Задания для самостоятельной работы

1. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя параллельными прямыми и.

2. Вычислите расстояние от точки до прямой.

3. Найдите тангенс направленного угла между прямой и прямой.

4. Выведите условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями в «отрезках».

Плоскости и прямые в пространстве

Лекция 11

Плоскость в аффинной системе координат

§20. Различные уравнения плоскости

в аффинной системе координат

Плоскость в пространстве можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей (или принадлежащими ей) или тремя точками, не лежащими на одной прямой. В первом случае этот факт будем обозначать так:; во втором –.

Пусть в пространстве дана аффинная система координат .

1. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами.

Пусть,||(рис. 66),в системе.

тогда и только тогда, когда векторы икомпланарны,т.е. их смешанное произведение . Переходя к координатам, получим уравнение:

. (20)

Итак, если, то ее координаты удовлетворяют уравнению (20). Если, то векторыинекомпланарны, следовательно, координаты точкине удовлетворяют уравнению (20). Таким образом, уравнение (20) есть уравнение плоскости. Оно называется

уравнением плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторамии.

2. Параметрическое уравнение плоскости.

Пусть ,.

тогда и только тогда, когда векторы икомпланарны. По теореме о компланарных векторах. Переходя к координатам, получаем:или

(21)

Система уравнений (21) называется параметрическим уравнением плоскости.

Действительные числа u и v называются параметрами.

Геометрический смысл параметров u и v: для любой точки существует единственная пара параметров, удовлетворяющих уравнениям (21), и обратно,и.

3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.

Пусть не лежат на одной прямой,,,.

Так как точки,ине лежат на одной прямой, то||(рис. 67). Следовательно, плоскостьможно задать точкойи двумя неколлинеарными векторамии:. Применяя уравнение (20), получаем:

. (22)

Уравнение (22) называется уравнением плоскости, заданной тремя точками .

4. Уравнение плоскости «в отрезках».

Пусть ,, (рис. 68), где.

Используя уравнение (22), получим:

;

т.е. .

Раскроем определитель, стоящий в левой части, и преобразуем это выражение:

; ; разделим обе части этого уравнения на:, откуда получаем уравнение:

. (23)

Уравнение (23) называется уравнением плоскости «в отрезках».

Геометрический смысл а, в и с: а – это абсцисса точки пересечения плоскости с осью,в – ордината точки пересечения с осью,с  аппликата точки пересечения с осьюаффинной системы координат.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите уравнения координатных плоскостей аффинной системы координат.

2. Могут ли числа а, в и с в уравнении плоскости «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно (или два) равняться 0? Почему?

3. Какое из следующих уравнений является уравнением плоскости «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?

а) ;	в) ;
б) ;	г) .

4. Можно ли пользоваться уравнениями плоскости (20)-(23) в прямоугольной декартовой системе координат и почему?