821

Упражнения

1.Даны общие уравнения кривых второго порядка. Записать зна-

чения их коэффициентов.

1)2 − 2 + 2 − 10 − 6 + 25 = 0;

2)4 2 − 12 + 9 2 − 36 + 100 = 0;

3)2 − 2 − 4 − 2 + 1 = 0;

4)3 2 − 7 − 6 2 + 3 − 9 + 5 = 0;

5)9 2 − 30 + 25 2 + 8 − 15 = 0;

6)5 2 + 12 − 22 − 12 − 19 = 0;

7)6 + 8 2 − 12 − 26 + 11 = 0;

8)2 2 − 5 + 5 − 1 = 0;

9)5 2 − 6 + 5 2 + 8 = 0;

10)2 + 4 2 − 2 + 1 = 0.

2. Установить, какие из следующих линий являются центральными, то есть имеют единственный центр; какие не имеют центра; какие имеют бесконечно много центров:

1)4 2 + 5 + 3 2 − + 9 − 12 = 0;

2)2 − 2 + 2 − 6 + 6 − 3 = 0;

3)4 2 − 4 + 2 − 6 + 8 + 13 = 0;

4)25 2 − 10 + 2 + 40 − 8 + 7 = 0.

3.Установить, что следующие кривые являются центральными, и

для каждой из них найти координаты центра:

1)5 2 + 4 + 2 2 + 20 + 20 − 18 = 0;

2)2 2 − 6 + 5 2 + 22 − 36 + 11 = 0;

3)2 − 2 − 3 2 − 4 − 6 + 3 = 0.

4.Установить, что следующее уравнение определяет централь-

ную линию; преобразовать его путём переноса начала координат в центр:

6 2 + 4 + 2 + 4 − 2 + 2 = 0.

5.При каких значениях и уравнение 2 + 12 + 9 2 +

4 + − 13 = 0 определяет: 1) центральную линию; 2) линию, имеющую бесконечно много центров; 3) линию без центра.

6.С помощью инвариантов исследовать, какие кривые заданы

следующими уравнениями:

1)4 2 + 24 + 11 2 + 64 + 42 + 51 = 0;

2)3 2 − 2 + 3 2 + 4 + 4 − 4 = 0;

3)2 − 4 + 4 2 + 2 − 2 − 1 = 0;

4)2 + 4 2 + 8 + 5 = 0;

5)2 + 4 + 3 2 − 6 − 12 + 9 = 0;

6)4 2 + 4 + 2 − 12 − 6 + 5 = 0;

7)2 + 2 + 2 2 + 6 + 9 = 0.

7. Определить тип каждого из следующих уравнений; установить, какие геометрические образы они определяют; привести каждое уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение каждого геометрического образа относительно старых и новых осей координат:

1)4 2 + 9 2 − 8 − 36 + 4 = 0;

2)2 − 9 2 + 2 + 36 − 44 = 0;

271

3)36 2 + 36 2 − 36 − 24 − 23 = 0;

4)2 − 3 + 8 + 19 = 0;

5)2 + 4 2 − 4 − 8 + 8 = 0;

6)2 + 4 2 + 8 + 5 = 0;

7)2 − 2 − 6 + 10 = 0;

8)5 2 + 24 − 5 2 = 0;

9)4 + 3 2 + 16 + 12 − 36 = 0;

10)14 2 + 24 + 21 2 − 4 + 18 − 139 = 0;

11)9 2 + 24 + 16 2 − 18 + 226 + 209 = 0;

12)7 2 + 6 − 2 + 28 + 12 + 28 = 0;

13)19 2 + 6 + 11 2 + 38 + 6 + 29 = 0;

14)5 2 − 2 + 5 2 − 4 + 20 + 20 = 0;

15)2 − 2 + 2 − 12 + 12 − 14 = 0;

16)4 2 + 12 + 9 2 − 4 − 6 + 1 = 0.

8.Не проводя преобразования координат, установить, что урав-

нение определяет параболу и найти параметр этой параболы:

1)9 2 + 24 + 16 2 − 120 + 90 = 0.

2)9 2 − 6 + 2 − 50 + 50 − 275 = 0.

Дополнительные упражнения

1.Установить, что кривая является центральной и найти коорди-

наты её центра: 2 2 + 10 + 6 2 − 28 + 8 − 3 = 0.

2.С помощью инвариантов исследовать, какая кривая задана уравнением 4 2 + 10 + 3 2 − 8 − 2 + 2 = 0.

