2.3. Проекции кривых линий

Кривые линии могут быть плоскими и пространственными. Они могут быть заданы аналитически с помощью уравнений и графически с помощью чертежа. В начертательной геометрии кривые линии задают с помощью чертежа.

Для построения проекций кривых линий необходимо знать приемы построения некоторых локальных характеристик: радиуса и центра кривизны, касательной, нормали и др.

2.3.1. Плоские кривые линии.Плоскими называются кривые линии, все точки которых принадлежат одной единственной плоскости. Искривленность кривой характеризуется радиусом кривизны или кривизной.

Окружность, соприкасающаяся с кривойа в данной точкеM(рис. 2.29) проходит через точкуMи бесконечно близкие от нее точкиM¹иM². Радиус этой окружности называетсярадиусом кривизны, а центр ее -центром кривизны.Кривизной(К) называется величина, обратная радиусу, т. е.K= 1/R.

Касательнойв данной точкеMк кривойa(рис. 2.30) называется предельное положение секущей прямой, проведенной через точку M, когда ее длина становится равной нулю. На рис. 2.30 проведена секущая

MM¹. Пусть точкаM¹двигается вдоль кривой по направлению к точке M. В момент совпадения точек M¹и Mсекущая

становится касательной.

Нормальюв данной точкеMназывается прямая, перпендикулярная к касательной.

Центр кривизны (центр соприкасающейся окружности) всегда лежит на нормали. Касательная как с плоской, так и с пространственной кривой имеет одну точку соприкосновения. Следовательно, проекция касательной к пространственной кривой будет касательной к проекции кривой, так как будет иметь с проекцией кривой только одну точку соприкосновения.

Рассмотрим практические способы построения касательных к плоским изображениям кривых, которые также могут быть проекциями пространственных кривых.

Построение касательной с помощью зеркальца. К изображению кривой в данной точке ребром приставляют зеркальце. Ставят его поперек кривой и поворачивают его до тех пор, когда отражение кривой и сама кривая будут представлять собой плавную, без изломов линию. В этот момент ребро зеркальца направлено точно по нормали. Касательная будет к ней перпендикулярна.

Построение касательной с помощью кривой ошибок.Кривой ошибок называется кривая линия, каждая точка которой строится по некоторому правилу. Только одна точка кривой ошибок отвечает необходимому условию. Все остальные точки являются ошибками.

Пусть, например, через точку Kтребуется провести касательнуюtк кривойl(рис.2.31). Для этого выполняем следующие действия:

1) Через точку Kпроводим несколько секущихAB(A¹B¹, A²B²иA³B³) и каждую делим пополам, обозначив середины секущих буквойC(C¹, C²иC³).

2) Соединяем точки C¹,C²иC³плавной кривой и получаем кривую ошибокm. Продолжаемmдо пересечения с заданной кривойlв точкеM. В точке касания длина секущей равна нулю и ее середина совпадает с точкой касания. Поэтому считаем, что точкаMпересечения кривой ошибокmс заданной кривойlи есть точка касания.

3) Точку Kсоединяем сMи получаем касательнуюt.

Пусть через точку Mкривойlнеобходимо построить касательнуюt и нормальn(рис. 2.32).

Последовательность построений в этом случае будет следующая:

1) В произвольном месте чертежа проводим прямую iпримерно перпендикулярно будущей касательной.

2) Через точку M проводим ряд секущихa,b,cс одной иd,e,fс другой стороны от точкиM, продолжая их до пересечения с прямойi.

3) От точек A,B,Cпересечения секущихa,b,cс прямойiвдоль их откладываем длины секущихMA¹,MB¹, иMC¹слева от прямойiи получаем точкиA²,B²иC². Для секущихd,e,fдлиныMD¹,ME¹иMF¹откладываем справа от прямой iи получаем точки D²,E²и F².

4) Точки A²,B²,C², …,F² соединяем плавной кривой и получаем кривую ошибокm, которая пересекается с прямойiв точкеK.

