получим параллельные плоскостиΣ(ас) иТ(bd), т. к. две пересекающиеся прямыеаисплоскостиΣсоответственно параллельны двум пересекающимся прямымbиdплоскостиТ.

2.4.10.Построение проекций плоскости при замене плоскостей проекций. Для того, чтобы построить проекции плоскости при замене плоскости проекций, плоскость должна быть задана тремя точками. При построениях каждая точка, задающая плоскость, преобразуется подобно рассмотренному ранее при замене плоскостей проекций. На рис. 2.54 показано преобразование плоскости при произвольной замене плоскости проекцийП2наП4.

Самое сложное положение плоскости в пространстве – плоскость общего положения, более простое – проецирующая плоскость и самое простое - плоскость уровня. При решении задач плоскость обычно ставят из более сложного положения в более простое. Таким образом, ряд преобразований плоскости имеет вид: плоскость общего положения → плоскость проецирующая → плоскость уровня.

Сделаем первое преобра-зование. Пусть дана плоскость общего положения Σ(АВС) (рис. 2.55), и ее необходимо преобразовать во фронтально- проецирующую. В проецирующей плоскости всегда содержится проецирующая прямая. Любую прямую способом замены плоскостей проекций можно преобразовать в проецирующую: прямую общего положения - с помощью двух преобразований, прямую уровня – с помощью одного преобразования.

Для решения задачи выполним первое преобразование. Для этого:

1) В плоскости Σ(АВС) строим горизонтальАЕ(А2Е2,А1Е1).

2) Ставим АЕв проецирующее положение, заменивП2наП4 , причемх14А1Е1.

3) Проецируем треугольник на новую плоскость П4. При этом в системеП1П4треугольникАВС- проецирующий. Его новая фронтальная проекцияА4В4С4представляет собой прямую.

Выполним второе преобразование. В системе П1П4(рис. 2.53)Σ(ABC) - фронтально–проецирующая плоскость, и ее необходимо преобразовать в плоскость уровня. Любая плоскость уровня параллельна одной плоскости проекций и перпендикулярна двум другим. В данном случаеΣ(АВС)П4. Поэтому, если заменитьП1наП5, поставивП5Σ(АВС), то в системеП4П5 плоскостьΣ(АВС) станет плоскостью уровня.

Произведем построения. Для этого:

  1. Проведем ось х45Σ4.

2) В системе П4П5строим проекции точекА5,В5иС5. Проекция треугольникаА5В5С5представляет его натуральную величину, т. к. плоскостьΣ(АВС) ║П5. При преобразовании плоскости общего положения в положение уровня выполнено два последовательных преобразования. Сначала заменена одна плоскость проекций, затем другая.

2.4.11.Классификация поверхностей. Произведем классификацию поверхностей по двум признакам:

По форме образующей:

1) Прямолинейную образующую имеют плоскости, многогранные поверхности и линейчатые кривые поверхности.

2) Криволинейную образующую, неизменяемую и изменяемую, - все остальные кривые поверхности.

По развертываемости поверхности на плоскость:

1) Развертываемые.

2) Неразвертываемые.

Развертыванием называется такая изометрическая деформация поверхности, при которой она может быть совмещена с плоскостью.

Изометрическую деформацию поверхности называют изгибанием. При изгибании отрезки линий, расположенных на поверхности, не меняют своей длины. Если поверхность может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов, то она развертываемая. Большинство поверхностей не совмещаемы с плоскостью без складок и разрывов и называютсянеразвертываемыми.

Развертываемыми являются многогранные поверхности и часть линейчатых – цилиндрические, конические и торсовые. О развертываемости плоскости говорить не приходится – она может быть совмещена с любой плоскостью.

Рассмотрим особенности построения изображений отдельных видов поверхностей.

2.4.12.Многогранные поверхности и многогранники.Принято считать, что многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями (отсеками) пересекающихся плоскостей.