3.По общему уравнению кривой второго порядка 4 2 + 9 2 + +48 − 36 + 144 = 0 определить тип кривой; установить, какой геометрический образ она определяет; привести уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение геометрического образа относительно старых и новых осей координат.

Индивидуальные задания

Первый уровень сложности

1. Нахождение координат центра центральной кривой Задание 1. Установить, что кривая является центральной и найти ко-

ординаты её центра.

1.1.7 2 − 8 + 3 2 − 4 + 8 − 3 = 0.

1.2.2 2 − 18 + 20 2 − 2 + 50 + 7 = 0.

1.3.9 2 + 4 + 2 − 8 + 6 − 9 = 0.

1.4.5 2 − 12 + 7 2 − 16 + 20 + 1 = 0.

1.5.2 2 + 6 + 5 2 − 12 − 22 + 10 = 0.

1.6.6 2 + 6 − 2 2 + 6 − 32 + 5 = 0.

1.7.9 2 + 10 + 8 2 − 12 − 38 − 2 = 0.

272

1.8.3 2 − 20 + 25 2 + 4 + 20 + 1 = 0.

1.9.6 2 + 10 + 3 2 − 4 + 6 + 8 = 0.

1.10.8 2 + 6 + 2 − 2 − 2 + 7 = 0.

1.11.5 2 − 4 + 3 2 − 12 − 26 − 2 = 0.

1.12.7 2 − 18 + 5 2 + 10 − 26 + 4 = 0.

1.13.3 2 − 14 + 13 2 − 2 + 18 + 5 = 0.

1.14.8 2 + 10 + 2 2 − 14 − 2 + 4 = 0.

1.15.5 2 + 18 + 4 2 + 52 − 4 − 6 = 0.

1.16.2 2 − 10 + 9 2 + 6 + 6 + 12 = 0.

1.17.2 + 12 + 17 2 − 8 + 28 + 20 = 0.

1.18.4 2 + 2 − 2 2 − 14 + 10 + 11 = 0.

1.19.6 2 − 10 − 3 2 + 8 + 24 − 8 = 0.

1.20.3 2 − 2 + 5 2 + 12 − 52 − 5 = 0.

1.21.2 2 + 10 + 7 2 − 10 + 8 + 21 = 0.

1.22.6 2 − 10 + 3 2 + 4 + 22 − 3 = 0.

1.23.8 2 + 18 + 4 2 − 22 + 12 + 4 = 0.

1.24.3 2 − 14 + 9 2 + 34 − 6 − 18 = 0.

1.25.4 2 − 6 + 2 − 4 − 2 − 15 = 0.

1.26.2 2 + 14 + 9 2 + 26 − 2 + 4 = 0.

1.27.2 + 4 + 5 2 − 10 − 34 − 11 = 0.

1.28.2 2 + 6 + 5 2 + 6 + 14 − 1 = 0.

1.29.6 2 − 10 + 2 2 + 42 + 4 − 6 = 0.

1.30.7 2 + 4 + 3 2 − 38 − 6 − 5 = 0.

1.31.8 2 + 6 + 2 + 8 + 4 − 2 = 0.

1.32.9 2 − 4 + 2 + 6 − 8 − 10 = 0.

1.33.3 2 − 4 + 9 2 − 26 + 2 − 6 = 0.

1.34.8 2 + 14 + 4 2 − 20 + 8 − 4 = 0.

1.35.3 2 + 4 + 5 2 + 28 − 18 − 13 = 0.

1.36.2 2 + 2 + 9 2 − 22 − 40 − 2 = 0.

Второй уровень сложности

2. Определение геометрического образа кривой второго порядка при помощи инвариантов

Задание 2. При помощи инвариантов исследовать, какая кривая задана уравнением.

2.1.2 2 − 12 − 2 + 10 + 8 − 7 = 0.

2.2.5 2 − 6 + 9 2 + 2 + 4 + 2 = 0.

2.3.2 − 4 + 8 2 + 10 − 14 + 3 = 0.

2.4.2 + 6 − 5 2 + 4 − 6 − 7 = 0.

2.5.6 2 − 18 + 2 − 4 + 10 + 1 = 0.

2.6.4 2 + 4 + 2 − 6 − 10 − 2 = 0.

2.7.2 + 10 − 6 2 + 6 + 2 + 2 = 0.

2.8.9 2 − 14 + 8 2 − 2 − 6 + 2 = 0.

2.9.4 2 + 4 + 3 2 − 2 − 10 + 4 = 0.

2.10.9 2 + 6 + 2 − 4 − 2 + 3 = 0.

