Задания для самостоятельной работы
Найдите каноническое уравнение оси
;
оси
аффинной системы координат
.Найдите каноническое уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки
.Могут ли числа а и в в уравнении прямой «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно из чисел равняться 0? Почему?
Какое из следующих шести уравнений является уравнением прямой в «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
|
а)
|
г)
|
ж)
|
|
б)
|
д)
|
з)
|
|
в)
|
е)
|
и)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Напишите уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок
и имеющей угловой коэффициент
.Почему для прямой, параллельной оси
,
не существует уравнения с угловым
коэффициентом? Существует ли для такой
прямой уравнение прямой, заданной
точкой и угловым коэффициентом и почему?Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
и не имеющей углового коэффициента.Напишите уравнения всех прямых, содержащих стороны правильного шестиугольника
,
если сторона шестиугольника равнаа,
а система координат
выбрана так, что началоО
совпадает с точкой А,
точка В
лежит на положительном луче оси
и точкаЕ –
на положительном луче оси
.Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12. Система
координат прямоугольная декартова.Можно ли пользоваться уравнениями (10)-(17) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и почему?
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
Докажем следующую теорему об общем уравнении прямой:
Теорема 1.
Любая прямая на плоскости задается в
аффинной системе координат уравнением
первой степени с двумя неизвестными
,
гдеА
и В
не равны 0 одновременно. Обратно, линия
на плоскости, заданная в аффинной системе
координат уравнением первой степени
(гдеА
и В
не равны 0 одновременно), есть прямая.
Вектор
является направляющим вектором этой
прямой.
□ Пусть
прямая,
.
Запишем каноническое уравнение прямой
:
.
Преобразуем его:
.
Положим
.
Тогда уравнение прямой
имеет вид:
.
Так как
(по определению), то
и
не равны 0 одновременно, следовательно,А
и В
не равны 0 одновременно.
Докажем обратное
утверждение. Пусть некоторая линия
задана в аффинной системе координат на
плоскости уравнением
,
где
.
Докажем, что
прямая.
Найдем уравнение
прямой
,
заданной точкой
и направляющим вектором
,
гдеА,
В
и С
взяты из уравнения линии
:
.
Преобразуем это
уравнение:
.
Итак,
,
причем
,
т.к.
.
Уравнение прямой
в точности совпадает с уравнением линии
,
следовательно,
совпадает с
,
т.е.
есть прямая.
Так как вектор
является направляющим вектором прямой
,
а
совпадает с
,
то
направляющий вектор прямой
.■
Уравнение
называетсяобщим
уравнением прямой;
х и у – текущие координаты произвольной точки прямой.
Частные случаи общего уравнения прямой
Выясним особенности
расположения прямой
относительно аффинной системы координат
,
если некоторые из чиселА,
В
и С
равны нулю.
Пусть С=0. Тогда уравнение прямой
примет вид:
.
Подставляя координаты точки
в это уравнение, убеждаемся, что
получается верное равенство
,
следовательно,
,
т.е. прямая
проходит через начало координат.
Обратно, пусть
.
Тогда
.
Итак,
.
2) Пусть
.
Тогда
.
Учитывая, что
,
получаем, что
.
Обратно, если
,
то
.
Итак,
.
При этом уравнение
имеет вид
или
(где
).
3) Утверждение «
»
предлагаем читателю доказать
самостоятельно.
Из пунктов 1) и 2) следует пункт
4) А=0
и С=0
совпадает с осью
.
В этом случае прямая
(т.е. ось
)
задается уравнением
.
Из пунктов 1) и 3) следует пункт
5) В=0
и С=0
совпадает с осью
.
В этом случае прямая
(т.е. ось
)
задается уравнением
.