Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Никифоров_учебное пособие.doc
Скачиваний:
254
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
18.76 Mб
Скачать

3.4. Пересечение линии с поверхностью

3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба геометрических объекта проецирующие.На рис. 3.16 показано пересечение фронтально-проецирующей плоскостиΣи горизонтально-проецирующей прямойm.

Так как плоскость Σи прямаяm проецирующие, то проекции точки их пересечения (точкаK) на чертеже уже определены, их надо только отметить (K2иK1).

3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из пересекающихся геометрических объектов проецирующий, а другой – непроецирующий.На рис. 3.17 показано определение точки пересечения плоскостиΣ (a||b) и прямойm. Σ∩m=K.

Так как прямая mΠ2 (рис. 3.17,а), тоK2≡m2 (рис. 3.17,б), аK1находим из условия принадлежности точкиKплоскостиΣс помощью вспомогательной прямойCEΣ. Ход построения указан на чертеже.

На рис. 3.18 показано построение точек пересечения прямых dиm с конической поверхностьюΦ.d∩Φ=K, m∩Φ=C и B.

Так как dΠ1, тоK1≡d1, аK2 находим с помощью образующейS.

ПрямаяmΠ2, поэтому фронтальные проекцииC2и B2 точек пересечения прямойmс конусом совпадают сm2, аC1иB1находим с помощью параллели.

3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба геометрических объекта непроецирующие. Для определения точек пересечения линии с поверхностью (рис. 3.19) необходимо:

1) заключить линию (m) во вспомогательную поверхность:Σm.Желательно, чтобы при пересеченииΣс заданной поверхностьюΦполучались прямые или окружности;

2) определяем линию пересечения вспомогательной поверхностиΣиΦ.Σ∩Φ=ℓ;

3) определяем точки пересечения построенной линии сm, то естьℓ∩m=Kί;

4) определяем видимость заданной линии.

На рис. 3.20 показано построение точки пересечения прямой общего положения mс плоскостьюΦ (a||b) (рис. 3.20, а) и m∩Φ=K (рис. 3.20, б).

Ход построения:

1) заключаем прямую mво фронтально-проецирующую плоскостьΣ (Σm), то есть черезm2проводимΣ2;

2) строим линию пересечения плоскостей Σ иΦ. Это прямаяCM (C1M1, C2M2). CM=Σ∩Φ;

3) определяем точку K пересеченияmсCM. Сначала определяем точкуK1 (K1= m1∩C1M1), а затем с помощью линии проекционной связи - точкуK2 (K2m2);

4) видимость прямой mи плоскостиΦопределяем с помощью конкурирующих точек: наΠ1– с помощьюNиF; наΠ2– с помощьюLиM.

На рис. 3.21 показано построение точек пересечения горизонтали hсо сферойΦ.

Ход построения:

1) заключаем прямую hв горизонтальную плоскостьΣh(Σ2h2);

2) строим линию пересечения (окружность радиусаR) плоскостиΣсо сферой.Σ ∩Φ=ℓ;

3) определяем точки пересечения линии с горизонтальюh.ℓ∩h=KиM. Сначала отмечаем точкиK1иM1, а затем с помощью линий проекционной связи находимK2иM2на h2;

4) определяем видимость линии m.

Построение точек пересечения прямой общего положения mсо сферой Φприведено на рис 3.22.

Для определения искомых точек пересечения выполним следующие построения:

1) заключаем прямую mв горизонтально-проецирующую плоскостьΣ (Σ1m1).

При пересечении Σсо сферой получается окружность, которая наΠ2 спроецируется в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса, с помощью метода замены плоскостей проекций преобразуем прямуюmв положение линии уровня, тогда дальнейшее построение будет подобно примеру на рис. 3.21.

Для этого:

2) на прямой m задаём две точки AиB;

3) проводим дополнительную плоскость Π4||m (х14||m1);

4) Проецируем на Π4прямуюABи сферу. В новой системеΠ14прямая m стала фронталью (m1, m4);

5) Σ∩Φ=ℓ(окружность радиусаR);

6) ℓ ∩ m=KиM, то есть4 ∩ m4=K4иM4.K1иM1,K2иM2 находим по линиям проекционной связи;

7) Определяем видимость mнаΠ1иΠ2.

На рис. 3.23 показано построение точек пересечения прямой общего положенияmс конусом.

В данном случае удобнее всего, чтобы вспомогательная плоскость Σпересекала конус по двум образующим, то есть вспомогательная плоскость должна проходить через вершину конусаS. Эта плоскость уже задана на чертеже прямойmи точкойS, то естьΣ (S, m).

Для удобства построений переходим к заданию плоскости Σ пересекающимися прямыми. Для этого на прямойmзадаём точкуE (E1, E2) и соединяем её с вершинойS. Теперь плоскостьΣ задана двумя пересекающимися прямыми:Σ (m∩SE).

Далее строим линию пересечения ΣсΠ1, это линияCM. Для этого находим горизонтальные следы прямыхm и SE, этоC1иM1.

Горизонтальный след Σ (CM) и основание конуса лежат в одной плоскости, поэтому линияCMпересекает основание конуса в точкахAиB, которые соединяем с вершинойSи получаем образующиеAS иSB, по которым Σ пересекает конус.

Затем строим точки пересечения AS иSBс прямойm.AS∩m=K,BSm=F.

Таким образом точки KиF- искомые точки. Далее определяем видимость прямойm.