273

2.11.5 2 + 6 + 2 − 14 − 4 + 3 = 0.

2.12.2 + 8 + 2 − 4 − 6 + 7 = 0.

2.13.8 2 − 2 + 7 2 + 6 + 4 + 1 = 0.

2.14.2 − 4 + 6 2 − 2 + 8 + 5 = 0.

2.15.3 2 + 4 + 4 2 − 2 + 6 + 1 = 0.

2.16.2 + 4 + 4 2 − 6 − 10 + 1 = 0.

2.17.3 2 − 8 + 2 + 4 − 6 + 5 = 0.

2.18.2 2 + 8 + 8 2 − 2 + 6 + 1 = 0.

2.19.4 2 + 4 + 2 + 14 + 2 − 3 = 0.

2.20.5 2 + 6 + 4 2 + 2 + 4 − 2 = 0.

2.21.2 2 + 2 + 2 2 + 6 + 8 + 9 = 0.

2.22.2 2 + 4 + 2 2 − 14 − 2 + 3 = 0.

2.23.2 + 4 + 3 2 − 12 − 2 + 5 = 0.

2.24.9 2 + 2 + 9 2 − 8 − 2 + 3 = 0.

2.25.3 2 + 6 + 3 2 − 8 + 2 + 2 = 0.

2.26.4 2 + 10 − 3 2 + 6 + 8 + 1 = 0.

2.27.7 2 + 4 + 2 − 4 + 6 + 1 = 0.

2.28.2 + 2 + 2 − 4 + 6 + 5 = 0.

2.29.9 2 + 4 + 2 + 2 − 4 + 10 = 0.

2.30.5 2 + 4 + 4 2 − 2 + 6 + 5 = 0.

2.31.2 + 6 + 9 2 − 2 + 4 + 3 = 0.

2.32.6 2 + 14 + 2 − 2 + 4 − 1 = 0.

2.33.3 2 + 2 + 2 2 + 8 − 2 + 9 = 0.

2.34.6 2 + 12 + 6 2 + 4 + 10 + 3 = 0.

2.35.2 + 6 − 2 + 4 − 10 + 1 = 0.

2.36.2 2 − 8 + 9 2 − 2 + 10 + 1 = 0.

Третий уровень сложности

3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Задание 3. По общему уравнению кривой второго порядка определить тип кривой; установить, какой геометрический образ она определяет; привести уравнение к каноническому виду; изобразить на чертеже расположение геометрического образа относительно старых и новых осей координат.

3.1.9 2 − 25 2 − 18 − 200 − 316 = 0.

3.2.2 + 2 + 6 − 4 − 23 = 0.

3.3.2 + 6 + 6 + 21 = 0.

3.4.5 2 + 4 2 − 70 + 225 = 0.

3.5.2 + 2 + 18 − 2 + 62 = 0.

3.6.2 − 8 − 5 + 6 = 0.

3.7.18 2 + 25 2 + 72 − 150 − 153 = 0.

3.8.2 − 4 2 + 2 − 64 − 251 = 0.

3.9.2 + 2 − 8 + 12 + 22 = 0.

3.10.2 + 16 + 5 + 79 = 0.

274

3.11.2 − 2 + 10 + 4 + 22 = 0.

3.12.2 + 4 2 − 12 + 8 + 24 = 0.

3.13.2 + 2 + 18 − 4 + 81 = 0.

3.14.9 2 − 16 2 + 36 + 160 − 508 = 0.

3.15.2 + 2 − 6 − 47 = 0.

3.16.2 + 10 + 9 + 52 = 0.

3.17.2 + 14 + 9 + 67 = 0.

3.18.2 + 2 + 12 − 8 + 28 = 0.

3.19.2 − 16 2 + 6 − 32 + 9 = 0.

3.20.2 + 2 + 4 − 18 + 53 = 0.

3.21.3 2 + 2 2 + 6 + 12 + 9 = 0.

3.22.2 + 12 + 10 + 6 = 0.

3.23.9 2 − 5 2 − 126 − 20 + 376 = 0.

3.24.2 + 2 + 8 − 10 + 35 = 0.

3.25.7 2 + 9 2 + 28 + 18 − 26 = 0.

3.26.2 + 16 + 8 + 120 = 0.

3.27.3 2 − 2 − 24 − 6 + 36 = 0.

3.28.17 2 + 5 2 + 34 + 20 − 48 = 0.

3.29.2 − 10 + 4 + 29 = 0.

3.30.2 2 + 5 2 + 24 + 50 + 177 = 0.

