книги / Оболочки и пластины

комплексными могут стать впервые не обязательно те ветви, -которые дают наименьшие вещественные собственные значения.

комплексные части этих ветвей могут быть построены по точкам, нахо­ ждение которых методом последовательных приближений не представ­ ляет принципиальных затруднений. Для ряда значений k из промежут­ ка — 16^& ^16 такие расчеты были выполнены, и для обработки их результатов использовано представление (4,15,18). При этом для всех рассматриваемых k оказалось возможным подобрать такие значения постоянных a\ — ay(k), b\ = bi(k), что выражение

ветви (4,15,17), образующие нижний овал l\h, равномерно на всем про­

является табл. 4.1, где для k = —1 даны истинные величины собственных значений (4,15,17), а под ними для сравнения приведены значения, най­ денные при помощи (4,15,20).

Входящие в (4,15,20) число Ь\ и комбинация (А,? —ai) находятся немедленно:

<h = J g - (5 -f 2k)*,

54

А\ = — (5^ 2fe)2 (91/8161 4- 1640& + 40fe2 + 679 — 20fe — 2Q&2]. (4,15,22)

24310 — k

Вкаждой конкретной задаче параметр k пробегает последователь­

В дальнейшем ветви, соответствующие фиксированному номеру пу бу­

Степень неустойчивости невозмущенного движения панели равна числу собственных значений (4,15,23), расположенных на комплексной плоскости за пределами параболы устойчивости (4,15,6). Каждому та­ кому собственному значению, расположенному за пределами параболы устойчивости, соответствует отклоняющееся движение панели: отрица­ тельному X — дивергентное движение (выпучивание), комплексному *Х— флаттерное движение.

При фиксированных значениях параметров, входящих в задачу, за пределами параболы устойчивости может находиться лишь конечное число собственных значений (4,15,23). Действительно, в силу сведений, полученных об асимптотическом поведении собственных значений

^тп (Л), все Xm„(A) с достаточно большими номерами т или п веще­ ственны, причем %тп{Л)—^-Xmn(0), если хотя бы одно из чисе.л т или п стремится в бесконечность. Из (4,15,23) при помощи (4,15,13) получим

Отсюда видно, что для достаточно больших т или п собственные значения ХтП(0) и стремящиеся к ним Хтп(А) положительны и распо­ ложены внутри параболы устойчивости. Соответствующие собственные движения панели суть колебания с затухающей амплитудой.

Докажем, что в принятой постановке задачи флаттер панели суще­ ствует. Для доказательства рассмотрим совокупность параметров

(4,15,24)

однозначно определяющую множество собственных значений (4,15,23). Пусть эта совокупность такова, что среди собственных значений есть комплексные (как установлено ранее, всегда существуют такие Л, для которых краевая задача (4,15,4) имеет комплексные собственные зна­ чения). Не меняя параметров (4,15,24) и, следовательно, расположения собственных значений (4,15,23) на комплексной плоскости X, станем увеличивать параметр

Это достигается, например, путем увеличения массы \х или путем уменьшения коэффициента демпфирования k2( ~ B i) среды, примыкаю­ щей к панели изнутри. С увеличением параметра (4,15,25) ветви пара­ болы устойчивости (4,15,6) приближаются к вещественной оси, причем ясно, что каково бы ни было фиксированное комплексное (невеществен­ ное) собственное значение, при достаточном увеличении параметра (4,15,25) оно окажется за пределами параболы устойчивости, и соот­ ветствующее собственное движение будет флаттерным. Таким образом, каковы бы ни были усилия N\ , N 2l сжимающие или растягивающие, флаттер панели возможен.

Эти рассуждения дают полезные сведения о влиянии массы р и демпфирования k2{ ~ B x) \ утяжеление панели и уменьшение демпфиро­ вания увеличивают опасность флаттера, облегчение панели и увеличе­ ние демпфирования уменьшают ее. Заметим, что облегчение панели и увеличение демпфирования не могут уничтожить ее дивергентных соб­ ственных движений, а также флаттерных движений, которые соответ­ ствуют собственным значениям X с положительными вещественными частями.

неизменности других параметров) перемещает на комплексной плоско­ сти все собственные значения К гп(А) вправо. При этом степень неустой­ чивости если и меняется, то лишь в сторону уменьшения. Достаточным увеличением k{ можно сделать степень неустойчивости равной нулю, уст­ ранив опасность всех дивергентных и флаттерных движений. Такой же эффект вызывает увеличение усилия N 2. Это легко вывести из формулы

(4,15,23),если помнить,что}?тп (А) не зависит от N 2. Напротив,уменьше­ ние N2 вызывает перемещение всех собственных значений Xmn(A) влево, что увеличивает опасность возникновения отклоняющихся собственных движений панели. Большое растягивающее усилие N \ делает степень не­ устойчивости равной нулю. Действительно, каковы бы ни были фикси­ рованные значения остальных параметров, увеличением N \ можно вызвать такое увеличение параметра k, что все собственные значения Хтп(А) будут вещественными и близкими к Хтп(0), которые при доста­ точно большом k все положительны.

