§21. Общее уравнение плоскости

Теорема 1. Плоскость есть поверхность первого порядка, т.е. задается в аффинной системе координат уравнением первой степени , гдене равны нулю одновременно. Обратно, поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени(гдене равны нулю одновременно), есть плоскость.

□ Пусть плоскость задана точкойи двумя неколлинеарными векторамии, т.е. . Найдем ее уравнение.

; ;

.

Положим , , , . Тогда .

Так как векторы инеколлинеарны, то их соответствующие координаты не пропорциональны, следовательно,, и одновременно, т.е. одновременно.

Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая поверхность задана уравнением, гдене равны нулю одновременно. Докажем, что плоскость.

Пусть для определенности . Найдем уравнение плоскости, заданной точкойи двумя неколлинеарными векторамии.

;

; ; разделив обе части полученного уравнения на, получим:

.

Итак, уравнение поверхности в точности совпадает с уравнением плоскости, следовательно,совпадает с, т.е. плоскость.

Если , тоили. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что плоскость. ■

Уравнение (гдене равны нулю одновременно) называетсяобщим уравнением плоскости. Переменные х, у, z называются текущими координатами произвольной точки плоскости.

Задания для самостоятельной работы

1. Можно ли пользоваться общим уравнением плоскости в прямоугольной декартовой системе координат и почему?

2. Выведите в аффинной системе координат уравнение плоскости, проходящей через точку.

3. Дано общее уравнение плоскости , в котором все коэффициенты прих, у и z и свободный член отличны от нуля. Получите из него уравнение плоскости «в отрезках».

4. Дано параметрическое уравнение плоскости. Получите из него общее уравнение плоскости.

5. Дано общее уравнение плоскости. Получите из него параметрическое уравнение плоскости.

6. Какая поверхность в пространстве задается в аффинной системе координат уравнением: а) ; б); в); г); д)?

§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости

Лемма 1 (о параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат дана плоскостьи вектор. Для того, чтобы векторбыл параллелен плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие.

□ Чтобы доказать необходимость и достаточность этого условия, возьмем точку и отложим от нее вектор(рис. 69).

Пусть , тогда.

Из равенства векторовиследует равенство их соответственных координат:

. (24)

Так как , то

. (25)

Если , то, следовательно,

. (26)

Вычитаем почленно из уравнения (26) уравнение (25):

.

Применяя формулы (24), получаем:

.

Обратно, пусть имеет место условие . Тогда из формул (24) следует, что.

Сложив почленно последнее уравнение с уравнением (25), получим:

,

откуда следует, что . Поэтому, а так как, то.■

Выясним особенности расположения плоскости относительно аффинной системы координат, если некоторые из коэффициентов в ее общем уравнении равны 0.

1.  верное равенство .

Обратно, пусть , тогда верное равенство .

Итак, .

2. .

Возьмем вектор . Проверим выполнимость условия:

;

0=0.

Следовательно, по лемме о параллельности вектора и плоскости . Поэтому возможны два случаяили. Учитывая, что, т.е., получаем:.

Обратно, пусть , тогда. По лемме о параллельности вектора и плоскости.

Итак, .

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 3 и 4 :

3. .

4. .

5. Пусть и. Тогда из пункта 2 следует, что, т.е.или; а из пункта 1 следует, что. Значит,.

Обратно, пусть . Тогда, т.е.(см. пункт 1). Кроме того,(см. пункт 2).

Итак, и.

В этом случае уравнение плоскости примет вид.

Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 6 и 7:

6. и.

7. и.

8. и. Тогда из пункта 2 следует, что; а из пункта 3 следует, что. Таким образом,

и .

В этом случае уравнение примет видили(где).

Рассуждая аналогично, рассмотрите случаи 9 и 10:

9. и.

10. и.

Из пунктов 8 и 1 получаем случай

11. ,и.

В этом случае уравнение плоскости будет иметь вид , т.е.

.

Из пунктов 9 и 1 получаем случай

12. ,и.

Тогда уравнение будет иметь вид, т.е.

.

Из пунктов 10 и 1 получаем случай

13. ,и.

Уравнение в этом случае имеет вид, т.е.

.