
- •Министерство образованИя и науки российской федерации
- •В в е д е н и е
- •1. Метод проекций
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Системы проецирования
- •1.2.4. Свойства параллельных проекций.
- •2. Ортогональные проекции геометричЕских фигур
- •2.1. Проекции точки
- •2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки.
- •2.2. Проекции прямых линий
- •2.3. Проекции кривых линий
- •2.4. Проекции поверхностей. Задание поверхности на чертеже
- •3. Позиционные задачи
- •3.1. Пересечение геометрических объектов, когда оба геометрических объекта проецирующие
- •3.2. Пересечение геометрических объектов, когда один из геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий
- •3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба геометрических объекта – непроецирующие
- •3.4. Пересечение линии с поверхностью
- •3.5. Перпендикулярные геометрические объекты
- •4. Аксонометрические проекции
- •4.1. Образование и виды аксонометрических проекций
- •4.2. Прямоугольные аксонометрические проекции
- •4.3. Косоугольные аксонометрические проекции
- •5. Тени в аксонометрии
- •5.1. Основные понятия теории теней
- •5.2. Тени в аксонометрии при центральном освещении
- •5.3. Тени в аксонометрии при параллельном освещении
- •5.3.1. Тени от точки, прямой и плоской фигуры.
- •5.3.2. Построение теней многогранников.
- •5.3.3. Построение теней конуса и цилиндра
- •5.3.4. Построение теней тел с криволинейными образующими поверхностей.
- •5.3.5. Технические рисунки комбинаций геометрических тел
- •Учебная литература
- •Начертательная геометрия
- •117997, Москва, ул. Садовническая, 33, стр.1
5.3.3. Построение теней конуса и цилиндра
Для построения собственной и падающей теней конуса необходимо провести касательную лучевую поверхность, которая представляет собой две плоскости, касательные к конусу и параллельные световым лучам.
Построение тени от прямого кругового конуса на плоскость его основания в прямоугольной изометрии при заданном направлении световых лучей показано на рис. 5.9.
Для построения контура падающей тени сначала определяют тень C0 от вершиныCконуса на плоскость его основания. Затем из точкиC0 проводят касательныеC0D иC0B к контуру основания конуса, которые и определяют границу падающей тени конуса, а образующиеCDиCBконуса отделяют освещённую часть от неосвещённой, то есть составляют границу собственной тени конуса.
Если
конус обращён вершиной вниз (рис. 5.10),
то сначала можно построить собственную
тень конуса. Для этого из вершины конусаCпроведём так называемыйобратный луч C
параллельноrдо
пересечения с плоскостью основания
конуса в точке
,
а затем из точки
проведём касательные к основанию конуса
в точкахBиD.
ОбразующиеCBиCDопределяют границу собственной тени
конуса.
Для
построения падающей тени конуса сначала
надо построить падающую тень от основания
конуса. Для этого можно найти теньA0от центраAоснования
конуса и построить эллипс, конгруэнтный
(равный) основанию конуса. Этот эллипс
можно построить также по точкам. Затем
через точкиBиDпроводим лучи параллельноrи на падающей тени от основания конуса
отмечаем точкиB0и D0 ,
которые соединяем с точкойC≡C0.
Полученная фигура будет контуром
падающей тени.
Для построения собственной и падающей теней цилиндра также необходимо провести касательную лучевую поверхность, которая представляет собой касательные плоскости, параллельные оси цилиндра.
На рис. 5.11 показано построение собственной и падающей теней прямого кругового цилиндра в прямоугольной изометрии.
Световые лучи при заданном направлении r, касаясь боковой поверхности цилиндра, образуют две плоскости, касающиеся цилиндра по двум образующимAA1иBB1. Следовательно, проведя прямые, касательные к контуру нижнего основания цилиндра параллельно вторичной проекцииr1, определим границу собственной тени боковой поверхности - это образующиеAA1 иBB1, и границу падающей тени боковой поверхности - это касательныеA1A0 и B1B0.
Для построения падающей тени от верхнего основания цилиндра можно найти тень C0от точки C, а затем построить эллипс, конгруэнтный верхнему основанию, или построить по точкам падающую тень дугиAB-верхней границы собственной тени.
5.3.4. Построение теней тел с криволинейными образующими поверхностей.
