
821
.pdfУпражнения
1.Даны общие уравнения кривых второго порядка. Записать зна-
чения их коэффициентов.
1)2 − 2 + 2 − 10 − 6 + 25 = 0;
2)4 2 − 12 + 9 2 − 36 + 100 = 0;
3)2 − 2 − 4 − 2 + 1 = 0;
4)3 2 − 7 − 6 2 + 3 − 9 + 5 = 0;
5)9 2 − 30 + 25 2 + 8 − 15 = 0;
6)5 2 + 12 − 22 − 12 − 19 = 0;
7)6 + 8 2 − 12 − 26 + 11 = 0;
8)2 2 − 5 + 5 − 1 = 0;
9)5 2 − 6 + 5 2 + 8 = 0;
10)2 + 4 2 − 2 + 1 = 0.
2. Установить, какие из следующих линий являются центральными, то есть имеют единственный центр; какие не имеют центра; какие имеют бесконечно много центров:
1)4 2 + 5 + 3 2 − + 9 − 12 = 0;
2)2 − 2 + 2 − 6 + 6 − 3 = 0;
3)4 2 − 4 + 2 − 6 + 8 + 13 = 0;
4)25 2 − 10 + 2 + 40 − 8 + 7 = 0.
3.Установить, что следующие кривые являются центральными, и
для каждой из них найти координаты центра:
1)5 2 + 4 + 2 2 + 20 + 20 − 18 = 0;
2)2 2 − 6 + 5 2 + 22 − 36 + 11 = 0;
3)2 − 2 − 3 2 − 4 − 6 + 3 = 0.
4.Установить, что следующее уравнение определяет централь-
ную линию; преобразовать его путём переноса начала координат в центр:
6 2 + 4 + 2 + 4 − 2 + 2 = 0.
5.При каких значениях и уравнение 2 + 12 + 9 2 +
4 + − 13 = 0 определяет: 1) центральную линию; 2) линию, имеющую бесконечно много центров; 3) линию без центра.
6.С помощью инвариантов исследовать, какие кривые заданы
следующими уравнениями:
1)4 2 + 24 + 11 2 + 64 + 42 + 51 = 0;
2)3 2 − 2 + 3 2 + 4 + 4 − 4 = 0;
3)2 − 4 + 4 2 + 2 − 2 − 1 = 0;
4)2 + 4 2 + 8 + 5 = 0;
5)2 + 4 + 3 2 − 6 − 12 + 9 = 0;
6)4 2 + 4 + 2 − 12 − 6 + 5 = 0;
7)2 + 2 + 2 2 + 6 + 9 = 0.
7. Определить тип каждого из следующих уравнений; установить, какие геометрические образы они определяют; привести каждое уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение каждого геометрического образа относительно старых и новых осей координат:
1)4 2 + 9 2 − 8 − 36 + 4 = 0;
2)2 − 9 2 + 2 + 36 − 44 = 0;
271
3)36 2 + 36 2 − 36 − 24 − 23 = 0;
4)2 − 3 + 8 + 19 = 0;
5)2 + 4 2 − 4 − 8 + 8 = 0;
6)2 + 4 2 + 8 + 5 = 0;
7)2 − 2 − 6 + 10 = 0;
8)5 2 + 24 − 5 2 = 0;
9)4 + 3 2 + 16 + 12 − 36 = 0;
10)14 2 + 24 + 21 2 − 4 + 18 − 139 = 0;
11)9 2 + 24 + 16 2 − 18 + 226 + 209 = 0;
12)7 2 + 6 − 2 + 28 + 12 + 28 = 0;
13)19 2 + 6 + 11 2 + 38 + 6 + 29 = 0;
14)5 2 − 2 + 5 2 − 4 + 20 + 20 = 0;
15)2 − 2 + 2 − 12 + 12 − 14 = 0;
16)4 2 + 12 + 9 2 − 4 − 6 + 1 = 0.