5) Соединяем точку Mс точкойKпрямойt, которая является секущей нулевой длины, т. е. касательной к заданной кривойlв точкеM.

6) Через точку Mперпендикулярно касательнойtпроводим нормальn.

a

b

A

B

c

C

2.3.2. Пространственные кривые линии. Пространственные кривые линии имеют двоякую кривизну. Все точки пространственной кривой не лежат в одной плоскости. Ознакомимся, в качестве примера, с цилиндрической винтовой линией, которая имеет большое применение в технике.

Цилиндрическая винтовая линиярасполагается на поверхности прямого кругового цилиндра. Она образуется при сложном движении точки. Точка движется равномерно и прямолинейно вдоль образующей цилиндра и равномерно вращается вместе с образующей вокруг оси цилиндра.

Винтовая линия называется правой, если при своем поступательном движении от наблюдателя точка вращается по ходу часовой стрелки, илевой, если против хода часовой стрелки. Построение проекций цилиндрической винтовой линии дано на рис. 2.33.

Пусть имеется цилиндр диаметром d, с осьюi. Наметим 12 образующих цилиндра, расположенных на равных расстояниях от друг друга. Будем считать, что образующая, переходя из одного положения в другое, равномерно вращается вокруг осиi. Вверх вдоль образующей движется точка. При повороте образующей на 1/12 оборота точка перемещается вверх на 1/12 шагаh.Шагом винтовой линии называется величина перемещения точки параллельно оси при ее повороте на один полный оборот.

Соединяя последовательно фронтальные проекции полученных точек, строим фронтальную проекцию винтовой линии, которая представляет собой синусоиду.

Горизонтальной проекцией винтовой линии является окружность. Если развернуть цилиндрическую поверхность вместе с нанесенной на нее винтовой линией, то вращательное движение образующей на развертке превращается в ее поступательное движение вдоль развернутой окружности основания цилиндра.

В результате сложения двух равномерных поступательных движений вдоль развернутой окружности вправо и вдоль образующей вверх образуется прямая линия. Угол наклона развернутой винтовой линии к основанию:

Ψ= arctg ,

где h - шаг винтовой линии;d- диаметр образующего цилиндра.

Угол Ψ называется углом наклона винтовой линии. Если навернуть винтовую линию обратно на цилиндр, то касательные в каждой точке винтовой линии наклонены к плоскости основания цилиндра под постоянным угломΨ.

Построим касательную к винтовой линии в точке M. Как было показано выше, проекция касательной к кривой линии касательна к проекции этой кривой.

Возьмем некоторую точку M, принадлежащую винтовой линии и заданной проекциямиM₁иM₂, и проведем через нее касательную к винтовой линии.

Горизонтальная проекция касательной к винтовой линии будет касательна к окружности, в которую она проецируется на П₁, и перпендикулярна радиусу i₁M₁. При построении касательной к фронтальной проекции винтовой линии используем свойство одинакового наклона всех касательных.

Отметим на развертке винтовой линии точку M¹, соответствующую пространственной точкеM, лежащей на винтовой линии. ИзM¹опускаем перпендикуляр к развернутому основанию цилиндра и получаем точкуM². При этом отрезок основанияO¹M²равен дуге окружности, на которую опирается часть винтовой линии от ее начала до точки M. Отрезок O¹M²называется подкасательной.

Из горизонтальной проекции M₁проводим касательную к окружности и откладываем на ней отрезок, равный подкасательнойO¹M², и получим точкуA₁ - основание касательной. ТочкаA₁лежит на плоскостиП₁, т. к.A П₁. Фронтальная проекцияA₂ этой точки лежит на осиx₁₂. Фронтальная проекция касательной проходит через проекции A₂иM₂.

Можно представить себе винтовую линию и на других поверхностях, например на конической поверхности, на сфере и т. д. Если вращать образующую конической поверхности и перемещать вдоль нее точку, то образуется коническая винтовая линия. Если вращать окружность вокруг своей оси и вдоль нее перемещать точку, то образуется сферическая винтовая линия.