книги / Оболочки и пластины
..pdf
|
|
|
|
Jkn |
«1 |
|
Pi |
* |
|
(4,19,2)' |
|
где Ckn (As = 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|||||
n= 1, 2, ;..)— искомые коэффициенты. |
|
||||||||||
Подставляя (4,19,2) в уравнение (4,14,15), |
потребуем, чтобы полу |
||||||||||
чившаяся функция была ортогональна всем функциям |
|
||||||||||
|
|
xVsm(при s — 1,2, |
|
ш = 1,2, ...). |
|
||||||
Если в уравнениях (4,14,15) и (4,19,2) перейти к новой |
перемен |
||||||||||
ной | по формуле (4,17,1) и подставить (4,19,2) в (4,14,15), |
то после |
||||||||||
ряда простых преобразований получим |
|
|
|
|
|
||||||
|
С2, [(а2 + |
п\у + а* - |
К(а2 4- п?)2] £ |
Ck sin kn% - |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
— Akzi (a1+ |
/г*)2 |
Ck cos |
|
= 0, |
|
(4,19,3) |
|||
где |
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BVRa |
|
|
||
|
|
a = *-n, |
|
1 |
Pi |
A = |
|
(4,19,4) |
|||
|
|
|
/ |
|
|
|
Ehl |
|
|
||
В вариационной форме Галеркина уравнение (4,19,3) запишется в |
|||||||||||
следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
£ |
£ |
6Cfts {[(fl2+ rti)4 + |
|
|
+ nf)*] | sin |
sin siigdl - |
|||||
*=1 |
s= l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
—А/гл (a2 + |
rt2)21 cos /гл£ sin |
|
= |
0. |
(4,19,5) |
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Интегралы, |
входящие в выражение |
(4,19,5), |
имеют значения: |
|
|||||||
|
|
« |
|
|
|
[ — при s = k, |
|
||||
|
|
\ sin kn% sin sn^dl = I |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
l |
0 при s=jbk, |
|
|||
|
|
|
|
|
2s |
при k -|- s — нечетном, |
|||||
|
|
sin sn%dl = |
(s2 — fe2) it |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
0 |
при k 4- s — четном. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
решений |
системы |
линейных |
|||
Для определения отличных от нуля |
|||||||||||
однородных алгебраических |
уравнений |
(4,19,5) |
необходимо |
и доста |
|||||||
точно приравнять нулю определитель системы: |
|
|
|
||||||||
т<р - ъ |
— — А |
|
0 |
|
— |
15 |
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
±3А |
T |
(L- |
X) |
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
™-А |
|
|
|
|
- 2 - А |
.. = |
0. (4,19,6) |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
- * - А |
0 |
|
|
» - А |
- у ( М - Х ) .. |
|
|||||
15 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
Каждому собственному значению уравнения (4,19,6) соответствуют отличное от нуля значение Chs системы (4,19,5) и приближенное реше ние (4,19,2) рассматриваемой краевой задачи. В уравнении (4,19,6) приведены следующие обозначения:
F = С; (а2 + n\f + |
а* |
L-=C\ (4а2 + |
а?)2 + |
2*а* |
||
(а2 + п\? |
(4а2 + «I)2 |
|||||
|
|
|
|
|||
К = |
cl (9а2 + |
п?)2 + |
3 |
|
|
|
(9а2 -ф- п2)2 ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|||
М = |
С? (16а2 + |
п\)2+ |
44а4 |
|
(4,19,7) |
|
(16а2 + |
п2)2 |
|||||
|
|
|
|
|||
При расчетах по первому приближению уравнение (4,19,6) прини |
||||||
мает вид |
|
|
|
|
|
|
|
(F — X) = 0. |
|
|
(4,19,8) |
||
Отсюда следует, что все собственные значения рассматриваемой крае вой задачи положительны и вещественны, следовательно, независимо от скорости потока невозмущенное движение панели в*классе решений