8.Не проводя преобразования координат, установить, что урав-
нение определяет параболу и найти параметр этой параболы:
1)9 2 + 24 + 16 2 − 120 + 90 = 0.
2)9 2 − 6 + 2 − 50 + 50 − 275 = 0.
Дополнительные упражнения
1.Установить, что кривая является центральной и найти коорди-
наты её центра: 2 2 + 10 + 6 2 − 28 + 8 − 3 = 0.
2.С помощью инвариантов исследовать, какая кривая задана уравнением 4 2 + 10 + 3 2 − 8 − 2 + 2 = 0.
3.По общему уравнению кривой второго порядка 4 2 + 9 2 + +48 − 36 + 144 = 0 определить тип кривой; установить, какой геометрический образ она определяет; привести уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение геометрического образа относительно старых и новых осей координат.
Индивидуальные задания
Первый уровень сложности
1. Нахождение координат центра центральной кривой Задание 1. Установить, что кривая является центральной и найти ко-
ординаты её центра.
1.1.7 2 − 8 + 3 2 − 4 + 8 − 3 = 0.
1.2.2 2 − 18 + 20 2 − 2 + 50 + 7 = 0.
1.3.9 2 + 4 + 2 − 8 + 6 − 9 = 0.
1.4.5 2 − 12 + 7 2 − 16 + 20 + 1 = 0.
1.5.2 2 + 6 + 5 2 − 12 − 22 + 10 = 0.
1.6.6 2 + 6 − 2 2 + 6 − 32 + 5 = 0.
1.7.9 2 + 10 + 8 2 − 12 − 38 − 2 = 0.
272
1.8.3 2 − 20 + 25 2 + 4 + 20 + 1 = 0.
1.9.6 2 + 10 + 3 2 − 4 + 6 + 8 = 0.
1.10.8 2 + 6 + 2 − 2 − 2 + 7 = 0.
1.11.5 2 − 4 + 3 2 − 12 − 26 − 2 = 0.
1.12.7 2 − 18 + 5 2 + 10 − 26 + 4 = 0.
1.13.3 2 − 14 + 13 2 − 2 + 18 + 5 = 0.
1.14.8 2 + 10 + 2 2 − 14 − 2 + 4 = 0.
1.15.5 2 + 18 + 4 2 + 52 − 4 − 6 = 0.
1.16.2 2 − 10 + 9 2 + 6 + 6 + 12 = 0.
1.17.2 + 12 + 17 2 − 8 + 28 + 20 = 0.
1.18.4 2 + 2 − 2 2 − 14 + 10 + 11 = 0.
1.19.6 2 − 10 − 3 2 + 8 + 24 − 8 = 0.
1.20.3 2 − 2 + 5 2 + 12 − 52 − 5 = 0.
1.21.2 2 + 10 + 7 2 − 10 + 8 + 21 = 0.
1.22.6 2 − 10 + 3 2 + 4 + 22 − 3 = 0.
1.23.8 2 + 18 + 4 2 − 22 + 12 + 4 = 0.
1.24.3 2 − 14 + 9 2 + 34 − 6 − 18 = 0.
1.25.4 2 − 6 + 2 − 4 − 2 − 15 = 0.
1.26.2 2 + 14 + 9 2 + 26 − 2 + 4 = 0.
1.27.2 + 4 + 5 2 − 10 − 34 − 11 = 0.
1.28.2 2 + 6 + 5 2 + 6 + 14 − 1 = 0.
1.29.6 2 − 10 + 2 2 + 42 + 4 − 6 = 0.
1.30.7 2 + 4 + 3 2 − 38 − 6 − 5 = 0.
1.31.8 2 + 6 + 2 + 8 + 4 − 2 = 0.
1.32.9 2 − 4 + 2 + 6 − 8 − 10 = 0.
1.33.3 2 − 4 + 9 2 − 26 + 2 − 6 = 0.