Общий принцип построения границ собственной и падающей тени для поверхности вращения с криволинейной образующей заключается в следующем. Аксонометрический очерк тела перпендикулярно оси вращения разбивается по параллелям на nпоясов. Определяя истинный диаметр каждой параллели и используя известные коэффициенты искажения по аксонометрическим и вспомогательным осям, строим относительно соответствующих центровnэллипсов параллелей. По заданным или выбранным направлениям лучейrсвета и их вторичным проекциямr1проецируем построенные эллипсы параллелей на опорную поверхность.
Далее вокруг проекций этих эллипсов на опорной поверхности проводим обводочную кривую, которая будет являться границей тени, падающей от тела вращения. Точки касания обводочной кривой с каждым из эллипсов в направлении, противоположном направлению лучей rсвета, переносим на соответствующие эллипсы параллелей аксонометрического очерка тела. Соединяя полученные точки плавной кривой линией с учётом видимости, получаем границу собственной тени. В дальнейшем необходимо удалить все вспомогательные линии построения и нанести компоненты светотени, получая в результате технический рисунок изображённого тела.
Рассмотрим данную методику на примере построения технического рисунка тела со сферической поверхностью в прямоугольной изометрии. При известном диаметре Dсферы из точкиOрадиусом, равным 1,22D/2, проводим окружность, которая является аксонометрическим очерком сферы, и осихA , yAиzA(рис. 5.12).
На оси zAотмечаем верхнийNи
нижнийPполюса сферы,
так какNP=D.
От центраOсферы
отрезкиONиOPделим наnравных
частей (в нашем случае на три части) и
отмечаем точки,1и
,2на осиzA.
Если изображаемую сферу через точки 0,,1 и
,2 рассечь плоскостями, перпендикулярными
осиz, то на её поверхности
получим пять окружностей-параллелей.
Для построения аксонометрических
проекций параллелей необходимо знать
их диаметры. Истинные диаметры параллелей
можно определить, если через точки
деления
,1и
,2провести горизонтальные прямые
до пересечения с окружностью радиуса,
равногоD/2=ON.
Так, например, диаметр параллели с
центром в точке1будет равен
отрезку3-4.
Через точки
,1и
,2 проводим аксонометрические оси,
параллельныеxA
иyA
, и строим каждую параллель в
прямоугольной изометрии. При построении
изометрии параллели, проходящей через
точкуO, на вспомогательных
горизонтальной и вертикальной осях в
обе стороны от точкиOоткладываем отрезки, равные соответственно
1,22D/2 и 0,7D/2,
а по осямxAиyA–D/2.
Соединяя полученные точки плавной кривой, получаем изображение экватора сферы в изометрии. аналогично получаем изометрические проекции других параллелей, помня, что каждая из них имеет свой диаметр.
Пусть сфера своим нижним полюсом Pстоит на плоской опоре. На пересечении
лучей света, проведённых из точек0,,
,1и2, и их вторичных проекций,
проведённых из точки P,
находим точки00,
,
,10и20 , которые
являются центрами теней от соответствующих
изометрических проекций параллелей
сферы.
Так как изометрические проекции параллелей и тени от них находятся в параллельных плоскостях, то эллипсы на плоской опоре изображаются без искажений.
Для осуществления параллельного
переноса через точки 00,,
,10и20
проводим вспомогательные горизонтальные
и вертикальные оси, а также оси,
параллельныехAиyA, на которых откладываем соответствующие
отображаемому эллипсу отрезки. Вокруг
полученных эллипсов с центрами в точках00,
,
,10и20
проводим обводочную кривуюa0
, которая всегда будет эллипсом,
кроме случая направления лучей светаrпараллельно осиz,
и является границей падающей от сферы
тени.
Отмечаем точки касания обводочной кривой с каждым из эллипсов и проводим параллельно направлению лучей света rлинии до пересечения с соответствующими изометрическим проекциями параллелей сферы. Последовательно соединяя полученные точки с учётом видимости, получаем границуaсобственной тени на сфере.
Технический рисунок шара при заданном направлении лучей света и его вторичных проекций r1можно считать завершённым лишь после нахождения границ собственной и падающей теней, аннулирования вспомогательных и дополнительных линий построения и нанесения компонентов светотени на сферической и опорной поверхностях (рис. 5.13).