Задания для самостоятельной работы

1. Можно ли пользоваться уравнениями (28)-(30) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве и почему?

2. Найдите тремя способами уравнение каждой из осей иаффинной системы координат(каноническое, параметрическое уравнения и уравнение оси как линии пересечения координатных плоскостей).

3. Дано каноническое уравнение прямой . Приведите его к виду (33).

4. Дано параметрическое уравнение (32) прямой . Приведите его к виду (33).

5. Дано уравнение (33) прямой . Получите из него каноническое и параметрическое уравнения прямой.

6. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямымиможет быть представлено в следующем виде:

.

7. Докажите, что если две прямые ипересекаются, то уравнение плоскости, в которой они лежат, может быть представлено в следующем виде:

.

8. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой может быть представлено в следующем виде:

.

§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых ив пространстве: 1); 2); 3); 4)совпадает с.

Пусть прямая задана точкойи направляющим вектором, точкой и направляющим вектором. Тогда взаимное расположение двух прямыхиможно определить по векторами.

Замечание. Прямые илежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторыикомпланарны, т.е. смешанное произведение.

Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве.

1) , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые (рис. 76). Следовательно,

.

2) Если прямые ипересекаются, т.е., то они лежат в одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 77). Следовательно,

3) (рис. 78).

4) (рис. 79).

2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскостив пространстве: 1)(пересекает плоскостьв некоторой точке); 2); 3).

Пусть в аффинной системе координат прямаязадана точкойи направляющим вектором, а плоскость общим уравнением .

1)(по лемме о параллельности вектора и плоскости) (рис. 80). Итак,

.

Чтобы найти координаты точки пересеченияи, надо решить систему уравнений прямойи плоскости.

2) и(рис. 81), т.е.

3) и(рис. 82), т.е.

3. Связка прямых в пространстве.

Связкой прямых в пространстве с центром в точке называется множество всех прямых, проходящих через точку. Параметрическое уравнение связки прямых с центромимеет вид:

где  произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно.

4. Связка прямых и плоскостей.

Объединение связки прямых в пространстве с центром и связки плоскостей в пространстве с центромназываетсясвязкой прямых и плоскостей с центром .

Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть связка прямых с центром .