Задания для самостоятельной работы

1. Можно ли в аффинной системе координат пользоваться уравнением (27) и почему?

2. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной каждой из плоскостейи, уравнения которых даны в прямоугольной системе координат.

3. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точки иперпендикулярно к плоскости, может быть представлено в следующем виде:

.

4. Пользуясь уравнением (27), найдите уравнения координатных плоскостей ипрямоугольной декартовой системы координат .

5. Найдите объем куба, одна грань которого принадлежит координатной плоскости , а другая – плоскости .

6. Вычислите косинусы углов, которые образует с координатными плоскостями прямоугольной декартовой системы координат плоскость .

Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве

§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны:

а) две ее точки;

б) точка и направляющий вектор;

в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат .

1. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямаязадана в пространстве точкойи направляющим вектором(рис. 74).

.

Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в пространстве в координатах (см. § 5). При этом возможны различные случаи:

а) и. Тогда получаем следующее уравнение прямой:

. (28)

б) .

(29)

в) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).

г) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).

д) . Получаем следующее уравнение прямой:

(30)

е) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).

ж) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).

Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в), г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

2. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть . Тогда прямуюможно задать точкойи направляющим вектором. Поэтому применяем каноническое уравнение прямой:

. (31)

Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками.

Если одна или две координаты вектора окажутся нулевыми, то применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения вида (29) или (30).

3. Параметрическое уравнение прямой.

В случае, когда прямая задана так же, как в пункте 1 (точкойи направляющим вектором), можно получить параметрическое уравнение прямой.(по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:

откуда

(32)

Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Действительное число в системе (32) называется параметром и имеет такой же смысл, как и параметрв параметрическом уравнении прямой на плоскости (см. § 15).

4.Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть в(рис. 75).

Точка тогда и только тогда, когда ее координатыявляются решением системы уравнений плоскостейи.

Система уравнений

(33)

называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.

Лемма 1. Вектор

(34)

является направляющим вектором прямой .

□ Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоскости.

1) Докажем, что .

. Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости .

2) Докажите самостоятельно, что .

Из пунктов 1) и 2) следует, что , т.е.. ■

Итак, из леммы 1 следует, что если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей,, то координаты ее направляющего векторанаходятся по формуле (34).

Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные в уравнениях (28)-(33) называютсятекущими координатами точек прямой в пространстве.