1.34.8 2 + 14 + 4 2 − 20 + 8 − 4 = 0.
1.35.3 2 + 4 + 5 2 + 28 − 18 − 13 = 0.
1.36.2 2 + 2 + 9 2 − 22 − 40 − 2 = 0.
Второй уровень сложности
2. Определение геометрического образа кривой второго порядка при помощи инвариантов
Задание 2. При помощи инвариантов исследовать, какая кривая задана уравнением.
2.1.2 2 − 12 − 2 + 10 + 8 − 7 = 0.
2.2.5 2 − 6 + 9 2 + 2 + 4 + 2 = 0.
2.3.2 − 4 + 8 2 + 10 − 14 + 3 = 0.
2.4.2 + 6 − 5 2 + 4 − 6 − 7 = 0.
2.5.6 2 − 18 + 2 − 4 + 10 + 1 = 0.
2.6.4 2 + 4 + 2 − 6 − 10 − 2 = 0.
2.7.2 + 10 − 6 2 + 6 + 2 + 2 = 0.
2.8.9 2 − 14 + 8 2 − 2 − 6 + 2 = 0.
2.9.4 2 + 4 + 3 2 − 2 − 10 + 4 = 0.
2.10.9 2 + 6 + 2 − 4 − 2 + 3 = 0.
273
2.11.5 2 + 6 + 2 − 14 − 4 + 3 = 0.
2.12.2 + 8 + 2 − 4 − 6 + 7 = 0.
2.13.8 2 − 2 + 7 2 + 6 + 4 + 1 = 0.
2.14.2 − 4 + 6 2 − 2 + 8 + 5 = 0.
2.15.3 2 + 4 + 4 2 − 2 + 6 + 1 = 0.
2.16.2 + 4 + 4 2 − 6 − 10 + 1 = 0.
2.17.3 2 − 8 + 2 + 4 − 6 + 5 = 0.
2.18.2 2 + 8 + 8 2 − 2 + 6 + 1 = 0.
2.19.4 2 + 4 + 2 + 14 + 2 − 3 = 0.
2.20.5 2 + 6 + 4 2 + 2 + 4 − 2 = 0.
2.21.2 2 + 2 + 2 2 + 6 + 8 + 9 = 0.
2.22.2 2 + 4 + 2 2 − 14 − 2 + 3 = 0.
2.23.2 + 4 + 3 2 − 12 − 2 + 5 = 0.
2.24.9 2 + 2 + 9 2 − 8 − 2 + 3 = 0.
2.25.3 2 + 6 + 3 2 − 8 + 2 + 2 = 0.
2.26.4 2 + 10 − 3 2 + 6 + 8 + 1 = 0.
2.27.7 2 + 4 + 2 − 4 + 6 + 1 = 0.
2.28.2 + 2 + 2 − 4 + 6 + 5 = 0.
2.29.9 2 + 4 + 2 + 2 − 4 + 10 = 0.
2.30.5 2 + 4 + 4 2 − 2 + 6 + 5 = 0.
2.31.2 + 6 + 9 2 − 2 + 4 + 3 = 0.
2.32.6 2 + 14 + 2 − 2 + 4 − 1 = 0.
2.33.3 2 + 2 + 2 2 + 8 − 2 + 9 = 0.
2.34.6 2 + 12 + 6 2 + 4 + 10 + 3 = 0.
2.35.2 + 6 − 2 + 4 − 10 + 1 = 0.
2.36.2 2 − 8 + 9 2 − 2 + 10 + 1 = 0.
Третий уровень сложности
3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Задание 3. По общему уравнению кривой второго порядка определить тип кривой; установить, какой геометрический образ она определяет; привести уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение геометрического образа относительно старых и новых осей координат.
3.1.9 2 − 25 2 − 18 − 200 − 316 = 0.
3.2.2 + 2 + 6 − 4 − 23 = 0.
3.3.2 + 6 + 6 + 21 = 0.
3.4.5 2 + 4 2 − 70 + 225 = 0.
