§3. Умножение вектора на число

Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , обозначаемый черези удовлетворяющий двум условиям:

1. его длина ;

2. если 0, то; если<0, то .

Алгоритм построения произведения вектора число  таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором, если0, и противоположно направленный с вектором, если<0. На лучеот начала М откладываем отрезокMP, длина которого в раз больше длины вектора . Вектор - искомый вектор.

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если - данный вектор.

Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч(рис. 7). На лучестроим такую точкуС, что . Тогда- искомый вектор.

Свойства умножения вектора на число

1⁰. и.

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Теорема 1 (о коллинеарных векторах). Пусть . Векторыиколлинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число, что .

Теорема 2 (о компланарных векторах). Пусть || . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа и , что .

Задания для самостоятельной работы

1. Начертите произвольный вектор . Постройте векторы.

2. Даны векторы и. Постройте векторы.

3. Упростите выражение .

4. Будут ли векторы иколлинеарны и почему, если?

5. Будут ли векторы икомпланарны и почему?

Лекция 2

Линейная зависимость векторов

§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства

Линейной комбинацией векторов называется вектор , где.

Примеры линейных комбинаций:

1. Вектор есть линейная комбинация векторов(здесь).

2. Вектор есть линейная комбинация векторов(здесь).

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:

.

Если равенство выполняется только при, то система векторов называется линейно независимой.

Примеры

1. Система векторов линейно зависима, т.к. если возьмем, то получим, что, т.е. существуют такие действительные числа, не все равные 0 одновременно (), что выполняется равенство.

2. Система двух неколлинеарных векторов илинейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторовиравна нулевому векторутолько при.

Свойства линейно зависимой системы векторов

1⁰. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

□ Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Докажем, что вектор.

Из определения линейно зависимой системы следует, что существует такое, что. Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е..

Пусть, обратно, . Докажем, что система, состоящая из одного вектора, линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде, следовательно,, т.е. существуеттакое, что. По определению линейно зависимой системы векторов системалинейно зависима.■

2⁰. При n>1 система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

□ Пусть система векторов линейно зависима. Докажем, что один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа , не все равные 0 одновременно, такие, что

.

Пусть для определенности , гдек – одно из чисел 1, 2, ...,n. Перенесем все слагаемые, кроме , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на:

.

Следовательно, вектор есть линейная комбинация векторов .

Пусть теперь один из векторов системы ,например, , является линейной комбинацией векторов .Докажем, что система векторов линейно зависима.

По условию . Перенесемв правую часть и поставим это слагаемое междуи:

.

Таким образом, существуют такие числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство

.

Следовательно, система векторов линейно зависима. ■

3⁰. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

□ Пусть дана система векторов и известно, что ее подсистема <n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа , причем, что.

Тогда ,

т.е. нашлись числа , причем, следовательно, система линейно зависима. ■

4⁰. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора.

□ Пусть система линейно независима. Предположим, что она содержит . По свойству 1⁰ система линейно зависима. Тогда по свойству 3⁰ вся система линейно зависима. Получили противоречие с условием. ■

5⁰. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима.

□ Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся линейно зависимой. Тогда по свойству 3⁰ вся данная система должна быть линейно зависимой. Получили противоречие с условием. ■

6⁰. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда||.

□ Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по свойству 2⁰ или , или. По теореме о коллинеарных векторах||.

Пусть ||. Если один из векторов нулевой, например,, то по свойству 4⁰ система ,линейно зависима. Если, то по теореме о коллинеарных векторах. Так как, то система векторовлинейно зависима.■

Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство

7⁰. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.