
книги / Оболочки и пластины
..pdfчтобы парабола (4,16*3), пересекаясь с параболой устойчивости, вышла за пределы области устойчивости:
а2 — 46 + 8/г4 = Р2 |
V4 |
i r > ° . |
|
|
£2С* |
|
|
|
|
|
|
—а ± (а2— 4Ь + |
8/г4)1/*< 4/г2. |
(4,16,12): |
|
При (4,16,12) должно выполняться неравенство |
|
||
а = 4/г2 — р ■ V2 > 0. |
(4,16,13) |
||
|
£С2 |
|
|
Неравенства (4,16,12) и (4,16,13) дают возможность определить крити ческие скорости:
(4,16,14)
п > — С. '/2 -- л,.
2
(4,16,15)
Формула критической скорости (4,16,14) тождественно совпадает с критической скоростью потока, найденной для замкнутой цилиндри ческой оболочки при п = 0, и, как видно из неравенства (4,16,13), ею можно пользоваться для всех значений я>/г*, что для класса тонких оболочек соответствует числу полуволн /г>30-т-50, т. е. такому боль
шому числу полуволн, при которых форма поперечного сечения |
мало- |
|||||||||||
отличается от круга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Минимум |
скорости |
(4,16,15) |
по п имеет место при /г~ |
-^-С. |
2 и в |
||||||
точности |
совпадает |
с критической |
скоростью, |
найденной |
выше |
при |
||||||
я-—О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, проведенный анализ показывает, что флаттер зам |
|||||||||||
кнутой цилиндрической |
оболочки |
неограниченной длины, находящейся |
||||||||||
в сверхзвуковом потоке, |
может |
иметь |
место |
при скорости потока |
||||||||
|
2ЕС* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v > |
|
Г |
когда |
форма |
поперечного |
сечения остается |
кругом. |
|||||
|
Пользуясь |
формулами |
(4,14,17) |
и |
(4,16,2), |
можно получить |
два |
значения частоты, которые существенным образом зависят от скорости потока:
©1.2 = |
В |
|
C2,(k 2 + л2)2 + |
k* |
+ |
- ^ |
а ,/2 |
|
2ph ± { { w |
f |
(ft2 + Л2)2 _ |
||||||
|
р/г- |
|
рл |
I |
||||
|
|
|
|
|
|
(4,16,16) |
||
Решение дифференциального уравнения малых колебаний пологих |
||||||||
оболочек (4,14,15), принятое в форме |
|
|
|
|
||||
|
|
Ф (а, Р, () = е‘№+к^еР+‘ч, |
|
|
(4,16,17) |
и вместо нахождения собственных значений уравнения (4,17,9) иссле дуется система двух уравнений, составляющих характеристическую си стему
л + - ^ ( л2- у2) = о, |
|
^(Л,у) = 4 7 !к4 = 0> |
(4,17,15) |
6 (л. Y) |
|
где т) и у — величины, связанные с корнями уравнения |
|
К = л + iy, |
|
k2 = r\ — iy, |
(4,17,16) |
при этом |
|
б (TJ, у) = 16ty [у2 — 2тI2]1/, [(Y* — Зл2) + 4г)2у2]. |
(4,17,17) |
Левая часть каждого из уравнений (4,17,15) представляет аналити ческую функцию переменных л и у, и задача состоит в том, чтобы найти
такое решение |
|
|
|
|
(4,17,18) |
|
|
|
л,- = л,- (П, Л), |
у, = |
yt (п, А) |
||
системы, которое позволит, пользуясь формулами |
|
|||||
|
Л= ------- j - (л2 — |
У2), |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
Лз, 4 = |
— Л ± |
[у2 — 2т]2] ‘/», |
|
(4,17,19) |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
x = d \ ( n * ~ |
I) 2 + j £ |
± t - (Y2_ |
зт,*), |
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
для каждой краевой задачи вычислить |
соответст |
|
||||
вующие собственные |
значения |
К и установить то |
|
|||
значение А , при котором собственное значение ста |
|
|||||
новится комплексным. |
|
системы проще |
|
|||
Решение |
характеристической |
|
||||
всего получить графически, если вычертить на од |
|
|||||
ном чертеже в прямоугольной |
системе |
координат |
Рис. 4.8 |
|||
Л, у графики |
кривых, определяемых уравнениями |
(4, 17, 15). Общий вид кривых характеристической системы приводится на рис. 4.8; графики кривых, соответствующих пер
вому уравнению системы (гиперболы), вычерчиваются при различных значениях А = const. Дальнейшая задача сводится к установлению тех значений A mil при которых точки первой и второй вещественных ветвей (4, 17, 18) совпадают и нельзя’сделать никакого вывода о собственных значениях рассматриваемых краевых задач.
