- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Список рекомендуемой литературы
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях. Часть 1. – М.: Просвещение, 1986.
Атанасян Л.С. Геометрия. Часть 1. – М.: Просвещение, 1973.
Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Часть 1. – М.: Просвещение, 1973.
Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Часть 1. – М.: Просвещение, 1974.
Базылев В.Т. и др. Сборник задач по геометрии. – М.: Просвещение, 1980.
Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В.Н. Задачник-практикум по геометрии. Часть 1 (для заочников). – М., 1979.
Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: Просвещение, 1976.
Бахвалов С.В. и др. Аналитическая геометрия. – М.: Просвещение, 1970.
Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. – М., 2004.
Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель –АСТ, 2003.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2002.
Индивидуальные задания по аналитической геометрии (для студентов математического факультета). – Глазов, 2003.
Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу «Геометрия». Часть 1, 2 (Аналитическая геометрия). – Глазов, 1995.
Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.
Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1984.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
Руководство к решению задач по высшей математике. Часть 1. Под общей ред. Е.И. Гурского. – Минск, 1989.
Учебная программа по дисциплине «Геометрия» для студентов по специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика». – Глазов, 2003.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия: пособие к практическим занятиям для студентов факультета социальных и информационных технологий. – Глазов: Изд. центр ГГПИ, 2005.
Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
§1. Понятие вектора
Направленным отрезком называется отрезок, у которого указаны начало и конец. Обозначение:
Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (рис. 1).
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: .
Векторы иназываютсясонаправленными (противоположно направленными), если лучи [AB) и [CD) сонаправлены (противоположно направлены). Обозначение: ().
На рис. 2 ,.
Векторы иназываютсяколлинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: ||.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы иназываютсякомпланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Обозначение длины вектора :.
Длина нулевого вектора равна 0, т.е. .
Вектор называется единичным, если его длина равна единице.
В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и длины их равны. Обозначение: .
Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и длины их равны.
Вектор, противоположный вектору , обозначается.
Откладыванием вектора от точкиА называется процесс построения такой точки М, что .
А
В
М
А
Рис. 3