Докажем, что если при А = 0 сжимающие усилия не превосходят критических усилий выпучивания, то для тех же сжимающих усилий при любом А ф 0 дивергентные собственные движения невозможны. Доказательство легко получить из неравенства

являющегося следствием (4,15,15). В самом деле, из того, что при А = О

= 1, 2, ..., что является достаточным условием отсутствия дивергентных движений. Заметим, что у такой панели отклоняющиеся собственные движения в полете могут быть лишь движениями флаттерного типа. Их нельзя обнаружить статическими исследованиями, так как при статиче­ ских исследованиях пришлось бы в уравнении (4,15,4) положить Я(Л)=0, что ошибочно, ибо противоречит неравенству ReA,(A)>0.

Неравенство (4,15,26) позволяет также обосновать возможность таких случаев, когда сжатая сверхкритическими усилиями панель, за­ ведомо неустойчивая при А = 0 (s>0 при А= 0), не имеет ни дивергент­ ных, ни флаттерных собственных движений при полете с некоторой ско­ ростью А ф 0 (5= 0 при А ф 0). Такая возможность случаев «упрочне­ ния» невозмущенного движения с ростом скорости полета будет про­ иллюстрирована примером.

Используем теперь формулы (4,15,16) для получения некоторых оценок, а также сведений, относящихся к формам собственных движе­ ний. Согласно (4,15,16) значению приведенной скорости

функция *i„ (х) непременно обращается в нуль во внутренней точке

того же интервала. Следовательно, в полете собственные движения па­ нели, отвечающие наименьшим собственным значениям, еще до того, как эти движения станут флаттерными, могут значительно отличаться как формой, так и частотой от тех, которые имеются при нулевой ско­ рости невозмущеиного движения. Это особенно важно помнить при при­ менении к флаттерным задачам приближенных методов. В связи с при­ менением приближенных методов полезно также помнить, что при наличии достаточного сжимающего усилия с монотонным ростом А ком­

соответствующих собственных движений невозможен. Отсюда, прини­ мая во внимание (4,15,3), получаем формулу «дофлаттерной» скорости

В ряде случаев формула (4,15,30) позволяет выявить существенную часть области с нулевой степенью неустойчивости. Например, если N2> 0 (дивергентные собственные движения панели в этом случае от­ сутствуют) для любой скорости V в промежутке 0 ^ У ^ 'У ь где V{ нахо­ дится из (4,15,30) при п= 1, флаттерные собственные движения невоз­ можны и степень неустойчивости невозмущенного движения равна

нулю.

Формула (4,15,30) позволяет сделать полезное предостерегающее замечание относительно метода расчета панелей, сильно вытянутых в направлении невозмущенного движения. Несколько отступая от приня­ той постановки задачи, предположим только здесь, что прямоугольная панель, свободная от усилий в своей плоскости, обтекается газом с двух сторон. Тогда, применяя (4,15,30) с множителем 0,5 перед правой частью, находим, что как бы велика ни была длина а панели в направ­ лении невозмущенного движения, ее критическая скорость флаттера всегда больше, чем

С другой стороны, если в исходной задаче панель считать заранее бесконечно длинной и не поставить на бесконечно удаленном конце панели никакого условия, кроме условия произвольной малости началь­ ных возмущений, то для нее можно доказать существование флаттерных движений, когда скорость превосходит величину

(р- т ) (4,15,32)

Значение (4,15,32) может быть меньше, чем значение (4,15,31), что свидетельствует о неприменимости формулы (4,15,32) для ограниченных панелей. Приведенный пример показывает, что результаты, полученные путем рассмотрения теоретически бесконечных по направлению невоз­ мущенного движения панелей, цилиндров и т. п,, далеко не всегда при­ ложим^ к случаю конечных размеров, даже если эти размеры доста­ точно велики.

Все выясненные до сих пор особенности поведения панели в потоке получены путем качественного исследования точной характеристикой системы (4,15,8), (4,15,9). В дальнейших выводах, относящихся к вет­ вям Х = Хт,п{А), Х = \тгП (Л), дающим для каждого фиксированного п наименьшие собственные значения, будет использовано представление

(4,15,33) вещественны. В этом промежутке критическими являются та­ кие значения Л, при переходе через которые одно из собственных зна­ чений (4,15,33) меняет знак. Эти значения Л, называемые критически­

располагающиеся на комплексной плоскости вдоль параболы второй степени

В промежутке Л ]<Л <Л ь где выражение (4,15,35) с достаточной точностью аппроксимирует куски ветвей X=Xmtn (Л), х = Хт,п (Л), критическим является такое значение Л, при переходе через которое собственные значения (4,15,35) пересекают параболу устойчивости (4,15,6). Это значение, называемое критической скоростью флаттера, находится из условия пересечения парабол (4,15,6) и (4,15,36):

Отсюда

определенное значение критической скорости флаттера (4,15,37), разу­ меется, если значение (4,15,37) вещественно.