(4,19,14) устойчиво, а критическая скорость флаттера |
цилиндрической |
панели равна бесконечности. |
(4,19,6), огра |
При расчетах во втором приближении из уравнения |
|
ничиваясь определителем второго порядка, будем иметь |
|
I 2 — X(F + L ) + F L + -^ -Л 2 = 0. |
(4,19,9) |
Решение уравнения (4,19,9) даст два корня: |
|
|
(4, .9,10) |
Из формулы (4,19,10) следует, что собственные значения при рас четах по второму приближению существенным образом зависят от ско
рости потока и при значениях скорости потока |
|
|
|
|||||
|
А = BVR2 |
^ |
3 |
( F - L ) |
|
|
|
|
|
|
Ehl |
^ |
16 |
|
|
|
|
собственные значения становятся комплексными, причем |
|
|
||||||
Re^ = |
X1= i - ( F + L), |
1тХ = |
Х2= [ - | - Л 2- - £ = ^ |
р |
(4,19,11) |
|||
Подставляя значения |
и %2 |
|
в уравнение |
параболы |
устойчивости |
|||
(4,14,20) |
и учитывая, что |
BVR2 |
после |
ряда простых преобра- |
||||
А = ——— , |
||||||||
Ehl
зований получим формулу для определения критической скорости во втором приближении, т. е. скорости потока, при превышении которой появляются комплексные собственные значения, лежащие за пределами параболы устойчивости:
Eh2 |
U |
(4,19,12) |
‘'■>тг-Ит[*(,'+ч+ ERR2 Р ( Г - Ц ] } |
|
|
|
|
I2 = MF + KT + FL + MK + ML + KL +
l'z = FKM + MLF+ MKL + KLF + 4А* { [ ( - f - ) 2 + ( - у - ) * ] F + |
||||||
+[(■£)’+(i)-]-+К™У+Ш |
|
(4,19,21> |
||||
’] |
+(тТ]*}• |
|||||
/, = PMKL + |
4Л* [ ( - f ) ’ MF + |
( ^ - ) * и . + ( | - у км + ( J L y KLj |
||||
|
+ |
16Л4 tf-x-f № )(!)]■ |
||||
Подставляя в |
уравнение (4,19,20) |
значение Я=Я1-ИЯг и отделяя |
||||
действительную часть от мнимой, получим |
|
|||||
Я) — / 1Я1 |
6Я1Я2 -(- 3/1 ЛГХЛ,2 “Ь Яг “Ь ^2^'1 — I 2^>2 — /з ^1 “Ь 1а — О, |
|||||
|
|
|
|
|
|
(4,19,22) |
4Я?— 4Л.1Л| — 3/|Я? + l'{kl + 2 /^! — /3 = о. |
||||||
Заменяя в уравнениях |
(4,19,22) |
Яг через г%\, |
согласно (4,19,16) полу |
|||
чим систему уравнений: |
|
|
|
|
||
Я? (/', + 20г) - Я? (11 r l\ |
+ 4г2 + |
2/ 2) + К |
(4г/а + |
3/ 3) - М \ = 0, |
||
|
|
|
|
|
|
(4,19,23) |
4Я? — Я] (3 /, -)- 4г) -J- Я^ {I\f -f- 2/ 2) — / 3 ="• 0. |
||||||
Составляя результант системы (4,19,23) |
и раскрывая его, получим урав |
|||||
нение, позволяющее определить критическую скорость потока в четвер том приближении:
(ах0 — /id)3 + {axk — q/i)2 (^О — kd) + 2 (^d — ах0) (cfi — |
|
||||
— kd) (af — 6/j) + (/d — 60) (каг — c-J^) (ax0 — lxd) — |
|
||||
_ (fd — bO)2(6/i — a j) + (cfi — kd) (bk — ctf) (bl±— aj) = 0. |
(4,19,24) |
||||
Здесь введены следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
аг = l\ + 20r, b = |
4г2 + 11г/; + |
2/2, |
|
||
сi = 4г/2 -Ь З/3 , |
d = |
4/4, |
/i = |
4, |
(4,19,25) |
/ = 3/; + 4г, k = |
rl\ + |
2/2, |
0 - |
/3. |
|
Формулы (4,19,12), (4,19,19), (4,19,24) позволяют вычислить по1 методу Галеркина (во втором, третьем и четвертом приближениях) критические скорости потоков для цилиндрических панелей, шарнирно опертых по всем краям и движущихся в газе со сверхзвуковой скоро стью, если известны геометрические размеры панели и постоянные, ха рактеризующие газовую среду.
где
R 2 ’
/l2_ i = '4‘ [ 9 - 5 - + ^ - ] , + 12(1- v2> R2
Не воспроизводя здесь выкладок, аналогичных тем, которые были сде ланы для цилиндрической панели, получим формулу для определения критических скоростей потока во втором приближении по методу Буб нова—Галеркина:
--------\2(F + K) + |
------^ ----- |
(F—/С)2] - (4,20,6) |
' |
|
12(1 — V*) L |
12В2 (1 — V») v |
' ] 4 |
||
Критическая скорость в третьем приближении определяется из уравне ния
[/. ( / i |
+ 8г)- 9 / 3] 2+ [{I, + 8г) (2/, + |
г) - |
|
- 3 (2/, + |
3г/,)] [3/, {21, + г) — / 2 (2/, + |
3r lj\ = 0, |
(4,20,7) |
где
I1 = K + F + L,
I2= F K + KL + F L + A * \ ( l f f + (j - y \ ,
л - т а + ^ [ ? ( ^ - ) , + 4 ( 4 . ) * ] .
а г — параметр параболы устойчивости: rXi = xl-
Отметим, что из решения, полученного для сферической панели, нетрудно получить решение для пластины, шарнирно опертой по всем кромкам; для этого достаточно в (4,20,6) положить R->-oо.
Теперь рассмотрим случай автоколебаний, жестко защемленных по всему контуру сферических панелей.
Здесь, как и ранее, применяется метод Бубнова—Галеркина, при чем в качестве аппроксимирующих функций используются фундамен тальные балочные функции. Известно, что балочные функции, ортого нальность которых хорошо изучена, не сохраняют это свойство в отно шении своих производных первого, второго и третьего порядков, и пото му некоторые авторы вводят понятие о квазиортогональности этих функ ций, т. е. считают интегралы от произведения вторых производных балочных функций на ту же функцию величиной пренебрегаемой ■. От метим необходимость проявлять осторожность при постулировании свойства квазиортогональности фундаментальных балочных функций.
Для решения задачи будем исходить из уравнения (4,20,3), в кото ром A,=Ai + tX2— комплексные собственные значения. Координаты пара болы устойчивости в этом случае будут
К |
h |
B,h* |
D Я- |
1 Ряд новых квадратур вычислен Р. Д. Степановым [48].
I2 = FL + KL + F K + 2Р |
_h*_ |
[(K + L) |
Уп |
+ (^ + ^) |
^22 |
+ |
а2А2 |
«и |
« 2 2 |
+ (F + /o-^-l-^f(/c + L)-^ + (F + D ^ |
+ (F + F:)-^1 + |
«33 J |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
«33 |
J |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
«Ц |
|
|
|
|
«22 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
/I8 |
|
Г |
^11«22 |
|
|
22^33 |
|
^11^33 |
^13U31 |
|
|
|
|
|
||||||
|
+ 4P |
a464 |
|
|
|
|
+ |
- |
« |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
L |
«11«22 |
22«33 |
«11«33 |
«11«33 |
] |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
^11^22 |
|
|
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
^п^зз |
|
|
|
|||||||
— 20Л |
aW |
|
|
| |
^11^22 ■+ |
|
^11^33 ■+ |
^33^22 + |
^22^33 |
|
|
+ |
|
||||||||||||
|
|
L |
«11«22 |
|
|
|
|
«11«22 |
|
«11«33 |
|
«33«22 |
«22«33 |
|
«11«33] |
|
|
||||||||
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
_|_ |
^2 |
I |
Ш11Ш22 |
|
|
^11^33 |
_J_ |
|
t^22^33 |
|
^21^12 |
1^23^32 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
[■ |
« 11«22 |
|
|
«11«33 |
|
|
|
|
«22«33 |
|
«11«22 |
«22«33 ] |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
/: = F 7 a — л Г/сь-^- + |
F L - ^ _ + F:F - ^ - 1 |
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
% % |
|
|
|
|
|
L |
|
«11 |
|
|
|
«22 |
«33 |
J |
|
|
|
|
|
|||
-f Л» |
I |
|
+ |
A: |
tdulilss |
|
|
|
^22^33 |
_ |
^21^12 _ |
|
^23^32 |
+ |
|
|
|||||||||
|
«11«22 |
|
Г |
«11«33+ |
F |
|
«22«33 |
|
«U«22 |
|
«22«33 ■'] |
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
2 р |
А4 |
|
гг |
t>ffl |
|
K F - ^ - |
+ / a |
^11 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- ^ |
|
ГFL |
«22 |
|
|
+ «11 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
A8 |
^ |
a2A2 |
L |
|
|
|
|
|
|
«33 |
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
4p* |
|
|
|
|
|
|
|
UUU33 |
I |
С* У22У33 |
|
^13^31 |
~j __ |
|
|
|
||||||||
a4A4 |
|
|
u llu 22 |
+ K |
|
«11«33 |
+ F |
«22«33 |
|
«11«33 |
J |
|
|
|
|||||||||||
— 4pM |
A8 |
|
'^11U22W33 |
|
«11^33^22 |
^33^11^22 |
^22^31^13 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||
a464 |
|_ |
«nU22«33 + |
«ц«22«зЗ + |
|
«11«22«33 |
|
«11«22«33 |
|
|
|
|||||||||||||||
+ 2рЛ2 A4 |
|
|
|
1 |
|
[ШцОУг^зз + |
ииоу22ш33 + а>цШ33у22 + |
o>2iou32t;13 — |
|
||||||||||||||||
|
|
a2A2 |
|
un u„2u33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
— г>33ВУ21ш 12 + |
^12^23^31 — |
^ |
з ^ |
п |
] |
+ |
|
ЭД3 - ^ 7 - [Уи и 22У33— У31я 130221 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а8А8 |
.....................................................................Uu«22«3S |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[йУиш22ау33 — ш33ау210У12 — шиау23а)32] — |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
— Л3 «И«22«331 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
— 2рЛ — |
L |
4^11^22 |
_|_ |
р |
|
1^11^22 |
| |
р |
^22^33 |
| р |
^22^33 |
+ |
|
|
|
||||||||||
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«22«33 |
|
«22«33 |
|
|
|
|||||||
|
к |
|
а2А2 [ |
|
« 11«22 |
|
|
|
« 11«22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
Юзз«п |
|
+ |
я |
U33^11 I |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«11«33 |
|
|
|
|
«11«33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение уравнения |
(4,20,19) дает два корня |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ,2 -= А |
+ Г - |
|
|
|
|
|
(4,20,23) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
_ |
|
[ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (4,20,23) можно определить, при'каком значении скорости собствен- |
|
||||||||||||||||||||||||
ные значения |
исследуемой |
краевой |
задачи становятся |
комплексными |
|
||||||||||||||||||||
и движение оболочки в потоке газа становится неустойчивым: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re X — % 1 = |
2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ImX = |
^2 = |
[ / 2- - j ] ,/* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||