Основная метрическая задача

Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в прямоугольной декартовой системе координат ,, то расстояниеАВ между точками А и В находится по формуле:

.

Учитывая, что ,и используя формулы для нахождения длины вектора в координатах, получаем:

.

Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите координаты точки А, если В(3;0;-2), .

2. С – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(1;0;-4), С(3;1;0).

3. Точки Р и Q лежат внутри отрезка АВ, причем АР=РQ=QВ. Найдите (ВQ,А).

4. На плоскости дан отрезок [АВ]. Постройте точку С, делящую направленный отрезок в отношении;.

5. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(0;5),С(-2;2). Пользуясь теоремой, обратной теореме Пифагора, выясните, будет ли этот треугольник прямоугольным.

6. Можно ли вывести формулы для нахождения расстояния между двумя точками, координаты которых даны в аффинной системе координат?

Лекция 8 Формулы преобразования координат

§12. Преобразование аффинной системы координат

Возьмем на плоскости две аффинные системы координат и. Первую назовемстарой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координатых,у, а в новой системе - координаты(рис. 40).

Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:

, , ,(3)

выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.

Из формул (3) следует, что

; ; . (4)

(по правилу треугольника).

Так как ,, то по определению координат точки,, т.е.;.

Тогда, используя формулы (4), получим:

,

т.е. ,

откуда находим:

(5) ;

. Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координатыв новой системе .

Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.

Коэффициенты , при - координаты нового вектора в старой системе ; коэффициенты,при- координаты нового векторав старой системе, свободные члены,- координаты нового началав старой системе:

Координаты точки М

в новой системе

Таблица называется матрицей перехода от базиса,к базису,.

Частные случаи преобразования аффинной системы координат

1. Перенос начала.

При этом преобразовании ,, а(рис. 41).

Найдем координаты векторов ив старой системе, т.е.,,и:

, ;

, .

Тогда формулы (5) примут вид:

(6)

Формулы (6) называются формулами переноса начала.

2. Замена координатных векторов.

При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).

Так как , то,. Тогда формулы (5) примут вид:

; .

(7)

Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.