Приравнивая А = А Ы, согласно (4,17,10) находим скорость потока, при которой еще имеет место устойчивость невозмущенного движения, но выше которой движение может стать неустойчивым. Следовательно, для каждой частной краевой задачи необходимо прежде всего соста вить выражение второго уравнения характеристической системы Д(л, у)=0.
Составим характеристическую систему А (л, у) в случае шарнирно опертой оболочки. Для определения ненулевых Сг ( i = 1, 2, 3, 4) подчи
ним выражение (4,17,12) для Xh(£,) граничным |
условиям (4,17,3) и |
|
приравняем нулю определитель полученной системы: |
||
Д(^1, k2, kg, k4) — |
|
|
!г\е~к' kte~k* |
/г|е—** |
kle~k* |
Раскрыв определитель и произведя в нем замену k{ через г) и у по |
||
формулам (4,17,16), получим |
|
|
а) |
|
|
Д (т), у) = — {— 2г|2у [Y2 — 2TI2]‘/> ch 2r| |
2T)2Y [у2 — 2т]2]1/* х |
|
X cos у ch [у2 — 2т]2]1/* — (Зт)4 — у2 — 2т]2у2) sin у sh [у2 — |
||
— 2т]2]1/*} 16£ = 0, |
|
(4,17,20) |
выражения Д(т|, у) для различных краевых задач/получаются анало гичным путем;
б) оболочка защемлена на торцах £= 0 и £=1: |
|
|||
|
Д (т], у) = {[у2 — 2т]2]"/* [cos у ch (у2 — 2тI2)'/* — ch 2т)] |
|
||
|
|
+ Зт]2 sin у sh [у2 — 2т)2]1/*} 8£ = 0; |
(4,17,21) |
|
в) |
оболочка защемлена на торце | = 0 и шарнирно оперта на торце |
|||
|
Д (т], у) = {2т]у [у2 — 2т]2]1/* sh 2т] + (у2 — Зт]2) [у2 — 2т]2]'/* х |
|||
X sin у ch[y? — 2т]2]1/* — у (у2 -г г]2) cosy sh [у2 — 2т]2]'/*) 8/ = 0; |
(4,1 |
|||
г) |
оболочка защемлена на торце £= 0 и свободна на краю £=1: |
|||
|
|
д (Л. У) = (8 у (тI2 + у2 ) 2 [у? — 2 т]2]1/* ch 2у + |
|
|
|
+ 4у (26т]4 -)- 2у4 — 4т]2у2) [у2 — 2т]2]'/* cos у ch [у2 — 2т)2]'/» + |
|||
+ 8т] (2т]2у2 — у4 + Зт]4) sin у sh [у2 — 2т]2]1/* — 16т]у (у4 — т]4) х |
||||
|
X cos у sh [у2 — 2т]2]'/* — 16т] (4т]2у2 — Зт]4 — у4) [у2 — 2т]2]1/* х |
|||
X sin yell [у2 — 2г|2]1/* — 32т]2у2(у2 — т]2)[у2— 2т]2]'/* е-2т>} i =0; |
(4,17,23) |
|||
д) |
оболочка шарнирно оперта |
на торце £= 0 и свободна |
на торце |
|
|
|
Д(Л. Y) = {— 2т]у (у2 |
т]2) [у2 — 2т]2]'/* ch 2у + |
|
|
|
+ ЛY [Y2 — 2т]2]'/2 [(у2 — г]2)2 + (т]2 — Зт]2)2] е~2г^-1- |
|
|
|
|
+ 8т]3у [у2 —2т]2]1/* (у2 — т]2) cos у ch [у2 — 2т]2]'/* + |
|
|
|
+ |
4т] (Зт]2у4 — у® + Зт]®— 5т]4у2) sin у sh [у2 — 2TI2]'/> -f |
|
|
|
+ |
Y [5т]2у4 — у® — 19т]4у2 -)- 23t|®] cos у sh [у2 — 2т]2]*/« -)- |
|
|
+ |
[у2 |
2т]2]1/* (у® -f- 11т]4у2 — т|2у4 — Зт]®) sin у ch [у2 — 2т]2]1/») |
i — 0. |
Отметим, что при т) = 0 уравнения Д(г), у)= 0 вырождаются в ха рактеристические уравнения балочных фундаментальных функций для соответствующих граничных условий.