Поверхностью многогранного угла называется поверхность, ребра и грани которой пересекаются в одной точке (вершине).Если пересечь поверхность многогранного угла плоскостью, то образуется геометрическая фигура –пирамида.

Поверхность многогранного угла можно получить движением образующей прямой, которая все время проходит через вершину угла и в то же время скользит по направляющему многоугольнику.

Если вершину многогранного угла отнести в бесконечность, то ребра поверхности станут параллельными, и образуется призматическая поверхность.

Если ограничить призматическую поверхность двумя параллельными плоскими основаниями, то образуется геометрическая фигура – призма.

Определитель многогранной поверхности включает в себя направляющий многоугольник, вершину для многогранного угла и какое–либо ребро для призматической поверхности.

На рис. 2.56 показана поверхность многогранного угла Ф(ABCD,S) в пространственном изображении с направляющим четырехугольникомABCDи вершинойS. На рис. 2.56,адан определитель поверхности. На рис. 2.56,бпостроен каркас поверхности.

+

На рис. 2.57, апоказана призматическая поверхностьФ(АВС,l) в пространственном изображении с направляющим треугольникомАВСи образующейl; на рис. 2.57,бпоказана призма.

Определителем пирамиды может быть ее основание и вершина. Определителем призмы – ее основание и одно боковое ребро или одна вершина другого основания.

При изображении многогранников их стараются расположить так, чтобы на проекциях их ребра и грани проецировались по возможности без искажения или с наименьшими искажениями.

Из всего многообразия многогранных поверхностей в качестве примера рассмотрим последовательность построения лишь правильных трёхгранных прямой призмы и пирамиды.

Прямая трехгранная правильная призма.На рис. 2.58,адано графическое задание призмыФ(АВС,) своим определителем. Для того, чтобы получить комплексный чертеж призмы (рис. 2.58,б), необходимо достроить два горизонтально–проецирующих ребраВиСи три горизонтальных ребра верхнего основания,и.

Проведем анализ элементов боковой поверхности призмы.

Боковые ребра – горизонтально–проецирующие прямые. Ребра оснований – горизонтали, из них ребра АСи- профильно–проецирующие прямые.

Боковые грани – горизонтально–проецирующие плоскости, из них грань - фронтальная плоскость. Основания – горизонтальные плоскости. На горизонтальной проекции оба основания и их ребра проецируются в натуральную величину. На фронтальной проекции боковые ребра и задняя фронтальная граньпроецируются в натуральную величину.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть дана проекция К2точкиК. НайтиК1, считая, что точка лежит на видимой грани призмы (рис. 2.58,б).

На фронтальной проекции видны грани и, граньне видна. Поэтому считаем, что точкаКлежит на видимой грани, и ее горизонтальная проекцияК1попадает на вырожденную проекцию грани (проецирующий след грани).

Пусть задана проекция М1точкиМ. НайтиМ2, считая, что точка лежит на видимом основании призмы.

(A1)

(C1)

B1

(A1)

На горизонтальной проекции видно верхнее основание призмы , а нижнее основание не видно. Поэтому фронтальная проекцияМ2 точки будет лежать на фронтальной проекции верхнего основания, слившегося в линию.

Правильная трехгранная пирамида. Определителем пирамидыФ(АВС,S) служат её основание и вершина (рис. 2.59,а). Соединив вершинуSс вершинами основания, получим полный каркас пирамиды. Комплексный чертеж пирамиды, заданный своим каркасом, приведен на рис. 2.59,б.

Проведем анализ элементов боковой поверхности пирамиды. В данной пирамиде все боковые ребра являются прямыми общего положения и проецируются в отрезки, меньшие их натуральных величин.

Боковые грани ASBиBSCявляются плоскостями общего положения, а граньASC– профильно-проецирующей плоскостью, так как она содержит профильно-проецирующее реброАС.

