Задания для самостоятельной работы

1. Какие из векторов параллельны плоскостии почему?

2. Справедливы ли утверждения, доказанные в пунктах 1-13, если уравнение плоскости задано в прямоугольной декартовой системе координат и почему?

3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости: а); б); в)(пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку и содержит: а) ось; б) ось; в) ось(пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).

§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)

1. Взаимное расположение двух плоскостей.

Выяснить взаимное расположение двух плоскостей позволяет следующая теорема:

Теорема 1. Пусть в аффинной системе координат плоскостиизаданы общими уравнениями:

,

.

или ;

(коэффициенты при х, у, z пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны);

.

2. Взаимное расположение трех плоскостей.

Вопрос о взаимном расположении трех плоскостей ,исводится к исследованию вопроса о взаимном расположении трех пар плоскостей:и,и,и.

Возможны восемь случаев взаимного расположения этих плоскостей:

1. (рис. 70, а);

2. (рис. 70, б);

3. (рис. 70, в);

4. (следовательно, ) (рис. 70, г);

5. (следовательно, ) (рис. 70, д);

6. (рис. 70, е);

7. (рис. 70, ж);

8. (рис. 70, з).

3. Геометрический смысл знака многочлена .

Теорема 2. Если в аффинной системе координат плоскость задана уравнением , то два полупространства, на которые эта плоскость разбивает пространство, определяются условиями

и .

4. Пучок и связка плоскостей.

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую . Прямаяназываетсяосью этого пучка.

Пусть . Тогда уравнение пучка плоскостей с осьюимеет вид:

, где не равны нулю одновременно.

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку . Точканазываетсяцентром связки.

Пусть . Тогда уравнение связки плоскостей имеет вид:

, где ине равны нулю одновременно.

Задания для самостоятельной работы

1. Пользуясь теоремой 1 из § 22, выведите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через начало координат.

2. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и проходящей через точку .

3. В аффинной системе координат задана плоскость . Какая фигура определяется условием: а) ; б) ?

4. Верно ли утверждение, что плоскость пересекает отрезок , где, тогда и только тогда, когдаи почему?

5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и содержащей линию пересечения плоскостей и.

Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат

§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью

1. Уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали.

Ненулевой вектор называется перпендикулярным плоскости, если он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости или лежащему в ней.

Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали этой плоскости или ее нормальным вектором.

Вектор нормали плоскости будем обозначать через.

Пусть в пространстве дана прямоугольная декартова система координат , плоскость,и.

(рис. 71).

Переходя к координатам, получаем уравнение

. (27)

Уравнение (27) называется уравнением плоскости, заданной точкой и вектором нормали.

Следовательно, коэффициентыА, В и С при х, у и z в общем уравнении плоскости, заданном в прямоугольной декартовой системе координат, имеют следующий геометрический смысл: А, В и С есть координаты вектора нормали данной плоскости.

2. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть в пространстве дана плоскость и не принадлежащая ей точка. Расстоянием от точкидо плоскостиназывается длина перпендикуляра, проведенного из точкик плоскости(рис. 72):. Если, то.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координатдано уравнение плоскостии точка, не принадлежащая плоскости. Тогда расстояние от точкидо плоскостивычисляется по формуле:

.

Доказательство этой формулы аналогично доказательству формулы для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

3. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Пусть две параллельные плоскости изаданы в прямоугольной декартовой системе координатуравнениямиисоответственно. Выведем формулу для вычисления.

Заметим, что , где. Пусть. Так как, то. Поэтому. Итак,

.

4. Угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Углом между двумя пересекающимися плоскостями будем называть тот из четырех двугранных углов, который по величине не превосходит остальные. Величину линейного угла этого двугранного угла будем обозначать через .

Выведем формулу для вычисления косинуса угла между плоскостями и.

Пусть и векторы нормалей плоскостей и. Зная величину угла, можно вычислить величину угла. При этом возможны два случая:

а) Если (рис. 73, а), то, следовательно,.

б) Если(рис. 73, б), то, следовательно,.

Из пунктов а) и б) следует, что

.

Учитывая, что , получаем:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

.