§18. ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ
Внекоторых примерах расчета флаттера панелей в сверхзвуковом потоке с использованием формулы поршневой теории [25]
д |
__ Ро* |
/ у |
_dw_ |
dw \ |
Р |
Vo |
\ |
дх |
dt ) |
аэродинамическое демпфирование---- |
оказывает слабое |
влияние на величину критической скорости флаттера Vц. Это послужи ло поводом для высказываний в пользу квазистационарной теории, не учитывающей аэродинамического демпфирования [35, 36]. Между тем пренебрежение аэродинамическим демпфированием не позволяет [30] в полной мере исследовать влияние упругого основания и усилий, дей ствующих в плоскости панели, на величину критической скорости и мо жет привести к существенным погрешностям при ее определении.
Покажем на примере задачи об осесимметричном флаттере круго вой цилиндрической оболочки, что даже при отсутствии упругого осно вания и тангенциальных усилий пренебрежение аэродинамическим демпфированием может служить причиной неверных результатов.
Пусть круговая цилиндрическая оболочка движется в газе со сверх звуковой скоростью вдоль оси х, направленной по оси цилиндра (не возмущенное движение), и совершает дополнительные малые осесим метричные движения (возмущенные движения). Применяя закон пло ских сечений [25] в его линейной формулировке и разрешающее уравне ние круговых цилиндрических оболочек [7], легко получить для безраз
мерного нормального перемещения |
w ( x , t) точек оболочки уравнение |
||||||
d*w |
+ 2v— . — |
+ — |
Г 12(1 — v2)- ^ - |
-f 11 ш — |
|
||
дхА |
R* |
д* |
R* |
L |
ft2 |
J |
|
а3р0хУ |
|
|
|
|
|
= |
0. (4,18,1) |
DVо |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь R — радиус цилиндра; |
х — безразмерная |
координата, |
отнесенная |
к длине а цилиндра. Рассмотрим собственные движения — возмущенные движения вида
|
w (х, t) = X (х) ё*. |
|
(4,18,2) |
||||
Подставляя (4,18,2) в (4,18,1) и вводя обозначения |
|
||||||
* = _ _ ! * , |
А = |
DVо |
' |
В = * , + |
Ро* |
||
|
|
|
|
“ |
Vo |
||
А, = |
----(Ясс -(- Н-^2), |
|
Я,0 = |
A, -f- d, |
(4,18,3) |
||
d = |
aAkL |
_ ( i — |
v 2) |
— |
f l 2 - ^ - + |
l Y |
|
|
D |
V |
' |
R* |
\ |
ft2 |
/ ’ |
приходим для случая свободно опертого (защемленного) по краям ци линдра к краевой задаче:
— 2kn2X11— АХ1+ k W X = А°Х, |
|
||
X (0) = Xй (0) = |
Х(1) = Х11(1) = О, |
(4,18,4) |
|
(X (0) = |
X1 (0) = |
X (1) = X1(1) = 0). |
|
Сравнение уравнений |
(4,18,1) |
—(4,18,4) с соответствующими урав |
|
нениями (4,15,1) —(4,15,4) |
этой главы показывает, что рассматриваемая |
задача о флаттере цилиндра эквивалентна плоской задаче о флаттере плоской панели бесконечного размаха, параметры которой и условия закрепления совпадают с таковыми у цилиндра (кроме радиуса, конеч но), а кривизна цилиндра компенсируется дополнительным фиктивным усилием, сжимающим панель в своей плоскости, и дополнительным фиктивным упругим основанием. Как и следовало ожидать, при a/R = 0 тождество обеих задач (цилиндр бесконечного радиуса и панель бес конечного размаха) не требует введения каких-либо дополнительных фиктивных факторов. Если a/R=£0, формула (4,18,3), определяющая величину k, дает при v^O отрицательное значение, которое истолковы вается как фиктивное сжимающее усилие; в равенстве (4,18,3), опреде ляющем величину d, появляется дополнительный член, который истол ковывается как дополнительное упругое основание. С уменьшением ра диуса R оба фиктивных фактора усиливаются, что формально выра