3.5.2 + 2 + 18 − 2 + 62 = 0.
3.6.2 − 8 − 5 + 6 = 0.
3.7.18 2 + 25 2 + 72 − 150 − 153 = 0.
3.8.2 − 4 2 + 2 − 64 − 251 = 0.
3.9.2 + 2 − 8 + 12 + 22 = 0.
3.10.2 + 16 + 5 + 79 = 0.
274
3.11.2 − 2 + 10 + 4 + 22 = 0.
3.12.2 + 4 2 − 12 + 8 + 24 = 0.
3.13.2 + 2 + 18 − 4 + 81 = 0.
3.14.9 2 − 16 2 + 36 + 160 − 508 = 0.
3.15.2 + 2 − 6 − 47 = 0.
3.16.2 + 10 + 9 + 52 = 0.
3.17.2 + 14 + 9 + 67 = 0.
3.18.2 + 2 + 12 − 8 + 28 = 0.
3.19.2 − 16 2 + 6 − 32 + 9 = 0.
3.20.2 + 2 + 4 − 18 + 53 = 0.
3.21.3 2 + 2 2 + 6 + 12 + 9 = 0.
3.22.2 + 12 + 10 + 6 = 0.
3.23.9 2 − 5 2 − 126 − 20 + 376 = 0.
3.24.2 + 2 + 8 − 10 + 35 = 0.
3.25.7 2 + 9 2 + 28 + 18 − 26 = 0.
3.26.2 + 16 + 8 + 120 = 0.
3.27.3 2 − 2 − 24 − 6 + 36 = 0.
3.28.17 2 + 5 2 + 34 + 20 − 48 = 0.
3.29.2 − 10 + 4 + 29 = 0.
3.30.2 2 + 5 2 + 24 + 50 + 177 = 0.
3.31.2 − 3 2 − 6 − 12 − 12 = 0.
3.32.2 + 2 + 10 − 18 + 66 = 0.
3.33.2 − 12 + 7 + 50 = 0.
3.34.2 + 2 2 + 14 + 32 + 173 = 0.
3.35.4 2 − 3 2 − 16 − 12 + 40 = 0.
3.36.2 2 + 5 2 + 20 − 20 + 50 = 0.
Тесты |
|
Вариант |
1 |
Первый уровень сложности.
1. Коэффициент общего уравнения кривой второго порядка 4 2 +
7 + 3 2 − 2 + + 1 = 0 равен: |
|
|
|
|
|
|||||
1) |
7 |
2) −7 |
3) |
7 |
|
4) |
− |
7 |
|
5) 14 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
2. Дано общее уравнение центральной кривой второго порядка 2 2 + |
||||||||||
14 + 9 2 + 22 − 16 + 5 = 0. Координаты её центра равны: |
||||||||||
1) |
(−3; 5) |
2) |
(3; 5) |
3) |
(5; 3) |
|
||||
4) |
(5; −3) |
5) |
(−5; 3) |
|
|
|
|
|
Второй уровень сложности.
3. Дано общее уравнение кривой второго порядка 5 2 − 2 + 2 +
+4 + 6 + 7 = 0. Инвариант 2 равен: |
|
|
||
1) 6 |
2) 4 |
3) 1 |
4) 9 |
5) 2 |
4.Общее уравнение кривой второго порядка 3 2 + 4 − 12 + 16 =
=0 определяет:
1) эллипс |
2) мнимый эллипс |
3) гиперболу |
275
4) пару пересекающихся прямых 5) параболу
Третий уровень сложности.
5. Общее уравнение кривой второго порядка 2 + 2 − 4 + 14 + +37 = 0 можно привести к следующему нормальному виду:
1) ( − 2)2 + ( + 7)2 = 16 |
2) ( − 2)2 + ( + 7)2 = 4 |
3) ( + 2)2 + ( − 7)2 = 16 |
4) ( + 2)2 + ( − 7)2 = 4 |
5) ( − 2)2 − ( + 7)2 = 16 |
|
Вариант 2
Первый уровень сложности.