Приведем примеры, дающие некоторое представление о порядках критических скоростей. Во всех примерах принимаются следующие значения постоянных: v = 0,3, *= 1,4, *i = 0,

0.2Or

ииваясь при малейшем начальном возмущении. Выпучивание становится невозможным после достижения критической скорости дивергенции Vdiv=600 м/сек, найденной из (4,15,34) при п= 4. Формула (4Д5,37) дает для п= 1, 2, 3 критические скорости флатте­

ра 1100, 4000, 10 500. Степень неустойчивости дается соотношениями

Сравнивая со случаем панели, свободной от усилий в своей плоскости, видим, что ужимающие усилия не только сделали возможным появление дивергентного собствен­ ного движения, но и значительно снизили критические скорости флаттера.

Наконец отметим, что изложенный метод исследования прямоуголь­ ной опертой по всему контуру панели переносится без изменения на те случаи, когда две стороны панели, параллельные скорости невозмущенцого движения, оперты, а две другие закреплены произвольно или сво­ бодны.

В случае, если стороны х = 0, х = а защемлены, характеристическое уравнение (4,15,8) принимает вид

Добавляя к нему соотношения (4,15,9), (4,15,10), можно, как и в случае опертой по всему контуру панели, выяснить основные свойства ветвей 'к = 'ктп{А)\ непрерывность и неуничтожимость, асимптотическое

поведение (Xmn(^4)-^Xmn(0) при т, п-^оо), существование комплексных собственных значений и возможность флаттера, свойства упрочнения движения, определяемое неравенством (4,15,26). Заметим, что послед­ нее свойство в задачах с другими граничными условиями может не вы­ полняться. Остаются в силе выводы о влиянии на степень неустойчиво­ сти параметров N u k2y N2, \i. Как и прежде, значению приведенной скорости (4,15,27) отвечает точное решение характеристического урав­ нения (4,15,28), причем соответствующая собственная функция имеет вид

(4,15,37). На рис. 4.7 показаны кривые, аналогичные кривым рис. 4.6, позволяющие судить о степени неустойчивости квадратных панелей различной толщины, свободных от усилий в своей плоскости. Для па­ нели толщиной /г = 5 - 10—3 а имеем, например s(0 ^V ^4 6 0 0 ) =0, б’(4600< V2^:8100) =2, 5(8100<У^15200) =4. Сравнивая со случаем панели, опертой по всему контуру, замечаем, что в рассматриваемом примере защемление двух сторон привело к значительному увеличению критических скоростей флаттера.

Наконец отметим, что к виду (4,15,2) могут быть приведены не только решения рассматриваемой несамосопряженной задачи, но и ре­ шения соответствующих самосопряженных задач. В последнем случае, как правило, будет выполняться условие ф(х) =const и решения (4,15,2)

доложены в августе 1962 г. в г. Стокгольме и в октябре 1962 г. в г. Ере­ ване). Ими отмечена сильная неравномерность в распределении прогиба по длине панели, рост концентрации максимальных прогибов у задней кромки панели с ростом скорости полета, что согласуется с результата­ ми экспериментов [44]. Установлено, что для панелей, имеющих практи­ ческое значение, скорость волн, бегущих вниз по потоку (именно для них возможен случай р>0), мала по сравнению со скоростью звука в газе, что находится в согласии с предположениями применяемой аэро­ динамической поршневой теории [25]. Влияние температурных напря­ жений на флаттер панели можно учесть [45]; здесь на этом не останав­ ливаемся.

§ 16. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ЗАМКНУТАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА

Решение основного дифференциального уравнения малых колеба­

где Ckn — некоторое постоянное число; п, k обозначают число полуволн соответственно в меридиональном направлении и в направлении обра­ зующей оболочки.

Подставив (4,16,1) в уравнение (4,14,15), получим характеристиче­ ское уравнение, из которого для X получаем следующее выражение:

&

h = C2,(k* + n2y+ (£2 + „2)2 ’

(4,16,2)

K = - ™ L k .

8 E h

На комплексной плоскости Аь А2 уравнения (4,16,2) изображают точки параболы восьмой степени:

Для определения критической скорости потока исследуем взаимное расположение параболы (4,16,3) с параболой устойчивости (4,14,26) в случае п = 0 и пФО. При п= 0 (т. е. для случая, когда контур попе­ речного сечения оболочки в процессе деформации остается кругом) уравнения (4,16,2) принимают вид

Ах = Clk4 + 1,

Eh

1 Решение принадлежит Р. Д. Степанову [37].

Для точек взаимного пересечения параболы (4,16,4) с параболой устой­ чивости справедливы равенства

Eh Eh

Исключив из первого равенства (4,16,5) параметр q, получим одно уравнение для определения точек взаимного пересечения двух иссле­ дуемых парабол:

точках, выходит за пределы области устойчивости. Отсюда следует, что

за пределы области устойчивости, сводится к определению условий по­ явления комплексных корней (4,16,10).

Анализируя выражение (4,16,10), можно поставить два следую­ щих существенно различных необходимых и достаточных условия того,.