Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Никифоров_учебное пособие.doc
Скачиваний:
254
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
18.76 Mб
Скачать

3.3. Пересечение геометрических объектов, когда оба геометрических объекта – непроецирующие

При взаимном пересечении поверхностей образуется общее множество точек, представляющих собой пространственную кривую линию. В частных случаях кривая распадается на несколько частей, каждая из которых может быть и плоской. Линию взаимного пересечения ещё называют линией перехода.

Пусть заданы две поверхности ΦиΤ (рис. 3.10). Требуется построить линию их пересеченияℓ = Φ ∩Τ.

Линию пересечения поверхностей строят по точкам, применяя способ вспомогательных поверхностей-посредников (плоскости, сферы и т. д.). Заданные поверхности пересекают вспомогательными поверхностями. Желательно, чтобы при пересечении вспомогательных поверхностей с заданными получались графически простые линии – прямые, окружности. Для упрощения построения в качестве поверхностей-посредников – применяют проецирующие поверхности.

3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей. Предварительно выполняем следующие действия:

1) Определяем, какие поверхности пересекаются.

2) Определяем характерные точки, принадлежащие линии пересечения (наивысшая и наинизшая, самая правая и самая левая точки пересечения и т. п., а также точки, принадлежащие очерковым и другим характерным образующим поверхностей).

3) Определяем, какой способ можно применять для построения линии пересечения.

Далее переходим к собственно построению линии пересечения:

4) Для определения промежуточных точек пересекаем обе поверхности вспомогательной поверхностью Σ 1:

а) строим линию пересечения а1= Σ 1∩Φ;

б) строим линию пересечения b1= Σ 1∩Τ1;

в) отмечаем точки пересечения линий К1= а1b1.

Для построения других точек, принадлежащих линии пересечения, вводим ещё несколько вспомогательных поверхностей Σ ίи получаем ещё несколько точекК ί. Множество полученных точек будет представлять собой линию пересечения двух поверхностей;

5) определяем видимость линии пересечения и очерков поверхностей.

3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения.На рис. 3.11 заданы плоскости Φ (m||n) иΤ (c∩d). Построение линии пересечения плоскостей заключается в нахождении двух точек, принадлежащих этой линии, т. к. при пересечении двух плоскостей получается прямая линия. Для определения двух точек достаточно двух плоскостей-посредников. На рис. 3.11 для нахождения одной точкиKвведена горизонтальная плоскостьΣ || Π1.

Согласно указанному выше алгоритму:

Σ∩Φ=а, Σ∩Τ=b и а∩b=K.

Для определения второй точки K1пересекаем плоскостиΦиΤплоскостьюΣ1и аналогично строим вторую точкуK1. Соединив точкиKиK1, получаем линию пересеченияℓ = Φ ∩Τ.

3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Сущность способа заключается в проведении семейства плоскостей, пересекающих обе поверхности по наиболее простым линиям – прямым и окружностям, либо пересекающих поверхности по кривым, проецирующимся в виде прямых и окружностей.

На рис. 3.12 показано построение проекций линии пересечения полусферы и тора.

Сначала отмечаем характерные точки: M–наивысшую,CиK– наинизшие,F иN- промежуточные.

Точка Mпринадлежит линии пересечения поверхностей, т. к. она располагается в общей фронтальной плоскости симмет-ииΤ (Τ1), т. е. глав-ные фронтальные меридианыnиm пересекаются в точкеM, или n2∩m2=M2.. M1 находится на линии проекционной связи.

Наинизшие точки CиKнаходятся на пересечении экватора полусферы –Эи экватора тораb, т. е.Э1∩b1=K1иC1. На линии проекционной связи находим точкиK2C2.

Промежуточные точки FиNнаходим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскостиΣ(см. вышеприведённый алгоритм), которая пересекает полусферу по окружности радиусаR1 и тор – по окружности радиусаR2. Эти окружности лежат в одной плоскости и пересекаются; их горизонтальные проекции пересекаются в точкахN1иF1, а проекцииN2≡F2 расположены на линии проекционной связи наΣ2.

Проведя ещё несколько вспомогательных горизонтальных плоскостей, можно построить аналогичным путём ещё ряд промежуточных точек.

Соединив эти точки плавной кривой, получим проекции линии пересечения полусферы и тора. Затем определяем видимость линии пересечения и очерковых линий.

3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения. Это поверхности, имеющие общую ось вращенияί.

На рис. 3.13 изображены соосные поверхности конуса и сферы, на рис. 3.14 – соосные цилиндр и сфера.

Соосные поверхности вращениявсегда пересекаются по окружностям,плоскости которых перпендикулярны оси вращения ί.

На рис. 3.13 и 3.14 поверхности пересекаются по окружностям aиb, концы диаметров(1-3 и 2-4) которых получаются при пересечении очерковых линий (главных меридианов).

Это свойство соосных поверхностей положено в основу способа вспомогательных секущих сфер.

3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических). В этом способе при построении линии пересечения заданные поверхности пересекают сферами, соосными с данными поверхностями, причём центры всех вспомогательных сфер находятся в точке пересечения осей вращения.

Вспомогательная сфера пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности. Эти окружности, расположенные на одной и той же сфере, будут пересекаться друг с другом. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения.

Для применения этого способа необходимы следующие условия:

1) обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

2) оси вращения поверхностей должны пересекаться и располагаться в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций.

На рис 3.15 показано построение линии пересечения двух прямых круговых конусов Φ ∩Τ. Оси вращенияίиjпересекаются в точкеO (O1 , O2) и параллельны плоскостиΠ2. Это и будет центр вспомогательных сфер.

При пересечении очерковых линий конусов получаются точки: A– самая высокая иB– самая низкая, принадлежащие искомой линии пересечения.

При пересечении двух конусов плоскостью Γ (Γ2) получаем точкиCиD:δ1∩n1=C1 иD1, и на линии проекционной связи определяем точкиC2 иD2.

Далее необходимо отметить границы введения вспомогательных сфер.

Максимальный радиус вспомогательной сферы (Rmax=O2B2) определяется расстоянием от точки пересечения осей до наиболее удалённой точки пересечения очерковых линий, а минимальный радиус сферыRmin равен радиусу сферыΣ, вписанной в наибольший из очерков поверхностей, т. е. в поверхностьΦ, касающейся её по окружностиm (m1, m2), и пересекающей другую поверхностьT по окружности3-4 (32-42). Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. При пересечении этих окружностей получаются точкиKи, принадлежащие линии пересечения поверхностей:Σ∩Φ=1-2, Σ∩T=3-4 и далее1-2∩3-4=K и (12-22∩32-42=K2).

По такому же алгоритму с помощью промежуточных сфер строятся другие точки, принадлежащие линии пересечения,.

Радиусы промежуточных сфер берут произвольно в пределах между RminиRmax.

На чертеже проведена одна из промежуточных сфер радиуса Rи построены точкиL (L1, L2)иN (N1, N2).

Проведя ещё несколько вспомогательных сфер, получим ряд точек, принадлежащих линии пересечения. Соединив одноимённые проекции полученных точек, получаем проекции линии пересечения. Затем определяем видимость линии пересечения и очерковых линий.