1. Коэффициент общего уравнения кривой второго порядка 3 2 −
2 − 2 + 4 − 2 + 3 = 0 равен: |
|
|
|
|||||
1) |
3 |
2) |
3 |
3) −2 |
4) |
1 |
5) −1 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Дано общее уравнение центральной кривой второго порядка 2 2 + |
||||||||
10 + 3 2 + 22 − 2 + 3 = 0. Координаты её центра равны: |
||||||||
1) |
(2; 3) |
|
|
2) (−2; 3) |
3) |
(2; −3) |
|
|
4) |
(−2; −3) |
|
5) (−3; 2) |
|
|
|
Второй уровень сложности.
3. Дано общее уравнение кривой второго порядка 3 2 − 6 + 5 2 −
−2 + + 1 = 0. Инвариант 2 равен: |
|
|
||
1) 6 |
2) 24 |
3) 12 |
4) −21 |
5) 51 |
4.Общее уравнение кривой второго порядка 5 2 − 6 + 5 2 + 8 =
=0 определяет:
1) |
эллипс |
2) |
гиперболу |
3) параболу |
4) |
мнимый эллипс |
5) |
вырожденный эллипс |
|
Третий уровень сложности.
5. Общее уравнение кривой второго порядка 2 − 6 + 5 + 19 = 0 можно привести к следующему нормальному виду:
1) ( − 3)2 = 5( + 2) |
2) ( − 3)2 = 10( + 2) |
|||
3) |
( − 3)2 = −5( + 2) |
4) ( − 3)2 = −10( + 2) |
||
5) |
( − 3)2 = − |
5 |
( + 2) |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
276

Ответы
Ответы к Упражнениям
Глава 1. Окружность
1. 1) 2 + 2 = 16; 2) 2 + 2 = 14449 ; 3) 2 + 2 = 11; 4) 2 + 2 = 509 ; 5) ( + 6)2 + ( + 1)2 = 4; 6) ( − 2)2 + ( + 3)2 = 6425 ; 7) 2 + ( − 5)2 = = 3; 8) ( + 203 )2 + ( − 173 )2 = 25; 9) ( − 9)2 + 2 = 1; 10) ( − 65)2 +
+ ( + 3217)2 = 1009 . 2. 1) (0; 0), = 5; 2) (0; 0), = √10; 3) (0; 0), = 114 ; 4) (0; 0), = √351 ; 5) (2; 4), = 2; 6) (−3; 6), = 2√35 ; 7) (5; 0), = √11; 8) (0; −1), = √210 ; 9) (165 ; − 9√52), = √2;
10) (− 218 ; − 367 ), = √17527 . 3. 1) Центр окружности находится в точке
(0; 0), радиус = 5 (рис. 1.1); 2) центр окружности находится в точке
(−1; 2), радиус = 4 (рис. 1.2); 3) центр окружности находится в точке
(4; −2), радиус = 0, то есть окружность вырождена в точку (4; −2)
(рис. 1.3); 4) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = √1717 (рис. 1.4); 5) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = 16
(рис. 1.5); 6) центр окружности находится в точке (− |
3 |
; −2), радиус = |
|
|
|||
4 |
|
|
|
2 (рис. 1.6); 7) центр окружности находится в точке (0; 0), |
радиус = |
√39 (рис. 1.7); 8) центр окружности находится в точке (3; 3), радиус = 3 (рис. 1.8); 9) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = 0, то есть окружность вырождена в точку (0; 0) (рис. 1.9); 10) центр окруж-
|
|
|
|
|
|
|
||||
ности находится в точке (−1; |
1 |
), радиус = |
√5 |
(рис. 1.10). |
|
|||||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
−5 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
277 |
|
|
|
|
|


|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
√5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
√5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 − |
√5 |
−1 + |
√5 |
|||||||||||||
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 1.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 3) (7; −2), = 4; 4) |
(−2; 0), = 8; 6) (1; −2), = 5; 9) (−2; 1), |
= 0; 11) (0; − 12), = 12 ; 12) (0; −8), = √17. 5. 1) Нижняя половина