жается в уменьшении (в алгебраическом смысле) величин k |
и d. |
|
|
Как и в задаче о флаттере плоских панелей, при В > 0 следует раз |
|||
личать два характерных значения безразмерной скорости А. |
по |
край |
|
Первое значение A t(k) отвечает |
резонансу (совпадению |
||
ней мере по частоте двух различных |
при Л сЛ ^/г)) собственных |
дви |
|
жений (4,18,2), два совпадающих при A=A\(k) собственных |
значения |
||
А0 краевой задачи (4,18,4) становятся |
при A>A\{k) комплексно сопря |
женными; соответствующие вещественные собственные движения пере стают иметь форму стоячих волн и принимают форму бегущих по обо лочке волн; амплитуда этих волн затухает до тех пор, пока комплекс
ные собственные значения A°= Re A°+t Im А0 |
находятся на |
комплексной |
плоскости А0 внутри параболы второй степени |
|
|
Re A° = d + -L(Im А0)2 (г = |
(4,18,5) |
|
Второе значение Ац отвечает выходу |
комплексных |
собственных |
значений А0 на параболу (4,18,5); амплитуда соответствующих бегущих волн перестает затухать; она начинает возрастать (наступает флаттер), когда при А>Ац комплексные собственные значения А0 оказываются за пределами параболы (4,18,5).
Определение скорости A\(k) обычно состоит в доказательстве то го, что при Л<Л[(6) все собственные значения А0 вещественны, но при A>A\(k) существуют комплексные. Определение критической скорости флаттера Л/; значительно сложнее, так как необходимо фактическое
нахождение комплексных собственных значений А0, что является весьма трудоемкой работой.
При 5 = 0, т. е. при отсутствии демпфирования, обе ветви параболы (4,18,5) сливаются с вещественной полуосью, вследствие чего скорости
$ щ |
Влияние аэродинамического демпфирования |
439 |
|
A\(k) |
и Afi совпадают. К такому существенно более |
простому случаю |
|
(по сравнению со случаем В>0) |
обычно приходят в связи с использо |
||
ванием в расчетах на флаттер |
квазистационарных |
аэродинамических |
теорий, не учитывающих аэродинамического демпфирования [46, 47]. В дальнейшем предполагается, что k\ = k2= 0, т. е. демпфирование
В целиком аэродинамическое, а величина d полностью обусловлена кри визной цилиндра.
Очевидно погрешность в оценке критической скорости флаттера Ар, возникающая припренебрежении демпфированием В, состоит в за мене значения Ар на меньшее значение A\(k), которое от В никак не зависит. В рассматриваемой задаче эта погрешность может оказаться большой по следующим причинам. Как уже говорилось, с уменьшением
радиуса цилиндра R параметры |
k и d |
уменьшаются |
одновременно. |
|||
Уменьшение k в промежутке—2 |
, |
( |
—5 < / г < 0 |
для защемлен |
||
ных краев) |
монотонно понижает скорость A\{k) |
от значения Л!(0)=343 |
||||
(Л1(0) =636 |
для защемленных краев) |
до |
нуля |
[28]. С другой стороны, |
уменьшение d перемещает на комплексной плоскости К0 вершину пара болы (4,18,5) влево; ее ветви в правой полуплоскости, где расположены все собственные значения Х°, удаляются от вещественной оси, что со провождается повышением наименьшей критической скорости флатте ра Ар. Следовательно, подбором радиуса R можно снизить скорость A\(k) до нуля, одновременно повысив критическую скорость флаттера Ар. В этих условиях замена Ап на A x(k) недопустима. То же можно сказать и о скоростях Vp и Vu получаемых по формуле
(4,18,6)
подстановкой в правую часть значений А=Ар и A=A\(k) соответ
ственно.