Рассмотрим примеры на инцидентность. Пусть задана проекция К2точкиК. НайтиК1(рис. 2.59,б). ТочкаКлежит на видимой граниBSC. Горизонтальную проекцию находим, например, с помощью прямой общего положения, проходящей через точку К и вершинуS(построения1,2,3и4). Самостоятельно постройте проекциюК1на рис. 2.59,а, где каркас пирамиды еще не построен.

Пусть задана проекция М2точкиМ, построитьМ1. На фронтальной проекции видны граниASBиBSC, а граньASCне видна. ТочкаМдолжна лежать на видимой граниASB.

ПроекциюМ1находим с помощью горизонтали, лежащей в плоскости граниASB(построения5,6,7и8). Фронтальная проекция горизонтали проведена черезМ2параллельно осих12до пересечения сА2S2в точкеD2(построение5). С помощью линии связи наA1S1находим точкуD1(построение6). Проводим горизонтальную проекцию горизонтали параллельно ребруАВ, которое также является горизонталью. Известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны (построение7). ПроекциюМ1с помощью линии связи находим на построенной проекции горизонтали (построение8).

2.4.13.Поверхности вращения.В соответствии с принятым в начертательной геометрии кинематическим способом образования поверхности,поверхность вращения образуется вращением прямолинейной или криволинейной образующей линии вокруг некоторой оси, как след движущейся линии.

Поверхность вращения может быть задана определителем Ф (i, l), гдеi– ось вращения,l– образующая (рис.2.60). Тогда при вращения образующейlвокруг осиiполучим следующие поверхности: сферическую (рис.2.60,а); коническую (рис.2.60,б); цилиндрическую (рис.2.60,в); торовую (открытую) (рис.2.60,г); торовую (закрытую) (рис.2.60,д).

При образовании поверхности вращения каждая точка образующей описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения. При вращении точки вокруг оси имеем пять элементов процесса вращения (рис.2.61):

1) вращающаяся точкаА;

2) ось вращенияi;

3) плоскость вращенияТ(проходит через точкуАперпендикулярно оси вращенияi);

4)центр вращенияО(точка пересечения плоскостиТс осьюi);

5) радиус вращенияR=OA(отрезок, соедияющий центрОс точкойА).

Вращаясь вокруг осиi, точкаАописывает окружность, которая полностью лежит в плоскости вращенияТ. Враща-ющаяся точкаАи ось вращенияiвсегда известны, либо ими задаются.

Пусть требуется повернуть точку Авокруг осиiна1200против часовой стрелки (рис. 2.62).

Из пяти элементов процесса вращения точка Аи осьi (i П1) заданы. Строим третий элемент – плоскость вращенияТ. Плоскость вращенияТвсегда перпендикулярна осиi, следовательноТ||П1 и ТП2.

Плоскость Т– горизонтальная уровня, поэтому ее фронтальная проекцияТ2, сливаясь в линию (проецирующий след плоскости), проходит через проекциюА2.

Находим четвертый элемент процесса вращения – центр вращения - точку О. Фронтальная проекция центра вращенияО2находится на пересеченииi2сТ2, а горизонтальнаяО1совпадает сi1.

Пятый элемент процесса вращения – радиус R=OA. Так как фронтальная проекцияО2А2||x12, то отрезокR=OA, являясь горизонталью, имеет горизонтальную проекцию О1А1, равную натуральной величине радиуса вращения (O1A1=R).

Окружность вращения расположена в плоскости Ти наП1проецируется без искажения. Поэтому проводим окружность радиусомR=O1A1с центром в точкеО1. После поворотаА1по окружности на1200против часовой стрелки получаем горизонтальную проекцию точкиАв новом положении. Фронтальная проекция повернутой точки находится на пересечении линии связи, проводимой через, и следаТ2плоскостиТ.

Элементы поверхностей вращения. Рассмотрим основные элементы поверхностей вращения, необходимые при построении проекций тел вращения. Введем понятие тела вращения.

Тело вращения– геометрическая объемная фигура, ограниченная поверхностью вращения. Помимо поверхности вращения тело вращения может иметь одно или два основания.

Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность вращения по окружности, которая называется параллелью (рис. 2.63). Окружности вращения точек, принадлежащих поверхности, являются параллелями. Самая большая параллель называетсяэкватором, самая маленькая –горлом.

Плоскость, проходящая через ось вращения, называетсямеридианальной. Она пересекает поверхность по линии (кривой или прямой), которая называетсямеридианом. Можно сказать, что поверхность вращения образуется при вращении меридиана вокруг оси.

Рассмотрим построение проек-ций наиболее распространенных тел вращения (конуса, цилиндра, сферы, тора).

Конус вращения. Имеет определитель видаФ(i, l), гдеi– ось вращения,l– образующая. Фронтальная проекция конуса вращения является его фронтальным очерком (рис. 2.64), который представляет из себя проекцииS2A2иS2C2образующей в крайних левом и правом положениях относительно наблюдателя. При этом часть поверхностиABCS, обращенная к

наблюдателю, видна, а часть поверхностиADCSне видна. Плоскость основания конуса параллельнаП1. Поэтому фронтальная проекция основания есть прямаяA2C2, параллельная осих12(осьх12не показана).

На горизонтальной проекции видна вся боковая поверхность конуса вращения.

Пусть требуется построить недостающие проекции точек МиК, расположенных на поверхности конуса вращения, определитель которого (l, i)(рис.2.65,а); требуется также построить фронтальный и горизонтальный очерки конуса.

Для решения задачи через М2проводим главную проекцию плоскости вращения так, что i2(рис.2.65,б). СтроимО2= i2иN2=l2. По линии проекционной связи находимО1 i1иN1l1. Очевидно, радиус вращенияRточкиNравенО1N1. Радиусом вращенияR=O1N1с центром в точкеО1строим горизонтальную проекцию окружности вращения точкиN. Фронтальная проекция окружности вращения проецируется в виде отрезка, совпадающего с , гдеи- соответственно фронтальные проекции точкиNв крайнем левом и крайнем правом положениях относительно наблюдателя.

Фронтальные очерковые образующие конуса проходят через точки ,S2и,S2.

Для нахождения М1черезМ2проводим линию проекционной связи до пересечения с построенной окружностью. Далее находимК2. Для этого черезК1проводим параллель радиусомR=O1K1, отмечаем крайнее правое (можно крайнее левое) положениеи по линии проекционной связи в точке пересечения с фронтальной очерковой образующей, проходящей через точкиS2и, находим. Проекциярасположена на главной проекцииТ2плоскости вращения точкиК. На фронтальной проекции окружности вращенияпо линии проекционной связи находимК2. ПроекцияК2не видна.

Очерк поверхности конуса содержит не только проекции очерковых образующих, но и проекции основания. Поэтому, обозначая некоторую точку Ана образующейlи используя рассмотренный прием введения плоскости вращенияРточкиА, имеем фронтальный очерк конуса в виде треугольникаи горизонтальный очерк в виде окружности радиусаR=O1A1.

Линию на поверхности строят по точкам, задаваясь крайними точками на границе видимости (при наличии таковых), ближайшими к оси вращения и промежуточными. Следует иметь в виду, что очерковые образующие являются границей видимости. Общее количество выбранных на кривой линии точек должно быть не менее 4-6. Аналогичный подход сохраняется и для других поверхностей вращения, рассматриваемых ниже.

Цилиндр вращения.Имеет определительФ(l, i), гдеl– образующая прямая линия,i– ось вращения. Боковая поверхность такого цилиндра горизонтально–проецирующая, т.к. все его образующие перпендикулярныП1и, перемещаясь в пространстве, пересекают все точки окружности основания (рис.2.66).

Проекции образующих ивместе с проекциями верхнегои нижнегоA2B2C2D2оснований являются фронтальным очерком цилиндра. На фронтальной проекции видна часть поверхностии не видна. На горизонтальной проекции боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Верхнее основаниевидно на горизонтальной проекции, нижнееABCDне видно. Построение проекций точекМиNи их видимость показаны на рис.2.66.