3.31.2 − 3 2 − 6 − 12 − 12 = 0.

3.32.2 + 2 + 10 − 18 + 66 = 0.

3.33.2 − 12 + 7 + 50 = 0.

3.34.2 + 2 2 + 14 + 32 + 173 = 0.

3.35.4 2 − 3 2 − 16 − 12 + 40 = 0.

3.36.2 2 + 5 2 + 20 − 20 + 50 = 0.

Первый уровень сложности.

1. Коэффициент общего уравнения кривой второго порядка 4 2 +

Второй уровень сложности.

3. Дано общее уравнение кривой второго порядка 5 2 − 2 + 2 +

4.Общее уравнение кривой второго порядка 3 2 + 4 − 12 + 16 =

=0 определяет:

275

4) пару пересекающихся прямых 5) параболу

Третий уровень сложности.

5. Общее уравнение кривой второго порядка 2 + 2 − 4 + 14 + +37 = 0 можно привести к следующему нормальному виду:

Вариант 2

Первый уровень сложности.

1. Коэффициент общего уравнения кривой второго порядка 3 2 −

Второй уровень сложности.

3. Дано общее уравнение кривой второго порядка 3 2 − 6 + 5 2 −

4.Общее уравнение кривой второго порядка 5 2 − 6 + 5 2 + 8 =

=0 определяет:

Третий уровень сложности.

5. Общее уравнение кривой второго порядка 2 − 6 + 5 + 19 = 0 можно привести к следующему нормальному виду:

276

Ответы

Ответы к Упражнениям

Глава 1. Окружность

1. 1) 2 + 2 = 16; 2) 2 + 2 = 14449 ; 3) 2 + 2 = 11; 4) 2 + 2 = 509 ; 5) ( + 6)2 + ( + 1)2 = 4; 6) ( − 2)2 + ( + 3)2 = 6425 ; 7) 2 + ( − 5)2 = = 3; 8) ( + 203 )2 + ( − 173 )2 = 25; 9) ( − 9)2 + 2 = 1; 10) ( − 65)2 +

+ ( + 3217)2 = 1009 . 2. 1) (0; 0), = 5; 2) (0; 0), = √10; 3) (0; 0), = 114 ; 4) (0; 0), = √351 ; 5) (2; 4), = 2; 6) (−3; 6), = 2√35 ; 7) (5; 0), = √11; 8) (0; −1), = √210 ; 9) (165 ; − 9√52), = √2;

10) (− 218 ; − 367 ), = √17527 . 3. 1) Центр окружности находится в точке

(0; 0), радиус = 5 (рис. 1.1); 2) центр окружности находится в точке

(−1; 2), радиус = 4 (рис. 1.2); 3) центр окружности находится в точке

(4; −2), радиус = 0, то есть окружность вырождена в точку (4; −2)

(рис. 1.3); 4) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = √1717 (рис. 1.4); 5) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = 16

√39 (рис. 1.7); 8) центр окружности находится в точке (3; 3), радиус = 3 (рис. 1.8); 9) центр окружности находится в точке (0; 0), радиус = 0, то есть окружность вырождена в точку (0; 0) (рис. 1.9); 10) центр окруж-

= 0; 11) (0; − 12), = 12 ; 12) (0; −8), = √17. 5. 1) Нижняя половина

окружности 2 + 2 = 25 (рис. 1.11); 2) правая половина окружности 2 +2 = 16 (рис. 1.12); 3) верхняя половина окружности 2 + ( − 15)2 = = 64 (рис. 1.13); 4) Левая половина окружности ( + 2)2 + 2 = 9 (рис. 1.14); 5) правая половина окружности ( + 5)2 + ( + 3)2 = 49

(рис. 1.15). 6. 1) вне; 2) на; 3) внутри; 4) вне; 5) на; 6) внутри. 7. 1) (3; 1);

2) точек пересечения нет; 3) (0; −3), (115 ; 75). 8. − 2 + 5 = 0. 9. 3 − 4 +

+43 = 0. 10. − 2 − 5 = 0, 2 − − 5 = 0. 11. 2 − − 12 = 0, + 2 +

+4 = 0. 12. + 2 + 5 = 0. 13. 3. 14. 2 + − 1 = 0, 2 + + 19 = 0. 15. ( − 3)2 + ( − 4)2 = 25. 16. ( + 1)2 + ( − 1)2 = 5. 17. 1) =

= 2 cos ; 2) = −2 cos ; 3) = 2 sin ; 4) = −2 sin .

279