окружности 2 + 2 = 25 (рис. 1.11); 2) правая половина окружности 2 +2 = 16 (рис. 1.12); 3) верхняя половина окружности 2 + ( − 15)2 = = 64 (рис. 1.13); 4) Левая половина окружности ( + 2)2 + 2 = 9 (рис. 1.14); 5) правая половина окружности ( + 5)2 + ( + 3)2 = 49
(рис. 1.15). 6. 1) вне; 2) на; 3) внутри; 4) вне; 5) на; 6) внутри. 7. 1) (3; 1);
2) точек пересечения нет; 3) (0; −3), (115 ; 75). 8. − 2 + 5 = 0. 9. 3 − 4 +
+43 = 0. 10. − 2 − 5 = 0, 2 − − 5 = 0. 11. 2 − − 12 = 0, + 2 +
+4 = 0. 12. + 2 + 5 = 0. 13. 3. 14. 2 + − 1 = 0, 2 + + 19 = 0. 15. ( − 3)2 + ( − 4)2 = 25. 16. ( + 1)2 + ( − 1)2 = 5. 17. 1) =
= 2 cos ; 2) = −2 cos ; 3) = 2 sin ; 4) = −2 sin .
18. 1) (2; 0), = 2; 2) |
( |
3 |
; |
|
), = |
3 |
; 3) |
(1; ), = 1; 4) ( |
5 |
; − |
|
), = |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
5 |
; 5) (3; |
|
), = 3 ; 6) |
(4; |
5 |
), = 4; 7) |
(4; − |
|
), = 4. |
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
−5 |
|
5 |
−4 |
|
4 |
|
|
−5 |
−4 |
|
|
Рис. 1.11 |
Рис. 1.12 |
|
279

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
= 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
= −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2. Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. 1) |
|
|
2 |
+ |
|
2 |
= 1; 2) |
|
2 |
+ |
2 |
|
= 1; 3) |
|
|
|
2 |
|
+ |
2 |
= 1; |
4) |
2 |
+ 2 = 1; 5) |
( +9)2 |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
16 |
196 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
( −3)2 |
= 1; 6) |
|
2 |
+ |
|
( −7)2 |
= 1; |
7) |
( − 9 ) |
+ |
( +3) |
|
= 1; 8) |
|
( +6) |
2 |
+ |
( +9)2 |
= 1; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
225 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( +12)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
+ |
|
|
= 1; |
|
10) ( − |
) + |
|
|
= 1. 2. 1) |
|
(0; 0), = 9, = 5; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
169 |
|
|
|
|
81 |
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; 0), = |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) (0; 0), = 7√2 |
, = 2√14; 3) (0; 0), = 10, = 12; 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
; 5) |
|
(0; 0), = 1, = |
2√39 |
; |
|
6) |
|
|
(7; −3), |
= 11, = 8; 7) |
|
(−1; 4), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
8 |
; |
15 |
), = 6, = 3; |
9) (− |
6 |
|
; 0), = |
|
10 |
, = |
4 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 3√10, = 3√2; 8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||
10) ( |
8 |
|
; |
4 |
), = |
√34 |
|
, = 1. 3. |
1) Центр эллипса находится в точке (0; 0), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
полуоси |
|
|
= 8, |
= 5 (рис. |
2.1); |
|
|
|
|
2) центр |
|
эллипса находится в |
точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−7; −4), полуоси = 6, |
|
= 4 (рис. 2.2); |
3) |
|
центр эллипса находится в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке (0; 0), полуоси = |
1 |
, = |
1 |
(рис. 2.3); 4) центр эллипса находится в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
280 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|