Сфера.Имея определитель видаФ(m, i), поверхность сферы образуется вращением полуокружности (меридиана)mвокруг осиi, проходящей через её центр и лежащей в плоскости этой полуокружности (рис. 2.67).

M1

M2

Каждая точка образующейm, в том числе и крайняя правая точкаМ, при вращении вокруг осиiописывают окружности. Наибольшую окружностьЭ(экватор) описывает точкаМ; горизонтальная проекция экватораЭ1есть его натуральная величина и являетсягоризонтальным очерком сферы(рис. 2.68).

Две другие проекции экватора проецируются в отрезки прямых

Э2 || х12иЭ3 || у3. При рассечении сферы фронтальной плоскостью уровня, проходящей через центр сферыОи ее осьi, поверхность рассекается по окружностиN. Горизонтальная проекцияN1этой окружности есть отрезок прямой, равный диаметру сферы. Фронтальная проекцияN2есть натуральная величина окружности и являетсяфронтальным очерком сферы. Профильная проекцияN3также представляет из себя отрезок прямой, равный диаметру сферы.

Если рассечь сферу профильной плоскостью уровня Т, проходящей через центрОи осьi, то поверхность сферы также рассечется по окружностиL. ФронтальнаяL2и горизонтальнаяL1проекции ее являются отрезками прямых, равными диаметру сферы. Профильная проекцияL3есть натуральная величина окружности и являетсяпрофильным очерком сферы.

На рис. 2.68 показаны проекции точек К,ЕиF, расположенных на соответствующих очерковых окружностяхЭ,NиL. Все проекции точек видимые, поскольку на горизонтальной проекции видно верхнее полушарие,

ограниченное экватором Э(нижнее не видно), на фронтальной проекции видно переднее полушарие, ограниченное проекцией окружностиNфронтального очерка (задняя часть не видна) и на профильной проекции видно левое полушарие, ограниченное проекцией окружностиLпрофильного очерка.

Для нахождения проекций G1иG3точкиG, заданной на сфере проекциейG2, через точкуGпроводим горизонтальную уровня плоскостьР, которая рассекает сферу по параллели. На горизонтальной проекции радиусом этой параллели в зоне расположения точкиGпроводим дугу окружности и на пересечении её с линией проекционной связи, проведенной из точкиG2, находимG1. ПроекцияG3расположена на линии проекционной связи, проведенной из точкиG2, на расстоянииуотi3. ПроекцииG1иG3не видны.

Если задана G1и необходимо найтиG2иG3, то построения проводят в обратном порядке.

Тор. Имеет определитель видаФ (а, i), гдеа– окружность или часть ее,i– ось вращения. Поверхность тора образуется вращением окружностиа или части ее вокруг осиi, лежащей в плоскости окружности или ее дуги и не проходящей через центрО (рис. 2.69).

В зависимости от расположения оси iотносительно образующейаимеем различные разновидности поверхностей торов. Если осьiлежит вне окружности (рис. 2.69,а), то образуетсяоткрытая торовая поверхность, похожая на поверхность баранки. Если осьiпересекается с дугой окружности или её продолжением, то может получится вогнутая (рис. 2.69,б) или выпуклая (рис. 2.69,в)закрытая торовая поверхность.

Пусть требуется найти горизонтальную проекцию К1точкиК, расположенной на поверхности тора, заданного фронтальным и горизонтальным очерками (рис. 2.70). Тогда через точкуКпроводим плоскость вращения i, которая рассекает поверхности по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок прямойА2В2. РадиусомR2А22В2строим горизонтальную проекцию параллели – окружность, на пересечении с которой линии проекционной связи, проведенной из точкиК2, находим проекциюК1. ПроекцияК1видимая, т.к. лежит на верхней половине тора выше экватора.

Если задана проекция К1, и надо найти проекциюК2 , то построение выполняем в обратном порядке.