Сказанное иллюстрируется рис. 4.9, на котором дан график крити ческой скорости Vp осесимметричного флаттера в зависимости от вели чины a/R для алюминиевого защемленного по краям цилиндра относи тельной толщины h/a = 2* 10_3.
Верхняя кривая дает критическую скорость Vp с учетом аэроди
намического |
демпфирования, обусловленного воздухом |
на высоте 11 — |
|
12 км над уровнем моря. Нижняя дозвуковая кривая |
дает |
значение |
|
скорости V\. |
Видно, что пренебрежение аэродинамическим |
демпфиро |
ванием (замена Vp на V\) привело бы в ряде практически интересных случаев к ошибочному выводу о возможности осесимметричного флат
тера цилиндрической |
оболочки |
при любых |
сверхзвуковых |
скоростях |
(в области приложимости закона плоских сечений). |
|
|||
При построении |
графиков |
использованы |
результаты |
численного |
решения точных характеристических уравнений краевой задачи (4,18,4).
Для значений |
параметров |
задачи, |
представляющих интерес, |
первые |
|||
ветви К\ (k, А) |
расположены в области О-^CReА,°г^105, 1тХ°>0. |
В этой |
|||||
области парабола (4,18,5), отсекающая на мнимой оси отрезок |
] / — dr, |
||||||
расположена выше |
прямой |
lm№ = Y — dr = const, |
параллельной |
||||
вещественной |
оси, |
и мало отличается от нее, если расстояние (—d) ее |
|||||
вершины от начала координат достаточно велико |
(—d ^ lO 6). В послед |
||||||
нем случае критическую скорость |
флаттера Ар |
можно |
оценивать из |
||||
условия пересечения ветви Л? (&, А) |
не с параболой (4,18,5), а с прямой |
Im = Y — drу |
что приведет к несколько заниженным результатам. |
Величины (—d) и Y — dr удобно вычислять по приближенным фор мулам
— <(= 12(1— V2) (-2 -)’ (-J-)*
Y ~ ^ d r - 12 (] —v2) |
PQ* |
J L ( J L \ 3 |
VE9 |
0 |
R*V Vh J |
Vse M~3 d t
§ 19. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФЛАТТЕРА. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ
Рассмотрим приложение метода Бубнова—Галеркина к решению задачи о флаттере круговой цилиндрической оболочки открытого про филя, движущейся в газе со сверхзвуковой скоростью. Предполагается, что оболочка на ограничивающих ее продольных и поперечных краях имеет шарнирно неподвижные в плоскостях этих краев закрепления.
Пусть оболочка имеет размеры в направлении образующей / и по дуге поперечного круга 5 (рис. 4.10). Безразмерные координаты а и £ будем отсчитывать от точки пересечения продольного края оболочки с поперечным. Так как оболочка шарнирно опирается по всем краям, то функция Ф(а, р, t) должна быть определена так, чтобы, во-первых,
удовлетворялось |
уравнение |
(4,14,10) |
и, во-вторых, на |
краях а = 0, а = |
|||
= cti= — , р= 0 и p= Pi выполнялись граничные условия |
|||||||
Ф |
а*Ф |
д*Ф |
а°Ф |
при а = 0, |
а —ах, |
||
|
да2 |
да* |
да6 |
|
|
(4,19.1) |
|
Ф: |
о2Ф |
д*Ф |
абФ |
|
|
||
при р = 0, |
р = |
рх. |
|||||
ар2 |
ар4 |
ар« |
|||||
|
Дифференциальное уравнение (4,14,10) совместно с граничными условиями (4,19,1) составляет исходную краевую задачу.
Повторяя рассуждения § 14 этой главы, приходим и здесь к урав нениям (4,14,15), (4,14,16) и (14,14,20), которые и будем далее расматривать.
Применим метод Бубнова—Галеркина к решению этой краевой за дачи. Частные интегралы уравнения (4,14,15) при граничных условиях (4,19,1) могут быть определены в такой форме: