чтобы парабола (4,16*3), пересекаясь с параболой устойчивости, вышла за пределы области устойчивости:

Неравенства (4,16,12) и (4,16,13) дают возможность определить крити­ ческие скорости:

(4,16,14)

п > — С. '/2 -- л,.

2

(4,16,15)

Формула критической скорости (4,16,14) тождественно совпадает с критической скоростью потока, найденной для замкнутой цилиндри­ ческой оболочки при п = 0, и, как видно из неравенства (4,16,13), ею можно пользоваться для всех значений я>/г*, что для класса тонких оболочек соответствует числу полуволн /г>30-т-50, т. е. такому боль­

значения частоты, которые существенным образом зависят от скорости потока:

и вместо нахождения собственных значений уравнения (4,17,9) иссле­ дуется система двух уравнений, составляющих характеристическую си­ стему

Левая часть каждого из уравнений (4,17,15) представляет аналити­ ческую функцию переменных л и у, и задача состоит в том, чтобы найти

(4, 17, 15). Общий вид кривых характеристической системы приводится на рис. 4.8; графики кривых, соответствующих пер­

вому уравнению системы (гиперболы), вычерчиваются при различных значениях А = const. Дальнейшая задача сводится к установлению тех значений A mil при которых точки первой и второй вещественных ветвей (4, 17, 18) совпадают и нельзя’сделать никакого вывода о собственных значениях рассматриваемых краевых задач.

Приравнивая А = А Ы, согласно (4,17,10) находим скорость потока, при которой еще имеет место устойчивость невозмущенного движения, но выше которой движение может стать неустойчивым. Следовательно, для каждой частной краевой задачи необходимо прежде всего соста­ вить выражение второго уравнения характеристической системы Д(л, у)=0.

Составим характеристическую систему А (л, у) в случае шарнирно опертой оболочки. Для определения ненулевых Сг ( i = 1, 2, 3, 4) подчи­

выражения Д(т|, у) для различных краевых задач/получаются анало­ гичным путем;

Отметим, что при т) = 0 уравнения Д(г), у)= 0 вырождаются в ха­ рактеристические уравнения балочных фундаментальных функций для соответствующих граничных условий.

§18. ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ

Внекоторых примерах расчета флаттера панелей в сверхзвуковом потоке с использованием формулы поршневой теории [25]

влияние на величину критической скорости флаттера Vц. Это послужи­ ло поводом для высказываний в пользу квазистационарной теории, не учитывающей аэродинамического демпфирования [35, 36]. Между тем пренебрежение аэродинамическим демпфированием не позволяет [30] в полной мере исследовать влияние упругого основания и усилий, дей­ ствующих в плоскости панели, на величину критической скорости и мо­ жет привести к существенным погрешностям при ее определении.

Покажем на примере задачи об осесимметричном флаттере круго­ вой цилиндрической оболочки, что даже при отсутствии упругого осно­ вания и тангенциальных усилий пренебрежение аэродинамическим демпфированием может служить причиной неверных результатов.

Пусть круговая цилиндрическая оболочка движется в газе со сверх­ звуковой скоростью вдоль оси х, направленной по оси цилиндра (не­ возмущенное движение), и совершает дополнительные малые осесим­ метричные движения (возмущенные движения). Применяя закон пло­ ских сечений [25] в его линейной формулировке и разрешающее уравне­ ние круговых цилиндрических оболочек [7], легко получить для безраз­

к длине а цилиндра. Рассмотрим собственные движения — возмущенные движения вида

приходим для случая свободно опертого (защемленного) по краям ци­ линдра к краевой задаче:

задача о флаттере цилиндра эквивалентна плоской задаче о флаттере плоской панели бесконечного размаха, параметры которой и условия закрепления совпадают с таковыми у цилиндра (кроме радиуса, конеч­ но), а кривизна цилиндра компенсируется дополнительным фиктивным усилием, сжимающим панель в своей плоскости, и дополнительным фиктивным упругим основанием. Как и следовало ожидать, при a/R = 0 тождество обеих задач (цилиндр бесконечного радиуса и панель бес­ конечного размаха) не требует введения каких-либо дополнительных фиктивных факторов. Если a/R=£0, формула (4,18,3), определяющая величину k, дает при v^O отрицательное значение, которое истолковы­ вается как фиктивное сжимающее усилие; в равенстве (4,18,3), опреде­ ляющем величину d, появляется дополнительный член, который истол­ ковывается как дополнительное упругое основание. С уменьшением ра­ диуса R оба фиктивных фактора усиливаются, что формально выра­

женными; соответствующие вещественные собственные движения пере­ стают иметь форму стоячих волн и принимают форму бегущих по обо­ лочке волн; амплитуда этих волн затухает до тех пор, пока комплекс­

значений А0 на параболу (4,18,5); амплитуда соответствующих бегущих волн перестает затухать; она начинает возрастать (наступает флаттер), когда при А>Ац комплексные собственные значения А0 оказываются за пределами параболы (4,18,5).

Определение скорости A\(k) обычно состоит в доказательстве то­ го, что при Л<Л[(6) все собственные значения А0 вещественны, но при A>A\(k) существуют комплексные. Определение критической скорости флаттера Л/; значительно сложнее, так как необходимо фактическое

нахождение комплексных собственных значений А0, что является весьма трудоемкой работой.

При 5 = 0, т. е. при отсутствии демпфирования, обе ветви параболы (4,18,5) сливаются с вещественной полуосью, вследствие чего скорости

теорий, не учитывающих аэродинамического демпфирования [46, 47]. В дальнейшем предполагается, что k\ = k2= 0, т. е. демпфирование

В целиком аэродинамическое, а величина d полностью обусловлена кри­ визной цилиндра.

Очевидно погрешность в оценке критической скорости флаттера Ар, возникающая припренебрежении демпфированием В, состоит в за­ мене значения Ар на меньшее значение A\(k), которое от В никак не зависит. В рассматриваемой задаче эта погрешность может оказаться большой по следующим причинам. Как уже говорилось, с уменьшением

уменьшение d перемещает на комплексной плоскости К0 вершину пара­ болы (4,18,5) влево; ее ветви в правой полуплоскости, где расположены все собственные значения Х°, удаляются от вещественной оси, что со­ провождается повышением наименьшей критической скорости флатте­ ра Ар. Следовательно, подбором радиуса R можно снизить скорость A\(k) до нуля, одновременно повысив критическую скорость флаттера Ар. В этих условиях замена Ап на A x(k) недопустима. То же можно сказать и о скоростях Vp и Vu получаемых по формуле

(4,18,6)

подстановкой в правую часть значений А=Ар и A=A\(k) соответ­

ственно.

Сказанное иллюстрируется рис. 4.9, на котором дан график крити­ ческой скорости Vp осесимметричного флаттера в зависимости от вели­ чины a/R для алюминиевого защемленного по краям цилиндра относи­ тельной толщины h/a = 2* 10_3.

Верхняя кривая дает критическую скорость Vp с учетом аэроди­

ванием (замена Vp на V\) привело бы в ряде практически интересных случаев к ошибочному выводу о возможности осесимметричного флат­

решения точных характеристических уравнений краевой задачи (4,18,4).

Величины (—d) и Y — dr удобно вычислять по приближенным фор­ мулам

— <(= 12(1— V2) (-2 -)’ (-J-)*

Vse M~3 d t

§ 19. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФЛАТТЕРА. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ

Рассмотрим приложение метода Бубнова—Галеркина к решению задачи о флаттере круговой цилиндрической оболочки открытого про­ филя, движущейся в газе со сверхзвуковой скоростью. Предполагается, что оболочка на ограничивающих ее продольных и поперечных краях имеет шарнирно неподвижные в плоскостях этих краев закрепления.

Пусть оболочка имеет размеры в направлении образующей / и по дуге поперечного круга 5 (рис. 4.10). Безразмерные координаты а и £ будем отсчитывать от точки пересечения продольного края оболочки с поперечным. Так как оболочка шарнирно опирается по всем краям, то функция Ф(а, р, t) должна быть определена так, чтобы, во-первых,

Дифференциальное уравнение (4,14,10) совместно с граничными условиями (4,19,1) составляет исходную краевую задачу.

Повторяя рассуждения § 14 этой главы, приходим и здесь к урав­ нениям (4,14,15), (4,14,16) и (14,14,20), которые и будем далее расматривать.

Применим метод Бубнова—Галеркина к решению этой краевой за­ дачи. Частные интегралы уравнения (4,14,15) при граничных условиях (4,19,1) могут быть определены в такой форме: