Задания для самостоятельной работы

1. Будут ли векторы и 3образовывать базис двумерного пространства и почему?

2. Будут ли векторы ,иобразовывать базис трехмерного пространства и почему?

3. Какие координаты имеет вектор в базисе ,,?

4. Сформулируйте свойство 5⁰ координат векторов для следующих случаев:

а) ; б); в); г).

Лекция 4 Нелинейные операции над векторами

§6. Скалярное произведение двух векторов

Углом между ненулевыми векторами иназывается угол между лучамии, сонаправленными с векторамиисоответственно и исходящими из одной точкиО (рис. 10).

Обозначение:.

Два ненулевых вектора иназываютсявзаимно перпендикулярными (ортогональными), если .

Обозначение: .

Если хотя бы один из векторов нулевой, то считают, что .

Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Угол между двумя векторами инаходится в следующих пределах:

.

Понятие угла между векторами используется при определении понятия скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение: или.

.

Скалярным квадратом вектора называется число, равное скалярному произведению . Обозначение:².

Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над векторами.

Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.

Геометрические свойства скалярного умножения векторов

Г1⁰. .

□Пусть , тогда

или ;

или ;

или .

Обратно, пусть , тогда.■

Г2⁰. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

□ .■

Из этого свойства получаем важное следствие:

.

Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции вектора на направление, определяемое вектором.

Пусть даны два вектора ,V.

Возьмем в пространстве произвольную точку А и отложим от нее вектор , т.е.(рис. 11).

Возьмем прямую s||и зададим на ней направление вектором (такая направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точку А плоскость , через точкуВ – плоскость . Пусть,.

Проекцией (скалярной) вектора на направление, определяемое вектором, называется число, равное

, если ;

, если .

Обозначение: .

Г3⁰. .

Алгебраические свойства скалярного умножения векторов

А1⁰. .

А2⁰. ;.

А3⁰. .

Следствие. . Это свойство можно распространить и на большее число слагаемых.

Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе ,, то

.

□ По определению координат вектора ,. Используя свойства Г1⁰,Г2⁰, А1⁰-А3⁰ и то, что ,,и, получаем:

. ■

Следствие 1. .

Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).

.

Следствие 3. .

Вфизике скалярное произведение векторов применяется для вычисления работы силыпо перемещению материальной точки из положенияв положение(рис. 12):

.

Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.

Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.