Задания для самостоятельной работы

1. Выясните, каким является базис,,: правым или левым (рис. 18)?

2. Каким является базис ,,: правым или левым (рис. 19)? А базис,,?

3. Начертите на плоскости два различных правых базиса; два различных левых базиса.

§8. Векторное произведение двух векторов

Пусть ,,- ортонормированный базис трехмерного векторного пространстваV (правый). Векторным произведением двух неколлинеарных векторов иназывается вектор, обозначаемый(или) и удовлетворяющий трем условиям:

1. длина ;

2. и ;

3. базис ,,ориентирован так же, как базис,,.

Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нулевой вектор.

На рис. 20 изображены векторные произведения и.

Геометрические свойства

векторного умножения векторов

Г1⁰. ||.

Пусть , тогда

или ||;

или || ||;

или или||.

Пусть||. Тогда по определению векторного произведения .

Г2⁰. Длина векторного произведения векторови равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

По определению . С другой стороны,

(рис. 21).

Следовательно,.

Алгебраические свойства

векторного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. .

А3⁰. .

Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Попробуйте доказать самостоятельно!

Теорема 1 (векторное произведение в координатах). Если ,в базисе,,, то

.

По определению координат вектора в базисе,,

, .

Тогда . Используя свойства А1⁰-А3⁰ векторного умножения и замечание, получим:

(получите это равенство, проделав все выкладки самостоятельно).

Применение векторного произведения

Векторное произведение двух векторов применяется:

1. Для выяснения коллинеарности двух векторов: || .

2. Для вычисления площади параллелограмма:(рис. 22).

3. Для вычисления площади треугольника: .

Задания для самостоятельной работы

1. Изобразите на чертеже векторы ;(рис. 24).

2. Примените алгебраические свойства векторного умножения для упрощения выражения .

3. Пользуясь определением векторного произведения, докажите, что векторы иортогональны.

4. Вычислите: .

5. Вычислите площадь , если,.

Лекция 6

Нелинейные операции над векторами

§9. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.

Обозначение: .

Таким образом, по определению

.

Смешанное произведение – это число!

Геометрические свойства

смешанного умножения векторов

Г1⁰. ,,компланарны.

Пусть . Тогда.

По определению векторного произведенияи.

Следовательно, векторы ,,параллельны плоскости, перпендикулярной вектору(рис. 25),т.е. векторы,,компланарны.

Обратно, пусть векторы ,икомпланарны. Тогда существует плоскость, которой они параллельны.

,  , а так как ||, то  ,

т.е..

Г2⁰ (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы ,,некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объемуV параллелепипеда с ребрами ,,, отложенными от одной точки;, если тройка,,- правая,, если тройка,,- левая.

Пусть векторы ,,отложены от точки О (рис. 26).

. Пусть .

Построим на векторах ,,параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонамии(рис. 27).

Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пустьh – высота параллелепипеда.

а) Если тройка ,,ориентирована так же, как базис,,, то(рис. 26, а) < 90⁰  cos>0  .

Итак, .

б) Если тройка ,,ориентирована противоположно базису,,, то(рис. 26, б) > 90⁰   .

Итак, .

Из пунктов а) и б) следует, что.